聶之峰，王正嶺

(1.江蘇大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，江蘇 鎮(zhèn)江 212013；2.江蘇大學(xué) 理學(xué)院，江蘇 鎮(zhèn)江 212013)

近年來，在微納米光學(xué)與原子物理中，關(guān)于固態(tài)器件與原子耦合的混合系統(tǒng)已受到越來越多的重視[1-4]。該混合系統(tǒng)需具有在器件表面大約100 nm以內(nèi)對(duì)單個(gè)冷原子進(jìn)行囚禁、操控和測(cè)量的能力[5]。因此，實(shí)現(xiàn)納米量級(jí)光電子器件與孤立原子耦合的混合系統(tǒng)的關(guān)鍵是設(shè)計(jì)一個(gè)可以在納米尺度囚禁與操控孤立原子的方案。

眾所周知，衍射是波動(dòng)光學(xué)的基本問題，它可以用來改變光的傳輸路徑來得到期望的場(chǎng)分布，特別是孔徑與圓盤的衍射問題，已經(jīng)被多種方法研究[6-7]。近軸近似標(biāo)量衍射理論不能滿足麥克斯韋方程組，無法用于亞波長(zhǎng)或近場(chǎng)情況。因此，亞波長(zhǎng)圓孔與圓盤的衍射必須用矢量理論來描述[8-11]，而圓盤的光學(xué)衍射則因其歷史意義而備受關(guān)注。由于圓盤衍射的不可積性或發(fā)散性，目前一般討論圓盤半徑遠(yuǎn)大于光的波長(zhǎng)或衍射場(chǎng)在遠(yuǎn)場(chǎng)中軸上的分布情況[12-13]。1998年，Liu 小組描述了一種計(jì)算DVD光盤結(jié)構(gòu)中電磁場(chǎng)的時(shí)域有限差分方法[14]。2004年，劉普生等利用矢量瑞利衍射積分公式[15]數(shù)值計(jì)算得到圓盤的強(qiáng)度分布和遠(yuǎn)場(chǎng)特性。

為了更準(zhǔn)確地研究圓盤的近場(chǎng)特性，本文采用有限元方法研究了亞波長(zhǎng)薄金屬圓盤的衍射問題，并在此基礎(chǔ)上提出了一種薄金屬圓盤與原子耦合的混合系統(tǒng)。研究發(fā)現(xiàn)，在薄金屬圓盤100 nm內(nèi)形成了亞波長(zhǎng)勢(shì)阱，可以對(duì)單個(gè)或少量冷原子進(jìn)行囚禁。并且通過改變圓盤參數(shù)，可以實(shí)現(xiàn)對(duì)混合系統(tǒng)中原子勢(shì)阱的囚禁距離與勢(shì)阱體積的調(diào)控。

1 亞波長(zhǎng)圓盤衍射的橫向特性分布

圖1是平面波圓盤矢量衍射的結(jié)構(gòu)示意圖 (a)與衍射光場(chǎng)分布示意圖(b)。在圖1(a)中，z=0處, 在x-y平面上放置一個(gè)半徑為R的薄圓盤, 其圓心在坐標(biāo)系原點(diǎn)o處。在圖1(a)中，薄金屬圓盤右側(cè)100 nm內(nèi)可以形成亞波長(zhǎng)勢(shì)阱來實(shí)現(xiàn)單個(gè)或少量冷原子的囚禁與操控。若一束在x方向偏振的平面波沿z方向傳播，則在z< 0 區(qū)域?yàn)槿肷鋱?chǎng)與反射場(chǎng)的疊加，在z> 0區(qū)域?yàn)檠苌鋱?chǎng)，如圖1(b)所示。為了研究亞波長(zhǎng)圓盤(圓盤半徑小光波長(zhǎng))衍射的近場(chǎng)特性，采用有限元方法(Comsol軟件仿真)對(duì)平面波亞波長(zhǎng)圓盤近場(chǎng)矢量衍射進(jìn)行仿真研究。在理想衍射的情況下，不透明圓盤的透射率為0，并且不需要考慮圓盤的厚度。由于金屬材料的高反射、高吸收、低透射特性，這里可以將金屬材料選為衍射圓盤材料。在Comsol仿真中采用鋁作為材料，這是由于在各波段鋁的透射率較于其他金屬是較低的，并且?guī)磔^低的光與物質(zhì)相互作用效應(yīng)，例如表面等離子激元效應(yīng)等，可以避免非衍射效應(yīng)的產(chǎn)生。在仿真中，以y方向偏振的磁場(chǎng)強(qiáng)度Hy(x方向偏振的單位電場(chǎng)強(qiáng)度Ex)垂直入射到圓盤上，下文中將以磁場(chǎng)強(qiáng)度的形式來進(jìn)行討論。

