張廣春 劉 杰YANG Won Sik

1（國(guó)防科技大學(xué) 并行與分布處理國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 長(zhǎng)沙 410073）

2（國(guó)防科技大學(xué) 復(fù)雜系統(tǒng)軟件工程湖南省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 長(zhǎng)沙 410073）

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（University of Michigan，AnnArbor，Michigan 48105，United States）

TREAT［1］（Transient Reactor Test Facility）是由美國(guó)阿貢國(guó)家實(shí)驗(yàn)室（Argonne National Laboratory，ANL）設(shè)計(jì)的一種氣冷石墨慢化反應(yīng)堆，主要用于測(cè)試核材料和結(jié)構(gòu)材料在瞬態(tài)工況下的性能。TREAT于20世紀(jì)50年代建造，1959年開始運(yùn)行，1994年進(jìn)入待命狀態(tài)。福島事故后，美國(guó)核工業(yè)界迫切需要研制先進(jìn)的事故容錯(cuò)燃料（Accidenttolerant Fuel，ATF），以提高核電站在事故狀態(tài)下的可靠性。為此，美國(guó)能源部在2017年對(duì)TREAT進(jìn)行了重啟，以對(duì)ATF燃料進(jìn)行性能測(cè)試。在進(jìn)行燃料性能實(shí)驗(yàn)時(shí)，TREAT會(huì)將部分燃料組件移出形成空腔，以使中子更容易達(dá)到堆外的中子輻射探測(cè)器上。因此，TREAT在中子學(xué)特性上表現(xiàn)為很強(qiáng)的泄漏性和非均勻性，對(duì)傳統(tǒng)的三維中子輸運(yùn)計(jì)算方法提出了較大挑戰(zhàn)。

當(dāng)前的全堆輸運(yùn)計(jì)算以Monte Carlo方法［2］或確定論方法為主。Monte Carlo方法計(jì)算效率太低，一般作為基準(zhǔn)驗(yàn)證方法使用。確定論方法的代表是二 維/一 維（2D/1D）特 征 線（Method of Characteristics，MOC）耦合方法［3-4］。這類方法在徑向上采用MOC方法，軸向上采用低階近似描述中子通量的行為，無法處理軸向強(qiáng)中子泄漏的問題。PROTEUS-MOC［5］是 由 ANL 在 NEAMS（Nuclear Energy Advanced Modeling and Simulation）計(jì)劃支持下，為解決2D/1D方法的問題而開發(fā)的高保真三維中子輸運(yùn)程序。程序具有以下特性：1）在徑向上采用二維MOC方法處理X-Y方向上的非均勻性，在軸向上采用一維間斷有限元方法處理Z方向上的非均勻性，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)堅(jiān)實(shí)，具有很好的計(jì)算穩(wěn)定性，能夠克服計(jì)算2D/1D方法在計(jì)算強(qiáng)中子泄漏問題時(shí)的不穩(wěn)定性；2）徑向采用非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格，具有非常好的幾何適應(yīng)性，可以對(duì)先進(jìn)反應(yīng)堆和實(shí)驗(yàn)裝置中的復(fù)雜幾何進(jìn)行準(zhǔn)確建模。為加速PROTEUS-MOC的計(jì)算，Jung等［6］提出了相容CMFD（Coarse-Mesh Finite Difference）加速算法，通過在CMFD方程中引入偽吸收截面，強(qiáng)制保證了每一個(gè)粗網(wǎng)中的中子守恒。Zhang等［7］在此基礎(chǔ)上又進(jìn)一步實(shí)現(xiàn)了相容pCMFD和Two-Level pCMFD（TLpCMFD）加速算法，以提高CMFD算法的穩(wěn)定性和減少低階方程的求解時(shí)間。

為測(cè)試PROTEUS-MOC程序?qū)?qiáng)中子泄漏問題的計(jì)算穩(wěn)定性和計(jì)算效率，本文利用PROTEUSMOC對(duì)TREAT進(jìn)行了穩(wěn)態(tài)中子學(xué)計(jì)算，同時(shí)對(duì)TLpCMFD加速算法也進(jìn)行了測(cè)試。

1 PROTEUS-MOC理論模型

1.1 PROTEUS-MOC的輸運(yùn)算法

穩(wěn)態(tài)Boltzmann中子輸運(yùn)方程可寫作如下形式：

對(duì)式（1）應(yīng)用多群近似及離散縱標(biāo)離散，可以得到如下的方程：

式中：m代表角度索引；g代表能群索引，在下面的推導(dǎo)中，為簡(jiǎn)潔起見，將省略能群索引g。將中子角通量和源在軸向的變化用一組線性正交基函數(shù)近似展開，如式（3）所示：

