鄭人逢 牛志偉

(河海大學(xué) 水利水電學(xué)院,南京210098)

隨著城市建筑密度越來越大,相鄰建筑在強(qiáng)震作用下存在碰撞的風(fēng)險,因此如何有效控制和降低此類風(fēng)險的發(fā)生,得到越來越多人的關(guān)注和研究.其中在相鄰建筑結(jié)構(gòu)之間設(shè)置減震控制裝置,是一種行之有效的手段,它既能吸收地震能量、減小結(jié)構(gòu)地震作用下的反應(yīng),同時也降低了發(fā)生碰撞的風(fēng)險[1].相較于主動與半主動控制,相鄰結(jié)構(gòu)被動控制易于實現(xiàn),問題在于如何選取合理的阻尼器參數(shù),使得結(jié)構(gòu)在地震下的反應(yīng)最小.

國內(nèi)外學(xué)者展開了大量的相鄰結(jié)構(gòu)減震參數(shù)分析及試驗研究.楊震[2]對流體阻尼器連接的耦聯(lián)結(jié)構(gòu)進(jìn)行了振動臺試驗研究和理論分析,試驗結(jié)果表明,選擇合理參數(shù)的阻尼器連接自振特性不同的兩相鄰結(jié)構(gòu),沒有引起結(jié)構(gòu)自振頻率較大的變化,同時又減小了結(jié)構(gòu)地震反應(yīng).基于集中質(zhì)量模型,黃瀟,朱宏平[3]分別對粘彈性阻尼器和黏滯阻尼器連接的相鄰結(jié)構(gòu)進(jìn)行了優(yōu)化參數(shù)分析,并提出優(yōu)化參數(shù)表達(dá)式.朱宏平,翁順,陳曉強(qiáng)[4]采用Maxwell模型模擬連接相鄰結(jié)構(gòu)的流體阻尼器,分別以主結(jié)構(gòu)平均振動能量和結(jié)構(gòu)總振動能量作為減震控制目標(biāo),導(dǎo)出阻尼器最優(yōu)參數(shù)解析式.另外基于簡化模型進(jìn)行相鄰結(jié)構(gòu)間相互作用的理論研究,即致力于揭示控制相鄰耦聯(lián)結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)最主要參數(shù)以及建立阻尼器參數(shù)與耦聯(lián)系統(tǒng)動力特性之間的聯(lián)系研究.例如Richardson 等[5]將相鄰連體結(jié)構(gòu)簡化為單自由度及阻尼器單元的模型,分析結(jié)構(gòu)以及阻尼器參數(shù)對耦聯(lián)結(jié)構(gòu)體系頻率、模態(tài)阻尼及動力響應(yīng)的影響,基于一定的最優(yōu)控制目標(biāo)(結(jié)構(gòu)位移、加速度、能量等)求解最優(yōu)的阻尼器控制參數(shù).Kim等[6]基于SDOF 模型進(jìn)行了粘彈性阻尼器連接的相鄰結(jié)構(gòu)的抗震性能分析.采用白噪聲和地震波作為激勵,分析粘彈性阻尼器參數(shù)對結(jié)構(gòu)減震效果的影響.結(jié)果表明,當(dāng)相鄰結(jié)構(gòu)動力特性差異較大時,一定存在一個參數(shù)最優(yōu)的粘彈性阻尼器使得結(jié)構(gòu)的地震反應(yīng)最小.

上述研究多集中在SDOF 簡化模型層次,不能全面反映實際結(jié)構(gòu)的特性.本文基于分布參數(shù)模型,以剪切型梁單元模擬相鄰結(jié)構(gòu),彈簧單元與阻尼單元并聯(lián)模擬阻尼器力學(xué)特性.通過復(fù)模態(tài)理論,求解結(jié)構(gòu)動力特性,分析結(jié)構(gòu)以及阻尼器的主要控制參數(shù)對結(jié)構(gòu)頻率的影響,分析相鄰結(jié)構(gòu)的減震機(jī)理.采用Clough-Penzien白噪聲模型作為地震激勵,分析阻尼器剛度、阻尼等無量綱參數(shù)對結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)的影響.以結(jié)構(gòu)總能量最小作為減震目標(biāo),尋求阻尼器的最優(yōu)參數(shù),為實際的相鄰結(jié)構(gòu)減震設(shè)計提供理論上的依據(jù).

1 相鄰結(jié)構(gòu)動力特性分析

1.1 分布參數(shù)模型

阻尼器連接的相鄰結(jié)構(gòu)減震分析模型由兩根均勻剪切梁A、B 以及頂部的彈簧和阻尼單元構(gòu)成.結(jié)構(gòu)A、B高度相同,為H；結(jié)構(gòu)A、B 的分布質(zhì)量分別為mA(x)、mB(x)；彈性剪切剛度分別為GAA(x)、GAB(x)；阻尼分別為cA(x)、cB(x)；阻尼器的阻尼和剛度參數(shù)分別為為cd和kd.結(jié)構(gòu)A、B的側(cè)向位移分別為wA(x,t)和wB(x,t).