為了方便Comsol軟件的建模與仿真，又考慮亞波長(zhǎng)圓盤的衍射特性，文中取圓盤半徑R為150 nm，圓盤厚度為50 nm，鋁的復(fù)折射率參數(shù)采用Brendel-Bormann模型[16]。取波長(zhǎng)為圓盤半徑的2倍，即λ為 300 nm，經(jīng)圓盤衍射后在x-y平面的二維衍射光強(qiáng)分布如圖2所示。在圖2中，x和y方向的取值范圍都是在-750～750 nm之間，在z方向相對(duì)原點(diǎn)o的距離分別為75 nm、 150 nm、225 nm、300 nm，分別對(duì)應(yīng)圖2中(a)、(b)、(c)、(d)4列。同時(shí)，從上向下3排分別是磁場(chǎng)模平方表達(dá)式|Hx(x,y,z)|2、|Hy(x,y,z)|2、|Hz(x,y,z)|2(在后面討論中簡(jiǎn)寫成|Hx|2、|Hy|2與|Hz|2)的二維分布圖。為了方便觀察各個(gè)磁場(chǎng)表達(dá)式的二維分布隨傳播距離的演化特性，這里已將|Hx|2、|Hy|2、|Hz|2分別對(duì)各自在z為75 nm處的最大值進(jìn)行了歸一化處理。

從圖2可以看出，y方向偏振的磁場(chǎng)經(jīng)亞波長(zhǎng)圓盤衍射后|Hx|2、|Hy|2、|Hz|23個(gè)分量都有分布，表明亞波長(zhǎng)圓盤近場(chǎng)區(qū)域發(fā)生了矢量衍射，且衍射區(qū)域空間每一點(diǎn)的總磁場(chǎng)強(qiáng)度都是3個(gè)方向磁場(chǎng)強(qiáng)度的疊加，即|H|2=|Hx|2+|Hy|2+|Hz|2表示總磁場(chǎng)強(qiáng)度模的平方和。|Hx|2橫向分布中4個(gè)光斑是中心對(duì)稱分布，|Hz|2橫向分布中2個(gè)光斑是左右對(duì)稱分布。隨著傳播距離的增加，|Hx|2與|Hz|2光斑分布越來越偏離中心軸線，向四周擴(kuò)散而逐漸衰減消失。由于|Hx|2與|Hz|2相對(duì)于|Hy|2特別小且其衰減特性，|H|2與|Hy|2的中心亮斑有著幾乎一致的橫向分布。|Hy|2的第一個(gè)環(huán)狀亮斑在x方向和y方向并不對(duì)稱，有一個(gè)從橢圓環(huán)狀向圓環(huán)狀的隨z的演化過程，并且隨著傳播距離z的增大，中心亮斑與同心圓環(huán)的半徑逐漸變大，圓環(huán)間距逐漸變大。

2 磁場(chǎng)隨傳播方向的演化特性

為了具體研究磁場(chǎng)3個(gè)分量隨傳播距離z的衰減情況，當(dāng)R為 150 nm，λ分別為300 nm、450 nm、600 nm時(shí)，得到了|Hx|2、|Hz|2與|Hy|2的橫向分布最大值Max(|Hx(x,y,z)|2)、Max(|Hz(x,y,z)|2)與Max(|Hy(x,y,z)|2)隨傳播距離z的衰減曲線，如圖3所示。在圖3～圖7中的數(shù)值都是對(duì)入射光場(chǎng)的初始值進(jìn)行了歸一化，也就是圖3～圖7中的縱坐標(biāo)是相應(yīng)入射磁場(chǎng)|Hy|2的倍數(shù)。由圖3(a)和 3(b)可知，|Hx|2與|Hy|2的初始橫向分布最大值分別可以達(dá)到入射值的0.33倍和2.5倍，且都隨著傳播距離z增加而快速衰減。|Hz|2普遍大于|Hx|2并與|Hx|2的演化規(guī)律正好相反，波長(zhǎng)越大，初始值越大，衰減得也越快。當(dāng)z>200 nm時(shí)，|Hx|2與|Hz|2的強(qiáng)度幾乎衰減到0，表明|Hx|2與|Hz|2只能傳播一段很小的距離。從圖3(c)得出，|Hy|2的橫向分布最大值隨傳播距離z增加呈上升趨勢(shì)，且隨著波長(zhǎng)增大，|Hy|2的值越小。

