李超，王佐才、2，李德安

（1.合肥工業(yè)大學(xué)土木與水利工程學(xué)院，安徽 合肥 230000；2.土木工程防災(zāi)減災(zāi)安徽省工程技術(shù)研究中心，安徽 合肥 230000）

1 引言

隨著土木工程技術(shù)的快速發(fā)展，橋梁建設(shè)事業(yè)取得了長(zhǎng)足的進(jìn)步，但隨之而來(lái)的橋梁的安全狀況問題更加突出。在已建成和正在修建的橋梁工程中，急需采用切實(shí)有效的檢測(cè)手段進(jìn)行安全評(píng)估，識(shí)別和控制損傷，防止災(zāi)難發(fā)生。結(jié)構(gòu)一旦發(fā)生損傷，必然引起其物理特性的變化，即結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)的變化。一般情況下結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)包括以下3個(gè)方面，即結(jié)構(gòu)的阻尼比、結(jié)構(gòu)的振動(dòng)頻率以及結(jié)構(gòu)各階模態(tài)的振型。此外，利用模態(tài)參數(shù)對(duì)橋梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行損傷識(shí)別和安全評(píng)估具有十分重要的工程意義。

傳統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)識(shí)別方法需要同時(shí)測(cè)得激勵(lì)和響應(yīng)信號(hào)，但是在一些大型結(jié)構(gòu)中無(wú)法施加激勵(lì)或者施加激勵(lì)成本很高，因此對(duì)結(jié)構(gòu)在環(huán)境激勵(lì)下的模態(tài)參數(shù)識(shí)別尤為重要。環(huán)境激勵(lì)下橋梁結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)識(shí)別具有以下優(yōu)點(diǎn)：①只需要根據(jù)結(jié)構(gòu)在環(huán)境激勵(lì)下的響應(yīng)信號(hào)就可以識(shí)別結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)，而且識(shí)別的結(jié)果能真實(shí)的反映結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)特性；②無(wú)需額外施加激勵(lì)，不會(huì)對(duì)結(jié)構(gòu)造成損傷。

本文以一座四跨連續(xù)鋼板組合梁橋?yàn)檠芯勘尘?，利用設(shè)計(jì)院提供的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)圖紙建立了該橋梁的FEM模型，并通過環(huán)境激勵(lì)試驗(yàn)測(cè)得結(jié)構(gòu)的加速度響應(yīng)，隨后利用SSI方法對(duì)加速度數(shù)據(jù)進(jìn)行分析進(jìn)一步得到橋梁結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)，接著提出了在SSI方法的基礎(chǔ)上，先利用離散解析模式分解將加速度動(dòng)態(tài)響應(yīng)分解為模態(tài)響應(yīng)，再利用分解后的模態(tài)響應(yīng)識(shí)別結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)，最后分別對(duì)比兩種識(shí)別結(jié)果和有限元分析結(jié)果，驗(yàn)證了以上兩種方法的適用性，并從中可以發(fā)現(xiàn)，在加速度響應(yīng)時(shí)程較短的工況條件下，基于離散解析模式分解方法可以顯著提高橋梁結(jié)構(gòu)阻尼比識(shí)別的準(zhǔn)確性。通過利用這兩種方法對(duì)環(huán)境激勵(lì)下的橋梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行模態(tài)參數(shù)識(shí)別，可以深入了解橋梁動(dòng)力特性，并且可以利用測(cè)試結(jié)果修正有限元模型，對(duì)于橋梁結(jié)構(gòu)更好的維護(hù)和使用具有重要的意義。

2 基于環(huán)境激勵(lì)的模態(tài)參數(shù)識(shí)別理論

2.1 隨機(jī)子空間法

隨機(jī)子空間法（SSI）是一種典型的環(huán)境激勵(lì)下結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)識(shí)別方法，系統(tǒng)的空間模型描述如下：

式中：xk為離散的時(shí)間狀態(tài)向量；yk為輸出向量；vk是傳感器誤差引起的噪聲，wk是處理過程和建模誤差引起的噪聲；矩陣A為離散狀態(tài)矩陣，矩陣C為離散輸出矩陣。假設(shè)wk與vk是均值為零的高斯白噪聲，同時(shí)，wk和vk的協(xié)方差矩陣Q、S、R滿足下式：