式中：uj(z)代表基函數(shù)；(x，y)和(x，y)分別代表角通量和源的展開系數(shù)。將式（3）和（4）代入式（2）可得：

將帶求解的問題在軸向上分層，并在第k層上第m個(gè)離散方向上應(yīng)用間斷伽遼金權(quán)重殘差方法（假設(shè)該方向上ξm＞0），可以得到下面的一系列方程：

可以發(fā)現(xiàn)，式（7）與二維中子輸運(yùn)方程具有相同的結(jié)構(gòu)，因此可以用二維特征線方法求解。求解過程也與特征線程序類似。將式（8）與式（9）代入式（6），可得的表達(dá)式如下：

1.2 TLPCMFD加速算法

使用多重網(wǎng)格思想加速CMFD方程的求解在文獻(xiàn)［8］中已由Smith等提出并測(cè)試。近年來，已有國(guó)內(nèi)外多位研究人員將能量［9-10］或空間［11］多重網(wǎng)格方法用于加速CMFD或擴(kuò)散方程的求解，取得了較好的效果。pCMFD方法由韓國(guó)Cho［12］等提出，利用了粗網(wǎng)邊界上的偏流組裝系數(shù)矩陣。隨后，Yuk等［13］將pCMFD與空間多重網(wǎng)格方法結(jié)合提出了TLPCMFD方法，用于低階方程的加速。TLPCMFD隨后與文獻(xiàn)［6］中提出的相容CMFD方法的思想相結(jié)合，并被實(shí)現(xiàn)在了PROTEUS-MOC程序中［7］。在TLPCMFD加速方法中存在著兩層粗網(wǎng)：第一層粗網(wǎng)的尺寸一般小于一個(gè)柵元，在這層網(wǎng)格上求解的是一個(gè)固定源問題；第二層粗網(wǎng)的尺寸一般為一個(gè)組件大小，在這層網(wǎng)格上求解一個(gè)特征值問題。第一層的固定源問題和第二層的特征值問題之間可以迭代n次，用TLn表示。圖1展示了PROTEUSMOC中的三層網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，圖2展示了TLPCMFD中第一層加速和第二層加速間的迭代關(guān)系。TLPCMFD的詳細(xì)推導(dǎo)見文獻(xiàn)［7］。

圖1 PROTEUS-MOC中的網(wǎng)格結(jié)構(gòu)(a)用于MOC掃描的非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格，(b)1/4柵元組成第一層粗網(wǎng)，(c)燃料組件組成第二層粗網(wǎng)FigFig..1 1 Hierarchical mesh grids of PROTEUS-MOC(a)Unstructured mesh for MOC sweep,(b)The quarter-pins constitute the first-level coarse mesh,(c)The fuel assemblies constitute the second-level coarse mesh

圖2 TLPCMFD中第一層加速與第二層加速間的迭代關(guān)系Fig.2 Iterative relation between the first-level and secondlevel accelerations of the TLPCMFD method

2 計(jì)算模型

TREAT于1958年由ANL設(shè)計(jì)，位于愛達(dá)荷國(guó)家實(shí)驗(yàn)室（Idaho National Laboratory，INL），主要用于測(cè)試核反應(yīng)堆材料在瞬態(tài)環(huán)境下的性能。該堆采用高濃鈾（～93%）作為燃料，UO2顆粒彌散在石墨組成的慢化介質(zhì)中，石墨和鈾的原子比（C/U）約為10 000：1。TREAT中的燃料組件為方形，采用倒角設(shè)計(jì)，邊長(zhǎng)為10.16 cm，高度為121.92 cm，活性區(qū)上下均有石墨組成的反射層。燃料組件四周為鋯合金組成的包圍盒。根據(jù)實(shí)驗(yàn)?zāi)繕?biāo)和條件的不同，TREAT可有多種燃料布置方式，最多時(shí)可容納361個(gè)燃料組件。本文選取了一種被稱為M8CAL［14］（M8 Calibration）的堆芯布置方案為對(duì)象，利用PROTEUS-MOC對(duì)其進(jìn)行中子學(xué)計(jì)算。在M8CAL的堆芯布置中，位于試驗(yàn)組件和堆外探測(cè)器之間的一排組件被全部取出，使得試驗(yàn)組件發(fā)出的中子更容易被探測(cè)到。該堆芯布置也因此具有很強(qiáng)的中子泄漏和非均勻性。M8CAL的堆芯布置如圖3所示。本文計(jì)算所使用的網(wǎng)格和11群中子多群截面數(shù)據(jù)均來自文獻(xiàn)［15］。

圖3 M8CAL的堆芯布置及PROTEUS-MOC計(jì)算所使用的網(wǎng)格Fig.3 The core configuration of M8CAL and mesh grids used by PROTEUS-MOC

