孫瑞芳，張曉龍，梁文凱，謝曉全

(昆明理工大學(xué) 機械工程學(xué)院，云南 昆明 650000)

氣壓傳動具有簡單快速和安全可靠等特點[1]。氣壓位置控制系統(tǒng)一直以來都是氣動技術(shù)的一個重要內(nèi)容[2]。隨著工業(yè)自動化的發(fā)展，氣動技術(shù)在生產(chǎn)自動化的各個領(lǐng)域應(yīng)用日漸廣泛，氣動位置控制系統(tǒng)的精度和穩(wěn)定性的優(yōu)化也日益重要。

PID控制的算法簡單，且具有魯棒性好和可靠性高等特點[3]，在過程控制和運動控制中得到廣泛應(yīng)用，在建立精確數(shù)學(xué)模型的確定性控制系統(tǒng)方面尤為適用[4]。但在生產(chǎn)實踐中，往往很多問題使用常規(guī)的PID控制器難以達到實踐要求。

馮子通等采用不完全微分型PID算法對電液執(zhí)行機構(gòu)控制，得到調(diào)節(jié)速度快、過程平緩且精度高的效果[5]。強寶民等通過對PID的積分項和微分項改進，提高了電液比例位置控制系統(tǒng)的精度和穩(wěn)定性[6]。故本文引入速度反饋，并結(jié)合不完全微分型PID對氣動比例位置系統(tǒng)的響應(yīng)時間、精度及穩(wěn)定性進行分析。

1 氣動系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型推導(dǎo)

氣動比例位置系統(tǒng)主要由比例方向閥、氣缸、位移傳感器、A/D和D/A裝置組成[7]。

1.1 氣缸力平衡方程

當(dāng)單作用氣缸處于工作狀態(tài)時，根據(jù)牛頓第二定律，其力平衡方程[8]如下所示

M(d2y)/(dt2)+fdy/dt=p1A1-p2A2-FL-Ff

(1)

式中，M為氣缸活塞和慣性負載質(zhì)量之和；y為活塞位移；f為粘性阻尼系數(shù)；p1和p2為氣缸兩腔的壓力；A1和A2為氣缸兩腔作用面積；FL為氣缸外負載力;Ff為包括靜摩擦力和庫侖摩擦力的氣缸摩擦力。

1.2 比例閥的數(shù)學(xué)模型

通常情況下，閥控缸系統(tǒng)中，比例閥的數(shù)學(xué)模型[9]為

(2)

式中，U0為比例閥的輸入電壓；Kw為傳感器增益；ω0為比例閥的固有頻率；ξ0為比例閥的阻尼比。

1.3 比例閥閥口流量方程

由于氣體經(jīng)過閥口的過程較為復(fù)雜，在滿足假設(shè)條件的情況下，可將其過程視為理想氣體的一維等熵流動，運用Sanvile流量公式[10]計算。

一般情況下，當(dāng)氣缸容腔1進氣，氣缸容腔2排氣時，則氣缸容腔1中氣體流動狀態(tài)為亞聲速，氣缸容腔2中氣體流動狀態(tài)為聲速?？紤]在零位附近的小增量Δx，比例閥的氣體質(zhì)量流量方程可線性化得

(3)

1.4 比例閥流量連續(xù)性方程

基于系統(tǒng)氣體假設(shè)，對于工作腔1，氣缸進氣腔和排氣腔的質(zhì)量流量應(yīng)與氣缸容腔內(nèi)質(zhì)量變化保持一致，故其壓力-流量方程[11]如下所示

(4)

理想氣體狀態(tài)方程為

(5)

式中，V1為氣缸容腔1體積；R為氣體常數(shù);T1為氣缸容腔1的溫度。

氣缸容腔1的實際溫度T1與初始溫度T1s之間滿足絕熱過程如下

(6)

式中，k=1.4，為絕熱指數(shù)。

式(6)對時間求導(dǎo)，帶入式(5)中，可得氣缸容腔1氣體動態(tài)過程表達式

(7)

同理可得

(8)

1.5 氣動比例位置系統(tǒng)傳遞函數(shù)

將式(3)、式(7)和式(8)改寫為增量形式，再進行拉氏變換，并聯(lián)立可得

(9)

結(jié)合式(2)，可得氣動比例位置系統(tǒng)總模型方塊圖如圖1所示。

即系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

(10)

(11)

該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)由比例環(huán)節(jié)、積分環(huán)節(jié)和二階振蕩環(huán)節(jié)組成。將其中所用參數(shù)帶入上式中得

用MATLAB繪制該開環(huán)系統(tǒng)Bode圖如下。

由圖可知，該系統(tǒng)幅值特性比相頻特性先交于橫軸，且幅值裕度為22.43 dB，相位裕度為89.12°，故系統(tǒng)是相對穩(wěn)定的[12]，可滿足生產(chǎn)實踐要求。

2 控制策略研究

2.1 常規(guī)PID

PID控制器是將偏差的比例、積分和微分通過線性組合的方式[13]，來達到控制被控對象的目的。圖3為PID控制系統(tǒng)原理框圖。

PID控制器根據(jù)給定量和實際輸出量之間構(gòu)成控制偏差

e(t)=y0(t)-y(t)

(12)

PID控制規(guī)律和寫成傳遞函數(shù)形式為

(13)