1.2 建立運動方程

根據(jù)達(dá)朗貝爾原理[7],圖1所示連體結(jié)構(gòu)體系懸臂梁A、B的運動微分方程為:該連體結(jié)構(gòu)的運動方程滿足邊界條件:(a)固定端處位移為零；(b)固定端處轉(zhuǎn)角為零；(c)A梁自由端處剪力平衡；(d)B 梁自由端處剪力平衡.如式(3)～(6)所示:

其中:

式中:γk為結(jié)構(gòu)A、B 剪切剛度之比；γω為結(jié)構(gòu)A、B基頻之比；γkd和γcd分別為無量綱化的阻尼器剛度和阻尼參數(shù).

1.3 求解結(jié)構(gòu)體系特征值

根據(jù)分離變量法,方程(1)～(2)的解可以設(shè)為如下形式:

代入運動方程(7)、(8),得

其中:

方程(15)、(16)有如下形式的解

寫成矩陣形式,即D4×4C4×1=0.該方程組存在非零解的必要條件是系數(shù)行列式為零,即

得到關(guān)于連體結(jié)構(gòu)頻率的特征方程,即

該特征方程包含λ,γk,γω,γkd,γcd等未知量,結(jié)構(gòu)頻率λ取決于連體結(jié)構(gòu)參數(shù)γk,γω,γkd,γcd.基于復(fù)模態(tài)理論采用牛頓切線法求解特征方程(20)得到不同結(jié)構(gòu)參數(shù)下的連體結(jié)構(gòu)頻率.由于阻尼器的貢獻(xiàn),連體結(jié)構(gòu)體系阻尼矩陣為非比例阻尼,求解得到的結(jié)構(gòu)頻率λ 為復(fù)數(shù),且存在共軛的復(fù)頻率λ*,即

2 結(jié)構(gòu)隨機(jī)地震響應(yīng)求解

假定地面地震加速度輸入功率譜密度為S¨xg(ω),根據(jù)虛擬激勵法[8],構(gòu)造地面運動加速度為¨xg=.根據(jù)文獻(xiàn)[9]導(dǎo)出結(jié)構(gòu)傳遞函數(shù)H(ω),并以此求解結(jié)構(gòu)虛擬位移、速度與加速度響應(yīng)分別為:

根據(jù)隨機(jī)振動理論[10],線性系統(tǒng)平穩(wěn)反應(yīng)與激勵的功率譜密度關(guān)系如下:

系統(tǒng)的總能量功率譜密度函數(shù)為:

地震反應(yīng)的功率譜密度函數(shù)在頻域內(nèi)積分得到連體結(jié)構(gòu)位移、加速度與能量反應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)差如下:

采用Clough和Penzien提出的過濾白噪聲模型作為地震加速度譜模型[11],表達(dá)式如下.

式中:ωg,ξg,S0分別為地基土的卓越頻率、阻尼比以及譜強(qiáng)度因子；ωf=0.1ωg～0.2ωg,ξf=ξg.

3 結(jié)構(gòu)動力特性分析

分析模型參數(shù)為:結(jié)構(gòu)高度H=25.6 m；結(jié)構(gòu)A、B的質(zhì)量、剛度及阻尼沿結(jié)構(gòu)高度方向均勻分布,mA(x)=mB(x)=1.42×105kg/m,GAA(x)=2.01×108N/m,ξA=ξB=0.02；阻尼器參數(shù)為kd和cd.

3.1 阻尼器剛度對結(jié)構(gòu)頻率、模態(tài)阻尼的影響

圖2～3分別為阻尼器剛度對結(jié)構(gòu)一階頻率及模態(tài)阻尼比的影響規(guī)律.兩相鄰結(jié)構(gòu)的基頻之比ωA/ωB分別取0.3,0.5,0.8.由圖可知,阻尼器剛度無量綱參數(shù)γkd＜10-3時,結(jié)構(gòu)一階頻率基本無變化；γkd＞10-3后,一階頻率值隨阻尼器剛度增大迅速增大,相鄰結(jié)構(gòu)間的耦聯(lián)作用逐漸增強(qiáng).當(dāng)10-3＜γkd＜10時,一階模態(tài)阻尼比值隨阻尼器剛度增大迅速減?。沪胟d＜10-3或γkd＞10時,一階模態(tài)阻尼比不隨阻尼器剛度增大而改變.從結(jié)構(gòu)模態(tài)阻尼比角度考慮,阻尼器剛度無量綱參數(shù)γkd宜小于10-3.

