朱端朱珍德張聰孟松松

(1.河海大學(xué) 巖土力學(xué)與堤壩工程教育部重點實驗室,南京210098；2.河海大學(xué) 江蘇省巖土工程技術(shù)工程研究所,南京210098)

混凝土以其原料豐富、價格低廉、抗壓強度高、耐久性好等良好特點而成為當(dāng)今時代建筑結(jié)構(gòu)物主要的組成部分[1].但混凝土結(jié)構(gòu)構(gòu)件在長期承載下,常發(fā)生構(gòu)件過度變形、整體強度大幅降低甚至承載能力喪失的不利情形,其根本原因除施加荷載波動、建筑物垮塌外,還與混凝土自身的徐變特性密切相關(guān)[2].早齡期混凝土徐變程度更大,徐變效應(yīng)更加顯著,因此對早齡期混凝土徐變特性的研究是一個十分重要的課題.

在混凝土的徐變研究中,選擇合理的計算模型是控制和解決混凝土徐變變形的關(guān)鍵[3].近年來,國內(nèi)外諸多專家和學(xué)者對混凝土徐變進行了大量的室內(nèi)實驗和理論研究,提出了多種混凝土徐變計算模型,Bazant等[4]通過濕度擴散理論及固結(jié)理論建立了B3模型,并通過具體的混凝土試驗確定各項材料參數(shù)；此外,還 有CEB-FIP 模 型、EC2 模 型、ACI209 模 型、GL2000模型等[5].但是,在以上的研究中,大為半理論半經(jīng)驗?zāi)Ｐ?概念和條理清晰,計算過程仍有簡化空間；針對早齡期徐變問題,大多數(shù)多系數(shù)徐變模型中參數(shù)的取值范圍尚有擴展空間,且早齡期徐變的時效性和適用性尚待考察和進一步驗證.流變模型具有意義明確、形象直觀的優(yōu)勢,夏成俊[6]等基于Burgers模型,建立四參數(shù)變系數(shù)Burgers模型用來預(yù)測早齡期混凝土徐變.楊楊,吳炎平,朱張豐,等[7]通過將Kelvin模型與彈簧元件并聯(lián),提出了一種ZC 早齡期混凝土徐變新模型,還有學(xué)者通過將Maxwell模型串聯(lián)多個Kelvin模型來模擬早齡期混凝土徐變[5].

分數(shù)階微積分是一個有效解決物理力學(xué)建模難題的數(shù)學(xué)工具,與整數(shù)階微積分相比較,分數(shù)階微積分具有全局相關(guān)性好,可以充分體現(xiàn)函數(shù)隨時間變化的歷程[8].近年來,分數(shù)階微積分理論在土木工程領(lǐng)域廣泛運用.熊德發(fā),王偉,楊廣雨,等[9]建立了基于分數(shù)階導(dǎo)數(shù)的Nishihara粘塑性軟巖流變模型,并給出了流變模型的參數(shù)確定方法,能夠較好地與試驗結(jié)果相吻合.周勇,黃耀英,劉枉,等[10]從分數(shù)階微積分理論出發(fā),構(gòu)建了基于分數(shù)階導(dǎo)數(shù)的溫濕度耦合作用下的水工混凝土抗壓強度分數(shù)階開爾文模型,并通過混凝土抗壓試驗的曲線擬合,驗證了該模型可以很好地反映溫濕耦合作用下混凝土抗壓強的變化特征.劉鈺,黃耀英,唐騰飛,等[11]在分數(shù)階微積分的框架下提出了一種基于分數(shù)階導(dǎo)數(shù)的廣義Kelvin模型徐變本構(gòu)模型,給出了大壩混凝土分數(shù)階徐變模型的表達式,并通過實例證明了該模型比一般的組合流變模型擬合精度高,可以較好地反映大壩混凝土徐變?nèi)^程.基于此,為更好地描述早齡期混凝土的徐變規(guī)律,本文基于分數(shù)階微積分理論和流變模型理論,結(jié)合Burgers模型利用Able粘壺置換模型中的牛頓粘壺,提出一種基于分數(shù)階理論的早齡期混凝土徐變本構(gòu)模型,并進行合理性和適用性驗證,給出模型參數(shù)的計算方法以及分數(shù)階階數(shù)的敏感性分析,以期為早齡期混凝土徐變模型提供一種新的思路.

