張如芳

摘? 要：中職學(xué)生初學(xué)立體幾何入門階段，通常會遇到三大難點，一是建立空間概念難，二是立體幾何語言表達(dá)難，三是定理不理解、記不住、不會用?？朔@三個難點，僅僅靠教師多講是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，首先要引導(dǎo)學(xué)生對實物模型進(jìn)行觀察，形成充分的感性認(rèn)識，立足中職學(xué)生的基本學(xué)情，通過實物模型觀察、看圖、畫圖、核心定理分析與應(yīng)用等訓(xùn)練階梯，引導(dǎo)學(xué)生拾階而上，步步推進(jìn)，過好立體幾何入門關(guān)。

關(guān)鍵詞：識圖 作圖 符號語言 轉(zhuǎn)化思想 數(shù)學(xué)模型

中職立體幾何的教學(xué)，肩負(fù)對學(xué)生空間想象能力和邏輯思維能力的培養(yǎng)，但是不管從高職考試立體幾何的低得分率來看，還是從教學(xué)現(xiàn)狀來看，立體幾何一直是中職學(xué)生的學(xué)習(xí)難點。究其原因，從學(xué)生學(xué)的層面看，既有知識性的原因，如中職學(xué)生在初中階段對平面幾何知識掌握不夠扎實，也有能力性與心理性的原因;從教師教的層面上看，主要是因為教師沒有把握好立體幾何教學(xué)的起點和立足點，在學(xué)生沒有充分建立空間感和空間概念的前提下，為了追求教學(xué)進(jìn)度，急于求成，忽視了實物觀察、識圖繪圖訓(xùn)練的重要性，從而導(dǎo)致學(xué)生出現(xiàn)空間圖形認(rèn)知障礙，使學(xué)生無法將畫在紙上的立體幾何直觀圖與空間模型聯(lián)系起來，更不要說把頭腦中的空間圖形躍然紙上，或是難以用數(shù)學(xué)語言規(guī)范地表達(dá)出來。

按照布魯納的認(rèn)知結(jié)構(gòu)理論，任何知識的學(xué)習(xí)應(yīng)該既是自然的，又是必然的，既要有循序漸進(jìn)、自然生成的過程，又要遵循認(rèn)知的必然規(guī)律，逐步深化，使其智慧生長。因此立體幾何的教學(xué)應(yīng)當(dāng)放慢腳步，先引導(dǎo)學(xué)生充分經(jīng)歷對實物模型的觀察與感知，訓(xùn)練學(xué)生的識圖與繪圖能力，掌握文字語言、符號語言與圖形語言之間的相互轉(zhuǎn)換;逐步建立空間感和空間概念，并在此基礎(chǔ)上，對立體幾何的基本概念和核心定理進(jìn)行深入剖析，建立基本的解題模型，才能實現(xiàn)從二維平面到三維空間的跨越，為立體幾何的后續(xù)學(xué)習(xí)打下堅實的基礎(chǔ)。

一、開展模型展覽 —— 注重空間體驗

立體幾何學(xué)習(xí)的第一步是在頭腦中對客觀實物的原型或模型建立數(shù)學(xué)表象，這是識圖（觀察直觀圖）、畫圖、建立數(shù)學(xué)概念的起點，同時積累豐富的感性認(rèn)識，才能為形象思維提供廣闊的天地，為向抽象思維過渡打好基礎(chǔ)。雖然很多教師也意識到了感性認(rèn)識的重要性，在課堂中借助鉛筆、木棒等實物讓學(xué)生擺一擺、或是展示一些常見立體幾何模型讓學(xué)生看一看，但是投入的時間是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠，以中職學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，很難在短時間內(nèi)對空間圖形形成充分的感性認(rèn)識，難以建立數(shù)學(xué)表象。

更有效的方法是開展立體幾何模型“展覽”活動課，帶領(lǐng)學(xué)生零距離接觸立體幾何模型。首先可以挑選一些數(shù)學(xué)能力和動手能力較強(qiáng)的學(xué)生，成立模型制作小組，通過教師指導(dǎo)、小組合作交流，在制作模型的過程中，讓這部分學(xué)生對立體幾何內(nèi)部結(jié)構(gòu)的感性認(rèn)知先豐富起來，引導(dǎo)他們用數(shù)學(xué)語言把立體幾何的內(nèi)部結(jié)構(gòu)、線與面的位置關(guān)系講出來，進(jìn)而培養(yǎng)一批優(yōu)秀的“展覽”活動講解員。