(14)

式中，kp為比例系數(shù)；T1為積分時間常數(shù)，TD為微分時間常數(shù)。

2.2 不完全微分PID控制算法

比例環(huán)節(jié)是將偏差信號成比例的向控制系統(tǒng)反應(yīng)以減小誤差、加快系統(tǒng)的響應(yīng)速度、提高系統(tǒng)的調(diào)節(jié)精度。積分環(huán)節(jié)的存在主要是為了消除系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差[14]。微分環(huán)節(jié)則可在早期反映偏差信號的變化趨勢，提前引入有效的修正信號，達到及時的改善系統(tǒng)的動態(tài)特性的效果，使系統(tǒng)的反應(yīng)速度加快，減少反應(yīng)時間。

如上圖所示，其傳遞函數(shù)為

(15)

將上式離散化，并取uD(n)寫成微分方程，取采樣時間為Ts，并將其離散化，整理可得

(16)

uD(n)=KD(1-β)(e(n)-e(n-1))+βuD(n-1)

(17)

由上式可見，不完全微分PID控制算法中uD(n)增加了一項βuD(n-1)，但微分系數(shù)由kd下降至(1-β)kd，削弱了微分強度，延長了微分作用時間，抗高頻干擾，實現(xiàn)微分超前調(diào)節(jié)。

2.3 加入速度反饋的不完全微分型PID

軟反饋即反饋校正信號不直接比例于系統(tǒng)的輸出信號，而是將輸出信號經(jīng)過相應(yīng)處理加工之后得到的，在反饋校正中應(yīng)用廣泛。速度反饋控制就是將輸出量的速度信號采用負反饋形式反饋到輸入端，并與誤差信號進行比較所構(gòu)成的回路。

速度反饋具有良好的平穩(wěn)性與快速性，如果在比例伺服系統(tǒng)中，將速度反饋引入到電液比例閥控缸位置系統(tǒng)中，即在控制系統(tǒng)中引入活塞桿位移的微分[15]，可使系統(tǒng)相位超前，在提高液壓缸的響應(yīng)速度的同時，增大阻尼增大，減小振蕩及超調(diào)，從而提高系統(tǒng)的平穩(wěn)性。

3 仿真分析

瞬態(tài)響應(yīng)能夠直觀反應(yīng)氣動比例位置系統(tǒng)動態(tài)性能的優(yōu)劣，是判斷其性能的重要評價指標。故基于氣動比例位置系統(tǒng)傳遞函數(shù)利用MATLAB對階躍信號進行仿真，可得到無校正的系統(tǒng)階躍響應(yīng)(圖5)以及普通PID、不完全微分型PID和引入速度反饋的不完全微分型PID校正的對于階躍信號響應(yīng)的對比圖(圖6)。

如圖5中，在階躍信號作用下，前期有小幅震蕩，系統(tǒng)2.5 s,才趨于穩(wěn)定，響應(yīng)時間過長，系統(tǒng)反應(yīng)滯后，穩(wěn)態(tài)誤差過大。該情況下系統(tǒng)的控制精度達不到要求，且系統(tǒng)響應(yīng)不夠平穩(wěn)，需要引入適當(dāng)?shù)男Ｕ椒▽ο到y(tǒng)進行改善，以優(yōu)化其動態(tài)特性。

如圖7中，在階躍信號作用下，通過引入速度反饋的不完全微分型PID的響應(yīng)曲線比普通PID和不完全微分型PID校正的響應(yīng)時間和穩(wěn)態(tài)誤差皆依次遞減，響應(yīng)過程更加平穩(wěn)。不同校正方法的系統(tǒng)響應(yīng)時間和穩(wěn)態(tài)誤差如表1所示。

表1不同校正方法的系統(tǒng)響應(yīng)時間和穩(wěn)態(tài)誤差Table 1.System response time and steady-state error of different correction methods

引入速度反饋的不完全微分型PID校正的系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線，相對于無校正的響應(yīng)曲線，響應(yīng)時間降低2.1 s，穩(wěn)態(tài)誤差下降0.22 mm，響應(yīng)速度提升、系統(tǒng)精度提高且系統(tǒng)的動靜態(tài)特性得到很大的改善。

再分別用普通PID、不完全微分型PID和引入速度反饋的不完全微分型PID對正弦信號進行追蹤，對比圖如圖8所示。

由圖8～圖10可看出，普通PID對正弦曲線的追蹤誤差較大；不完全微分型PID的追蹤效果雖明顯加強，但不如引入速度反饋與不完全微分型PID的追蹤曲線與目標軌跡更加貼合。故引入速度反饋與不完全微分型PID的控制精度更高也更加穩(wěn)定。

4 結(jié)束語

本文建立了氣動比例位置系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型來判斷其穩(wěn)定性，并對比無校正、普通PID、不完全微分型PID和引入速度反饋的不完全微分型PID校正的系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線和正弦追蹤效果。仿真實驗表明，引入速度反饋的不完全微分型PID校正方法在改善系統(tǒng)響應(yīng)速度、系統(tǒng)精度以及動靜態(tài)特性方面有顯著提升。該校正方法為氣動比例位置控制系統(tǒng)提供了新思路，也為日后更深層次的優(yōu)化研究，挖掘控制效果更好、更適合該系統(tǒng)的控制策略提供了參考。