1 基于分數(shù)階導(dǎo)數(shù)的混凝土Burgers徐變模型

1.1 Burgers徐變模型

早齡期混凝土徐變模型的模擬,可以通過彈簧和阻尼器串并聯(lián)組合的方式來描述.早齡期混凝土的徐變過程可由Maxwell模型和Kelvin模型串聯(lián)表示,如圖1所示.其中,Maxwell體表示混凝土的流變特性在水泥水化過程中由粘塑性向粘彈性的轉(zhuǎn)變過程；Kelvin體表示混凝土中骨架的粘彈性特性.

Burgers模型本構(gòu)方程為:

大量研究表明[6,12],Burgers模型對早齡期混凝土徐變效果并不理想,主要原因是混凝土在早齡期階段水化反應(yīng)迅速,內(nèi)部結(jié)構(gòu)尚未穩(wěn)定,故模型參數(shù)應(yīng)具有時效性.而分數(shù)階可以充分體現(xiàn)函數(shù)隨時間變化的歷程,故建立基于分數(shù)階Burgers模型來進行改正.

1.2 Riemann-Liouville分數(shù)階軟體元件

分數(shù)階微積分的定義有多種,本小節(jié)主要通過Riemann-Liouville理論對早齡期混凝土徐變特性進行定義和描述.分數(shù)階積分定義[13]為:

定義Riemann-Liouville分數(shù)階微分形式[13]為:

混凝土材料是一種介于理想固體和理想流體之間的材料,可以用軟體元件[14](Able粘壺)描述介于純彈性體和牛頓流體之間的中間材料,Newton粘壺和Able粘壺如圖2所示.

建立基于分數(shù)階導(dǎo)數(shù)的本構(gòu)方程[15]為:

對式(3)兩邊進行分數(shù)階積分,根據(jù)Riemann-Liouville分數(shù)階積分定義[13],可得:

1.3基于分數(shù)階導(dǎo)數(shù)的Burgers徐變模型的建立

對于早齡期混凝土,在低應(yīng)力水平下,典型壓縮徐變過程包括兩個階段:減速徐變、等速徐變.為了能夠準(zhǔn)確描述早齡期混凝土徐變過程,本文采用Able粘壺代替Burgers模型中的Newton粘壺,利用Maxwell體和Kelvin體中的彈簧元件描述混凝土骨架的彈性應(yīng)變,Maxwell體和Kelvin體中的Able粘壺描述水泥漿體產(chǎn)生的不可恢復(fù)的徐變.從而構(gòu)建基于分數(shù)階導(dǎo)數(shù)的早齡期混凝土徐變本構(gòu)方程.本構(gòu)組合模型如圖3所示.

1)彈性體應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系

式中:σ 為加載應(yīng)力,E0為彈性體的彈性模量.

2)粘性體應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系

式中:η1為Able粘壺的粘滯系數(shù),n為分數(shù)階階數(shù).求解上式可得:

式中:Γ(g)為Gamma函數(shù).

3)粘彈性體應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系

粘彈性剪切變形可根據(jù)軟體元件和彈簧并聯(lián),得:

式中:E2、η2分別為粘彈性體中的彈性模量和粘滯系數(shù).