3.2 阻尼器阻尼參數(shù)對結(jié)構(gòu)頻率、模態(tài)阻尼的影響

阻尼器阻尼參數(shù)γcd對結(jié)構(gòu)頻率及模態(tài)阻尼比如圖4～5所示.由圖可知,阻尼參數(shù)γcd＜0.01時,結(jié)構(gòu)頻率基本不發(fā)生變化；γcd＞0.01后,結(jié)構(gòu)頻率快速增大,隨著阻尼參數(shù)繼續(xù)增大,結(jié)構(gòu)頻率曲線趨于平緩.隨著阻尼參數(shù)γcd的增大,模態(tài)阻尼比先迅速地增加到最大值,之后隨著γcd增大逐漸減小.相鄰兩結(jié)構(gòu)基頻之比越大,結(jié)構(gòu)模態(tài)阻尼比值越大,表明相鄰結(jié)構(gòu)之間動力特性差異性越大,阻尼器為連體結(jié)構(gòu)體系提供的附加阻尼比越大.ωA/ωB等于0.3,0.5,0.8時,結(jié)構(gòu)一階附加阻尼比值分別達(dá)到6.8%,12.6%,14.7%,對應(yīng)的最優(yōu)阻尼參數(shù)γcd分別為0.11,0.09,0.04.

4 結(jié)構(gòu)隨機(jī)地震響應(yīng)分析

以結(jié)構(gòu)頻率ωA/ωB等于0.8為例進(jìn)行結(jié)構(gòu)隨機(jī)地震響應(yīng)分析,求解結(jié)構(gòu)振動能量.地震加速度白噪聲模型參數(shù)為:ωg=15 rad/s,ξg=0.65,S0=4.65×10-4m2/(rad·s3).阻尼器剛度及阻尼參數(shù)對結(jié)構(gòu)A、B以及結(jié)構(gòu)總振動能量的影響如圖6～7所示.

當(dāng)γkd＞10-3后,結(jié)構(gòu)A(較柔結(jié)構(gòu))振動能量隨阻尼器剛度增大逐漸增大,結(jié)構(gòu)B振動能量先減小后增大,而兩結(jié)構(gòu)總振動能量逐漸增大.結(jié)構(gòu)A、B振動能量及結(jié)構(gòu)總振動能量隨阻尼參數(shù)γcd增大,先減小后增大,當(dāng)γcd=0.04時,結(jié)構(gòu)振動能量達(dá)到最優(yōu).通過振動能量最優(yōu)確定的最優(yōu)阻尼器參數(shù)與模態(tài)阻尼比最大所對應(yīng)的阻尼器最優(yōu)參數(shù)一致.根據(jù)阻尼器無量綱最優(yōu)參數(shù)求得阻尼器最優(yōu)剛度kd為105N/m,最優(yōu)阻尼cd為2×106N·s/m.

選取最優(yōu)阻尼器參數(shù)計算結(jié)構(gòu)隨機(jī)地震響應(yīng),結(jié)構(gòu)樓層位移以及加速度標(biāo)準(zhǔn)差如圖8～9所示.由圖可知,相鄰結(jié)構(gòu)間設(shè)置阻尼器可有效地減小結(jié)構(gòu)位移與加速度響應(yīng).結(jié)構(gòu)A頂層位移標(biāo)準(zhǔn)差由15.8 mm減小至9.3 mm,降低41%；結(jié)構(gòu)B 頂層位移標(biāo)準(zhǔn)差由11.9 mm 減小至7.8 mm,降低34%.結(jié)構(gòu)A 頂層加速度標(biāo)準(zhǔn)差由0.97 m/s2減小至0.61 m/s2,減小37%；結(jié)構(gòu)B頂層加速度標(biāo)準(zhǔn)差由0.87 m/s2減小至0.61 m/s2,減小30%.

5 結(jié)論

本文采用分布參數(shù)模型,基于復(fù)模態(tài)理論分析阻尼器參數(shù)對相鄰結(jié)構(gòu)的動力特性、地震響應(yīng)及結(jié)構(gòu)振動能量的影響,提出基于總能量最小的減震目標(biāo)選取最優(yōu)阻尼器參數(shù),結(jié)論如下:

1)阻尼器的設(shè)置使得原本獨立的兩結(jié)構(gòu)相互耦聯(lián),隨著阻尼器剛度的增大,耦聯(lián)程度越大.相鄰結(jié)構(gòu)中,“較柔”的結(jié)構(gòu)振動較為劇烈,隨著耦聯(lián)程度的增加,“較剛”的結(jié)構(gòu)逐漸參與振動.

2)相鄰結(jié)構(gòu)之間設(shè)置阻尼器為結(jié)構(gòu)提供了附加阻尼比.存在一個最優(yōu)的阻尼參數(shù)γcd使得結(jié)構(gòu)附加模態(tài)阻尼比最大；超過最優(yōu)參數(shù),結(jié)構(gòu)附加模態(tài)阻尼比反而減小.

3)結(jié)構(gòu)附加阻尼比隨其動力特性差異增大而顯著變化,結(jié)構(gòu)基頻之比ωA/ωB越大,結(jié)構(gòu)獲得的附加阻尼比值越大.ωA/ωB分別為0.3,0.5,0.8時,結(jié)構(gòu)一階附加阻尼比值分別達(dá)到6.8%,12.6%,14.7%.

4)合理選取阻尼參數(shù)使得連體結(jié)構(gòu)總振動能量顯著地減小,基于結(jié)構(gòu)總能量最小確定最優(yōu)阻尼器參數(shù),可以作為相鄰結(jié)構(gòu)減震初步參數(shù)設(shè)計的依據(jù).