在實(shí)際計(jì)算時(shí)，裂變?cè)吹氖諗繙?zhǔn)則設(shè)為1.0×10-6，特征值的收斂準(zhǔn)則設(shè)為1.0×10-7。分別使用了pCMFD和TLPCMFD進(jìn)行加速，以比較它們的效率差別。低階方程的裂變?cè)词諗繙?zhǔn)則設(shè)為1.0×10-9。在進(jìn)行TLPCMFD加速時(shí)，每1/4個(gè)組件被設(shè)為一級(jí)粗網(wǎng)，全堆被劃分為25個(gè)二級(jí)粗網(wǎng)。由于該模型較大，因此采用并行計(jì)算以提高計(jì)算效率，在角度、軸向?qū)雍蛷较蚓W(wǎng)格三個(gè)層面上進(jìn)行區(qū)域分解，共使用了480個(gè)核計(jì)算。詳細(xì)的計(jì)算參數(shù)見表1，區(qū)域分解參數(shù)見表2，兩層粗網(wǎng)設(shè)置見圖4。

圖4 用于計(jì)算M8CAL的兩層粗網(wǎng)設(shè)置(a)第一層粗網(wǎng)設(shè)置，（b）第二層粗網(wǎng)設(shè)置Fig.4 The two level coarse mesh configurations for M8CAL calculations (a)First-level coarse mesh configuration,(b)Second-level mesh configuration

表1 M8CAL計(jì)算模型對(duì)參數(shù)設(shè)置Table 1 Discretization data of M8CALcore model

表2 區(qū)域分解的參數(shù)設(shè)置Table 2 Domain decomposition information

3 計(jì)算結(jié)果

利用PROTEUS-MOC程序，基于前述的模型參數(shù)，對(duì)TREAT反應(yīng)堆的M8CAL布置進(jìn)行了計(jì)算，并將計(jì)算結(jié)果與Serpent［16］的結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比。表3中列出了PROTEUS-MOC計(jì)算所得到的特征值，所需要的輸運(yùn)掃描次數(shù)和計(jì)算時(shí)間。

由表3可見，PROTEUS-MOC的計(jì)算結(jié)果與Serpent程序的結(jié)果符合得很好，相對(duì)偏差僅為0.12%。PROTEUS-MOC所使用的相容pCMFD加速算法表現(xiàn)良好，具有19.2倍的加速比。而TLPCMFD加速方法通過減少低階方程的求解時(shí)間，可以進(jìn)一步提高計(jì)算速度。采用TLPCMFDTL1加速的計(jì)算可以將加速比提高到25.2，但是輸運(yùn)掃描次數(shù)增加了55次，這說明TL1加速并沒有充分挖掘出低階加速的潛力。當(dāng)使用TLPCMFD-TL2進(jìn)行加速時(shí)，雖然低階方程求解時(shí)間相比TL1略有增加，但有效減少了輸運(yùn)掃描次數(shù)，因此進(jìn)一步將加速比提高到了26倍。圖5給出了計(jì)算得到的M8CAL上的軸向積分功率分布。

表3 M8CAL的計(jì)算結(jié)果Table 3 Calculation results for M8CAL

圖5 M8CAL上的軸向積分功率分布Fig.5 Axially integrated fuel element power distributions of M8CAL

4 結(jié)語(yǔ)

為測(cè)試PROTEUS-MOC程序?qū)?qiáng)中子泄漏問題的計(jì)算精度和效率，本文以TREAT試驗(yàn)堆的M8CAL堆芯布置為對(duì)象進(jìn)行了建模計(jì)算。計(jì)算結(jié)果表明：PROTEUS-MOC的計(jì)算精度較高，穩(wěn)定性好，能較好地克服傳統(tǒng)三維中子輸運(yùn)程序在強(qiáng)中子泄漏問題下的不穩(wěn)定性。相比Monte Carlo程序Serpent的特征值結(jié)果，PROTEUS-MOC計(jì)算得到的相對(duì)偏差僅為0.12%。程序所采用的pCMFD和TLPCMFD加速算法表現(xiàn)優(yōu)異，均可以較大幅度提高計(jì)算效率。相比pCMFD，TLPCMFD算法通過減少低階方程的求解時(shí)間，將加速比提高到了26倍。以上的數(shù)值實(shí)驗(yàn)證明PROTEUS-MOC具有很高的工程應(yīng)用價(jià)值，能夠準(zhǔn)確計(jì)算具有空腔結(jié)構(gòu)和強(qiáng)中子泄漏的堆芯問題，可以很好地服務(wù)先進(jìn)反應(yīng)堆堆芯和堆內(nèi)實(shí)驗(yàn)裝置的設(shè)計(jì)與分析。