另外常見的立體幾何模型盡量的大一些，比如：正方體、長方體、正三棱柱（錐）、正四棱柱（錐），這樣在展覽與講解的過程中，更有利于幫助學(xué)生形成充分的感性認(rèn)識，建立立體圖形的空間感。同時要將立體幾何基本概念制作成標(biāo)簽貼在模型上，比如：長方體的體對角線，正三棱錐、四棱錐的高與斜高等等中職立體幾何的核心概念，初步滲透立體幾何的基本概念。教師還需要精心設(shè)計活動課導(dǎo)學(xué)案，引導(dǎo)學(xué)生在老師和講解員的帶領(lǐng)下，用數(shù)學(xué)的眼光對模型進(jìn)行自主觀察、合作探究，解決導(dǎo)學(xué)案上提出問題，使展覽活動課能夠有的放矢。

顯然這種以實物展覽、討論研究為手段的學(xué)習(xí)方式，更能充分激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動學(xué)生自主學(xué)習(xí)的積極性，在實際教學(xué)過程中取得了良好的效果，也為下一階段的識圖（認(rèn)識立體平面直觀圖）做好準(zhǔn)備。

二、強(qiáng)化識圖訓(xùn)練 —— 突破語言障礙

對平面直觀圖的觀察與分析是學(xué)生在頭腦中將實物模型“平面化”的過程，也是學(xué)生在思維中建立空間概念的關(guān)鍵，要逐漸引導(dǎo)學(xué)生將直觀圖中的“點、線、面”與實物模型的內(nèi)部結(jié)構(gòu)聯(lián)系起來，并使學(xué)生掌握用文字語言、符號語言來表達(dá)“點、線、面”之間的位置關(guān)系。由于初中長時間平面幾何學(xué)習(xí)而產(chǎn)生的負(fù)遷移與空間想象能力的缺失，部分學(xué)生會用觀察平面幾何的方式對待立體幾何直觀圖，從而導(dǎo)致空間圖形的“失真”，使學(xué)生的形象思維向抽象思維上升的過程中遇到認(rèn)知障礙。突破一難點需要從以下三點入手：

（一）在實物模型與直觀圖之間搭建認(rèn)知階梯。教師首先可以向?qū)W生展示實物模型的照片，再借助立體幾何畫板、幾何圖霸等3D做圖軟件，通過對上下、左右、前后翻轉(zhuǎn)，引導(dǎo)學(xué)生從多角度觀察直觀圖，使學(xué)生能看清楚直觀圖中線、面的位置關(guān)系以及角度的視覺變化。

（二）對空間概念、符號語言進(jìn)行深入的解析，既知其然，又知其所以然，把隱藏在知識背后的理性思考激活。比如：平面的表示方法。為什么在空間中要用平行四邊形來表示一個平面？學(xué)生對此提出了疑問，為什么不用長方形來表示平面？教材上并沒有解釋用平行四邊形來表示一個平面的原因。事實上用長方形表示平面確實更加簡單直觀，但是當(dāng)長方形在空間中“斜放”的時候，長方形的四個內(nèi)角有些看成了鈍角，有些看成了銳角，這是由于視覺觀察造成的偏差。

再比如：在學(xué)習(xí)符號語言時，需要將“點運(yùn)動產(chǎn)生線、線運(yùn)動產(chǎn)生面”這種運(yùn)動思想與集合思想相結(jié)合，引導(dǎo)學(xué)生用點（元素）與集合的關(guān)系、集合與集合的關(guān)系來理解立體幾何的符號語言，搞清楚符號含義，避免符號混淆和錯用。如：為什么直線在平面上，記作：平面，而點在平面上，記作：平面。

（三）對圖形語言、文字語言、符號語言之間的相互轉(zhuǎn)化進(jìn)行充分訓(xùn)練，幫助學(xué)生克服表達(dá)和書寫障礙。對于中職學(xué)生來說，記憶立體幾何的相關(guān)的概念、符號猶如背英語單詞枯燥、容易忘，因此可以采取猜謎語的方式，將符號語言的理解和記憶融入到游戲中去，寓教于樂，提高學(xué)生學(xué)習(xí)立體幾何的興趣和信心。同時在邊玩邊學(xué)的過程中，逐步對線線、線面、面面之間的位置關(guān)系逐步進(jìn)行梳理，使學(xué)生掌握用三種數(shù)學(xué)語言來表示線線、線面、面面，幫助學(xué)生初步建立立體幾何的知識網(wǎng)絡(luò)。