在中心軸線上|Hx|2與|Hz|2的值均為零， 因此|Hy|2與|H|2的分布完全一致。為了研究|H|2在中心軸線上傳至遠(yuǎn)場(chǎng)的演化特性，當(dāng)R為150 nm時(shí)，為方便取值和找出規(guī)律，λ從 450 nm開始取值(波長(zhǎng)為300 nm的曲線與450 nm曲線很貼近)，得到了|H(0,0,z)|2隨傳播距離z的變化曲線如圖 4(a)所示。當(dāng)波長(zhǎng)較小時(shí)，|H(0,0,z)|2在靠近圓盤處(z<100 nm)，有一個(gè)從大變化到最小值再上升至平穩(wěn)的過程。當(dāng)波長(zhǎng)增大到約750 nm時(shí)，中心磁場(chǎng)的演化曲線最為平穩(wěn)。隨著波長(zhǎng)繼續(xù)增大，磁場(chǎng)隨z的演化規(guī)律發(fā)生變化(最小值消失)，呈現(xiàn)單調(diào)遞減。當(dāng)波長(zhǎng)越大時(shí)，初始值越小，且向圖中的750 nm曲線靠攏。當(dāng)λ為300 nm，R分別為300 nm、600 nm、900 nm時(shí)，得到了|H(0,0,z)|2隨傳播距離z的演化曲線如圖 4(b)所示。由圖 4(b)可以看出，當(dāng)λ/R< 1時(shí)，磁場(chǎng)在中心軸線處的演化規(guī)律均為先迅速衰減，后緩慢上升，最后達(dá)到一個(gè)穩(wěn)定值。R越大，初始值越大且衰減的越快，極小值所在的點(diǎn)隨R的變大向更遠(yuǎn)處偏移。從上面的討論可以看出，無論波長(zhǎng)和圓盤半徑什么關(guān)系，|H(0,0,z)|2在中心軸線上隨傳播距離z的增大都能演化成一個(gè)穩(wěn)定值。

在軸線上取z=1 000 nm一點(diǎn)，討論軸線磁場(chǎng)強(qiáng)度與波長(zhǎng)及半徑的關(guān)系。圖5(a)給出了當(dāng)R=150 nm時(shí)，磁場(chǎng)強(qiáng)度隨λ的演化趨勢(shì)。由圖 5(a)看出，磁場(chǎng)強(qiáng)度隨λ有一個(gè)先減小再增加的過程，增加到達(dá)最大值之后又減少。當(dāng)λ為2R左右時(shí)，磁場(chǎng)強(qiáng)度減少到最小值。當(dāng)λ增加到 7R左右時(shí)，磁場(chǎng)強(qiáng)度增加到最大值。圖 5(b) 給出了當(dāng)λ=300 nm時(shí)，磁場(chǎng)強(qiáng)度隨R的演化。由圖5(b)看出，當(dāng)R>λ時(shí)，隨著R增大，軸線上同一點(diǎn)磁場(chǎng)強(qiáng)度呈現(xiàn)有起伏且減小的趨勢(shì)。

從圖4可以看出，當(dāng)波長(zhǎng)<750 nm時(shí)，|H(0,0,z)|2在靠近圓盤處(z<100 nm)，有一個(gè)從大變化到最小值再上升至穩(wěn)定值的過程。為了詳細(xì)研究該最小值區(qū)域，圖6給出了R為150 nm，λ分別為 450 nm、525 nm、600 nm時(shí)，|H(0,0,z)|2隨傳播距離z的演化曲線。由上圖可知，在z=50 nm左右，中心軸線上的磁場(chǎng)取得最小值，此時(shí)的光場(chǎng)最弱。圖7給出了R為150 nm，λ為450 nm時(shí)，在z=50 nm處，|H|2在橫向分別沿x軸與y軸的分布。由圖7可以知道，磁場(chǎng)在橫向有一個(gè)環(huán)狀二維分布圖。因此，結(jié)合圖6與圖7，在z為50 nm左右，磁場(chǎng)在中心軸線附近形成了一個(gè)三維暗中空光場(chǎng)區(qū)域，形狀如圖8所示。