根據(jù)分數(shù)階微積分理論及有關(guān)文獻[16]可得:

綜合以上3部分應(yīng)變,得到基于分數(shù)階的早齡期混凝土徐變本構(gòu)方程為:

最終得到考慮加載齡期的混凝土Burgers徐變本構(gòu)方程:

2 分數(shù)階導(dǎo)數(shù)Burgers徐變模型驗證

到目前為止,流變模型參數(shù)計算及其確定的方法主要包括:流變曲線分解法、回歸反演法和最小二乘法.其中最小二乘法是目前使用最廣泛、效果最理想的方法之一.然而,在利用分數(shù)階導(dǎo)數(shù)進行本構(gòu)方程的研究中,參數(shù)的數(shù)值計算和擬合過程往往不夠精確.因此,極有必要對分數(shù)階導(dǎo)數(shù)和最小二乘法進行耦合計算研究.本文利用Levenberg-Marquardt(LM)算法進行模型參數(shù)曲線擬合的改進[16].

2.1 不同齡期普通混凝土壓縮徐變試驗

許巧等[17]對普通混凝土試件開展了不同早齡期下的壓縮徐變試驗.其中,水泥采用普通硅酸鹽水泥,強度為52.5 MPa,細骨料為河砂,水膠比為0.295,砂率為40%,粉煤灰摻量為20%.混凝土試件單軸壓縮徐變儀器采用智能控制壓力試驗機,試件采用尺寸為150 mm×150 mm×300 mm的棱柱體.整個實驗階段均在室溫(20±2)℃、濕度95%左右下進行,應(yīng)力水平為0.2(11 MPa),齡期分別控制在1 d、2 d、3 d、7 d.徐變試驗曲線如圖4所示.

利用所構(gòu)建模型,對上述試驗結(jié)果進行數(shù)值分析,并與Burgers模型進行對比.模型擬合及對比結(jié)果如圖5所示,計算得到分數(shù)階Burgers參數(shù)見表1.

表1不同早齡期混凝土徐變模型參數(shù)表

通過圖5和表1可知:混凝土在不同早齡期下徐變程度不同,但趨勢相同,徐變過程均為彈性徐變階段和減速徐變階段.傳統(tǒng)Burgers本構(gòu)模型擬合效果較差,較試驗數(shù)據(jù)偏大,缺失彈性階段；且隨齡期增加,減速徐變階段不明顯.而分數(shù)階Burgers本構(gòu)模型可通過分數(shù)階階數(shù)n 控制徐變程度和徐變速率,能夠更好地描述不同早齡期混凝土徐變試驗曲線特征.

所構(gòu)建分數(shù)階Burgers模型與上述不同早齡期混凝土壓縮徐變試驗曲線具有一致的變化趨勢,擬合相關(guān)系數(shù)達到0.95以上,相關(guān)性較好.因此,可以說明所構(gòu)建本構(gòu)模型能夠反映早齡期混凝土持續(xù)加載后的瞬時彈性變形,同時也能夠表達第1階段的減速徐變和進入第2階段的等速穩(wěn)定的徐變過程.

2.2 不同齡期高強混凝土壓縮徐變試驗

Matthieu Briffaut[18]進行了不同早齡期下的高強混凝土單軸壓縮徐變試驗.試驗中水泥采用52.5R普通硅酸鹽水泥,并添加硅粉、粉煤灰等活性物摻料,高性能減水劑等成分,礦混凝土水膠比為0.26,砂率41.2%.其中壓縮徐變試件尺寸為70 mm×70 mm×280 mm,加載壓縮應(yīng)力水平為0.25fcm(13 MPa),并采用液壓千斤施加恒載,通過嵌入混凝土中的感應(yīng)式傳感器記錄縱向變形,在保持試驗溫度20℃的條件下,進行了一系列不同早齡期單軸壓縮徐變試驗,混凝土齡期分別為24 h、32 h、64 h、120 h.試驗曲線如圖6所示.高強混凝土的徐變度隨齡期的增加逐漸減小.

利用所構(gòu)建模型,對Matthieu Briffaut等試驗結(jié)果進行數(shù)值分析,并與Burgers模型進行對比,模型擬合及對比結(jié)果如圖7所示,計算得到分數(shù)階Burgers參數(shù)見表2.