三、引導(dǎo)規(guī)范作圖 —— 提升分析能力

立體幾何的作圖與學(xué)生的空間想象能力聯(lián)系密切，與解題關(guān)系極大，解決立體幾何問題，很多時候不是想出來，而是“畫”出來的。如果說看圖、辨圖是學(xué)生在頭腦中對模型建立表象的過程，那么畫圖就是幾何圖形表象輸出與表達(dá)，對中職學(xué)生提出了較高的要求。因此要降低起點，由易到難，逐步訓(xùn)練學(xué)生作圖能力;同時鼓勵學(xué)生多畫、有目的有方法的畫，養(yǎng)成規(guī)范作圖的良好習(xí)慣。

（一）學(xué)生的作圖訓(xùn)練首先應(yīng)該從基本圖形的課堂臨摹開始，再通過教師演示作圖的基本步驟，引導(dǎo)學(xué)生在模仿中，掌握直觀圖的作圖基本規(guī)則。比如：在用斜二測法作正方形（體）、長方形（體）直觀圖時，要特別強(qiáng)調(diào)畫直觀圖的基本步驟與關(guān)鍵點，以及虛線、實線的準(zhǔn)確使用。搞清楚先畫什么？后畫什么？為什么要某些直角在直觀圖中要對應(yīng)畫成45度，邊長要縮小一半？另外還可以采取“靜物寫生”的方法訓(xùn)練學(xué)生的作圖能力，即根據(jù)實物或模型畫直觀圖， 這種畫圖訓(xùn)練學(xué)生能靈活地調(diào)整視圖角度，從多角度觀察模型內(nèi)部結(jié)構(gòu)，尤其是對于那些空間想象能力較差的學(xué)生幫助特別大。

（二）由于提升作圖能力需要給予學(xué)生足夠的練習(xí)時間，其中對典型圖形進(jìn)行變式訓(xùn)練可以有效的提高學(xué)生識圖、辨圖、作圖能力。比如作出不同形式的異面直線、二面角，再加以對比分析。另外要重視典型的錯圖反例展示和分析，引導(dǎo)學(xué)生在合作談?wù)摷m錯的過程中，逐步掌握各類常見空間圖形的正確作圖方法

（三）引導(dǎo)學(xué)生掌握根據(jù)文字語言、符號語言來作空間圖形。比如：作平面、平面，使;再比如：過正三棱錐的底面中心作側(cè)面上斜高的垂線等等。顯然這對于中職學(xué)生來說會具有一定的難度，所以要盡量與實物模型相結(jié)合，或者利用3D做圖軟件對直觀圖進(jìn)行翻轉(zhuǎn)觀察，以此訓(xùn)練學(xué)生對圖形結(jié)構(gòu)分析能力。

四、突出核心定理 —— 建立轉(zhuǎn)化模型

在中職立體幾何入門學(xué)習(xí)階段，除了空間概念的建立和做圖能力、空間想象能力的培養(yǎng)，學(xué)生還熟練掌握相關(guān)的公理、定理，才能觸及立體幾何的靈魂------推理證明。但是立體幾何的定理繁多，容易混淆，中職學(xué)生在對定理理解和記憶方面有很大的難度，而用定理進(jìn)行推理證明就更難。因此教師要從學(xué)生的實際需求和能力出發(fā)，依據(jù)高職考試大綱的要求，為學(xué)生減負(fù)。

（一）加強(qiáng)核心定理的剖析和應(yīng)用，把教學(xué)的重點放在推理論證基本方法的掌握上，以此來提高學(xué)生的推理論證能力。另外通過對近十年高職考試卷立體幾何部分考題的分析與統(tǒng)計，其中使用最頻繁的定理是線面垂直的性質(zhì)定理和判定定理，比如：在求線面直線所成角和二面角的計算過程中，都要用到這兩個定理。