利用光場(chǎng)對(duì)中性冷原子的作用可以實(shí)現(xiàn)原子的激光囚禁與操控，實(shí)際上是利用光場(chǎng)的梯度對(duì)原子所產(chǎn)生的偶極力。在沒有外場(chǎng)作用時(shí)，中性原子是電中性的，且內(nèi)部電子分布是球?qū)ΨQ的，因而中性原子沒有永久電偶極矩。但是，當(dāng)一個(gè)二能級(jí)原子在非均勻分布的激光場(chǎng)中時(shí)，中性原子將被感應(yīng)出一個(gè)電偶極矩。原子受到激光感應(yīng)的電偶極力作用，從而改變?cè)拥倪\(yùn)動(dòng)狀態(tài)。這一原子電偶極矩的激光感應(yīng)現(xiàn)象通常稱之為交流Stark效應(yīng)。中性二能級(jí)原子與非均勻激光場(chǎng)的相互作用勢(shì)可由下式給出[17]

(1)

式中，δ=ωl-ωɑ-kvz是激光角頻率ωl相對(duì)于原子共振角頻率ωɑ的失諧量，包含了多普勒頻移kvz。k是激光的波矢；Is和Γ分別是原子飽和強(qiáng)度和自然線寬。I(r)是光場(chǎng)的強(qiáng)度分布，可由I(r)=1/2μH2(r)給出。當(dāng)失諧量δ<0(即光場(chǎng)為紅失諧)時(shí)，相互作用勢(shì)為吸引勢(shì)，原子被吸引到光強(qiáng)最強(qiáng)的地方；而當(dāng)δ>0(即光場(chǎng)為藍(lán)失諧)時(shí)，相互作用勢(shì)為排斥勢(shì)，原子被推向光強(qiáng)最弱的地方。因此，利用紅失諧(或藍(lán)失諧)激光場(chǎng)與中性原子間的偶極相互作用，即可實(shí)現(xiàn)冷原子的激光囚禁與操控。當(dāng)R為150 nm時(shí)，在z=50 nm處，在藍(lán)失諧情況下，圓盤近場(chǎng)衍射產(chǎn)生的三維暗中空光場(chǎng)區(qū)域可以實(shí)現(xiàn)冷原子的囚禁與操控，即實(shí)現(xiàn)了一種薄金屬圓盤與原子耦合的混合系統(tǒng)。需要注意的是，圓盤半徑與波長(zhǎng)將會(huì)對(duì)混合系統(tǒng)中原子勢(shì)阱的囚禁距離與勢(shì)阱體積產(chǎn)生影響。

3 結(jié)束語

本文運(yùn)用Comsol軟件，仿真研究了線偏振平面波經(jīng)過亞波長(zhǎng)薄金屬圓盤的衍射。研究發(fā)現(xiàn)在近場(chǎng)范圍內(nèi)，磁矢量不僅存在于原偏振方向，而且也存在于x和z方向上。磁場(chǎng)的x分量和z分量隨傳播距離的增大很快衰減消失，而y分量隨傳播距離的增大逐漸演化成總磁場(chǎng)，在中心軸線上磁場(chǎng)x分量和z分量為0。無論波長(zhǎng)和圓盤半徑什么關(guān)系，線偏振平面光經(jīng)過圓盤衍射后在中心軸線上都演化成一個(gè)穩(wěn)定值。

亞波長(zhǎng)情況下，軸線上某點(diǎn)的磁場(chǎng)并不會(huì)隨著波長(zhǎng)的增加而一直增大，而是有一個(gè)先增加后減小的過程。而在半徑大于波長(zhǎng)情況下，軸線上某點(diǎn)的磁場(chǎng)隨半徑的增加是減小的。在此基礎(chǔ)上提出了一種薄金屬圓盤與原子耦合的混合系統(tǒng)，并發(fā)現(xiàn)在薄金屬圓盤50 nm左右形成了亞波長(zhǎng)勢(shì)阱，可以對(duì)單個(gè)或少量冷原子進(jìn)行囚禁。通過改變圓盤參數(shù)，可以實(shí)現(xiàn)對(duì)混合系統(tǒng)中原子勢(shì)阱的囚禁距離與勢(shì)阱體積的調(diào)控。