表2不同早齡期混凝土徐變模型參數(shù)表

根據(jù)圖7和表2可知:上述早齡期混凝土徐變過程包括為彈性應(yīng)變和減速徐變,Burgers本構(gòu)模型較試驗數(shù)據(jù)偏大,減速徐變階段不明顯,且進入等速徐變階段加快,擬合效果較差.分數(shù)階Burgers本構(gòu)模型可描述該試驗曲線特征,隨著徐變程度的減小,分數(shù)階階數(shù)也相應(yīng)減小,根據(jù)曲線特征選取分數(shù)階的階數(shù)n,體現(xiàn)了分數(shù)階Burgers 本構(gòu)模型的靈活性.Matthieu Briffaut試驗曲線與所構(gòu)建模型具有一致的變化趨勢,擬合相關(guān)系數(shù)達到0.96以上,相關(guān)性較好,能夠較好地擬合彈性變形和減速徐變階段.通過比較分析可知基于分數(shù)階理論的Burgers模型可以更好地模擬早齡期混凝土的徐變過程.

通過分析上節(jié)實驗數(shù)據(jù)曲線和所構(gòu)建模型理論曲線,為了確定分數(shù)階階數(shù)n對于早齡期混凝土徐變的影響程度,選取典型數(shù)據(jù)進行模型參數(shù)n的敏感性分析.選取許巧[17]開展的早齡期混凝土壓縮徐變實驗,其中應(yīng)力水平為11 MPa、齡期為48 h下的試驗數(shù)據(jù),模型參數(shù)如下:σ=11 MPa,t0=48 h,E1=302 GPa,E2=532 GPa,ηn1=3 844 GPa·h,ηn2=4 277 GPa·h,n=0.4.敏感性分析采用控制變量法研究不同分數(shù)階階數(shù)n對早齡期混凝土徐變程度的影響,分數(shù)階階數(shù)從0.2逐漸增加到0.7,得到一系列不同階數(shù)的徐變曲線結(jié)果如圖8所示.

通過圖8可以看出,分數(shù)階階數(shù)n 對徐變度的影響較大,階數(shù)小于0.3時,徐變曲線趨于一條水平直線,減速徐變階段不明顯；隨著分數(shù)階階數(shù)的增加,瞬時徐變發(fā)生的時間越短,進入減速徐變以及等速徐變持續(xù)時間也越短；隨著階數(shù)的不斷增加,徐變的變形量逐漸增大,且分數(shù)階階數(shù)大于0.5時,變化幅度隨之快速增大.此外,混凝土徐變速率同樣受分數(shù)階階數(shù)的影響,即分數(shù)階階數(shù)越高,各個階段徐變速率越大,反映了分數(shù)階Burgers模型的靈活性.

3 結(jié)論

1)基于粘彈塑性流變理論、Riemann-Liouville理論、Burgers模型等,利用Able粘壺重構(gòu)分數(shù)階軟體組合元件,建立了基于分數(shù)階的Burgers模型的早齡期混凝土徐變方程,給出了所構(gòu)建模型中參數(shù)的具體計算方法.

2)通過許巧和Matthieu Briffau等早齡期混凝土單軸壓縮徐變試驗數(shù)據(jù),對不同早齡期下的普通和高強混凝土徐變過程進行驗證,結(jié)果表明:所構(gòu)建模型能夠?qū)υ琮g期混凝土徐變過程保持較高的一致性,可對混凝土工程的實際應(yīng)用提供一定參考和借鑒.

3)為確定所構(gòu)建模型中分數(shù)階階數(shù)影響程度,對分數(shù)階Burgers模型早齡期混凝土徐變本構(gòu)模型中分數(shù)階階數(shù)n進行了敏感性分析,結(jié)果表明:分數(shù)階階數(shù)n越大,徐變度越大,徐變速率越大.