1.由于中職學(xué)生的邏輯推理能力、抽象思維比較薄弱，容易出現(xiàn)推理不嚴(yán)謹(jǐn)、書寫不規(guī)范的錯誤，因此可以通過找反例加以糾錯，提高學(xué)生反思的能力，使推理論證真正做到“言之有理、落筆有據(jù)”。 比如：下列線與面垂直的判定定理中，如果去掉定理是否成立？請學(xué)生舉出反例。

定理：“已知 ”

2.由于中職學(xué)生對立體幾何的推理證明普遍存在畏懼心理，因此要創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，將推理論證的教學(xué)過程生活化，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和積極性。

比如：對三垂線定理的證明（雖然高職考對該定理應(yīng)用不做要求，但是可以用以訓(xùn)練學(xué)生的推理論證能力）做出生活化的解釋：如圖1所示，當(dāng)一束陽光垂直照射在地面上時，斜線就會在地面留下一條影子，如果地面上的一條鐵棒與影子垂直，那么鐵棒垂直于斜線。實際教學(xué)過程中，如何結(jié)合實物進(jìn)行講解，就把抽象的推理與學(xué)生的生活經(jīng)驗有效的結(jié)合起來，既降低了理解的難度，又提高了學(xué)習(xí)的趣味性。

（二）強(qiáng)化轉(zhuǎn)化思想，建立解題基本模型。將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題是立體幾何最重要的解題方法之一。如高職考試經(jīng)常出現(xiàn)的空間角（線線角、線面角、二面角）的計算問題，通常要將空間角轉(zhuǎn)化為平面角，再進(jìn)行計算。在解題過程中，學(xué)生通常會遇到兩個難點，一是不知道如何轉(zhuǎn)化，二是不知道如何表達(dá)，因此在教學(xué)中要對三種空間角計算題建立基本的解題模型，落實轉(zhuǎn)化思想。

以如上的異面直線所成角的計算為例，第一步將兩條異面直線平移成相交的狀態(tài)，才能對其測量或計算，所以平行和相交就是將異面直線所成角轉(zhuǎn)化為平面角的關(guān)鍵，兩個條件缺一不可。第二步是求出平面角的大小，第三步求出空間的大小。

上述解題模型，同樣適用于求解線面所成的角和二面角的大小。求線面所成角的關(guān)鍵在于找射影，求二面角的大小在于通過找垂線、作垂線，確定二面角的平面角。該解題模型看似簡單，但中職學(xué)生掌握起來還是有一定的難度，因此可以解答部分以填空的形成呈現(xiàn)，比如上題中劃線部分改成填空，由潛入深，搭建解題，幫助學(xué)生逐步掌握空間角的求解方法。另外在教學(xué)中，還可以用曹沖稱象這個典故對該解題模型進(jìn)行生活化的解釋與鞏固，使用在數(shù)學(xué)中或者生活中遇到“稱象難題”時，也能靈活運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，為數(shù)學(xué)思想方法在生活中找到“用武之地”。

基于以上的思考，中職學(xué)生在立體幾何的入門階段會不可避免地出現(xiàn)許多問題，對此教師應(yīng)當(dāng)充分考慮中職學(xué)生的基本學(xué)情，降低教學(xué)起點，給予學(xué)生足夠的練習(xí)操作與知識內(nèi)化的時間，引導(dǎo)學(xué)生充分經(jīng)歷實物觀察、識圖作圖、推理論證等過程，逐步對立體幾何的本質(zhì)做出深入探究，提升學(xué)生解決問題的能力，對學(xué)生未來的學(xué)習(xí)打下良好基礎(chǔ)。

參考文獻(xiàn)：

[1]郝莉莉. 直觀性教學(xué)原則在中學(xué)數(shù)學(xué)中的運(yùn)用與探討[D].上海師范大學(xué)，2019.

[2]李海東. 基于核心素養(yǎng)的“立體幾何初步”教材設(shè)計與教學(xué)思考[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2019.

[3]張瑨南. 中學(xué)數(shù)學(xué)中平面幾何與立體幾何轉(zhuǎn)化構(gòu)建過程的探究[D].西北大學(xué)，2018.

[4]吳婉嘉. 高中生立體幾何問題提出能力現(xiàn)狀研究[D].湖南師范大學(xué)，2018.

[5]龍玉婧. 高中生立體幾何學(xué)習(xí)中將文字語言轉(zhuǎn)換為圖形語言困難的研究[D].山東師范大學(xué)，2014.