式中E為數(shù)學(xué)期望，δpq表示克羅內(nèi)克算子（當(dāng) p=q時(shí),δpq=1，當(dāng) p=q時(shí),δpq=0），p和q是任意兩個(gè)時(shí)間點(diǎn)。

基于SSI的參數(shù)識(shí)別方法首先需要將系統(tǒng)輸出響應(yīng)組成系統(tǒng)的分塊Hankel矩陣，接著對(duì)分塊Hankel矩陣的行進(jìn)行投影得到行投影矩陣，最后利用SVD進(jìn)行矩陣分解，經(jīng)過一系列變換得到離散狀態(tài)矩陣A和輸出矩陣C，利用現(xiàn)有方法即可以得到結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)。

系統(tǒng)的離散狀態(tài)矩陣A可表示為：

式中：Λ＝diag（λ）i（i=1,2，…，n）；Ψ為系統(tǒng)的特征向量矩陣。

根據(jù)離散時(shí)間系統(tǒng)和連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的特征值關(guān)系，求出連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的特征值和特征向量：

式中：λi為離散時(shí)間系統(tǒng)的特征值，為連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的特征值。再根據(jù)模型特征值與系統(tǒng)的模態(tài)阻尼比ξ、固有頻率ω的關(guān)系：

得到系統(tǒng)的固有頻率和阻尼比。

系統(tǒng)的振型可由輸出矩陣C和特征向量矩陣Ψ得到：

2.2 基于離散解析模式分解的模態(tài)參數(shù)識(shí)別方法

2.2.1 解析模式分解

解析模式分解（AMD）是信號(hào)處理方法的一種，其主要目的是用來(lái)提取某段頻率范圍內(nèi)的信號(hào)數(shù)據(jù)，一般情況下，對(duì)于實(shí)測(cè)試驗(yàn)數(shù)據(jù)可利用AMD提取所關(guān)心的信號(hào)數(shù)據(jù)。AMD定理的相關(guān)描述如下：

假設(shè)原信號(hào)是x（t）由多個(gè)頻率的子信號(hào)組成，相應(yīng)的頻率分量為（ω1，ω2，…，ωn）。原信號(hào)可被分解為n個(gè)子信號(hào)此時(shí) x（t）可以被表示為：

如果x（t）中的每一個(gè)頻率分量滿足：ω1＜ωc1，ωc1＜ ω2＜ωc2…，ω（cn-1）＜ωn＜ωcn其中ωcp為選定的截?cái)囝l率，則每個(gè)子信號(hào)分量可以表示為：

式中，表示對(duì)括號(hào)中的函數(shù)進(jìn)行希爾伯特變換。理論的核心是利用選取的截止頻率提取結(jié)構(gòu)振動(dòng)響應(yīng)信號(hào)中的低頻部分，且能夠由下式獲得：

因此，上式如同一個(gè)低通濾波器，濾掉了信號(hào)的高頻部分，通過了信號(hào)的低頻部分。

2.2.2 離散解析模式分解

由于解析模式分解方法是對(duì)于連續(xù)信號(hào)的推導(dǎo)，當(dāng)信號(hào)為離散信號(hào)時(shí)，可能會(huì)導(dǎo)致低頻部分提取失敗。因此，為了能夠有效分析離散信號(hào)，在解析模式分解的基礎(chǔ)上進(jìn)一步提出了離散解析模式分解（DAMD），DAMD定理描述如下：

對(duì)于一個(gè)具有N個(gè)樣本點(diǎn)的離散信號(hào)：x（1），x（2），…，x（i），…（i=0，1，2，…，N-1），離散信號(hào)的各個(gè)分量可以表示為：

式中ωp（q）表示信號(hào)分量xp在時(shí)間點(diǎn) qΔt處的頻率，θp0為信號(hào)分量 xp的初始相位角。則式(10)的離散形式可以表示為：

如果在任意時(shí)間點(diǎn)qΔt處，都有ωp（q）≤ωs/4，則頻率滿足，

式中，ωs是離散時(shí)間序列的采樣頻率。ωK（1q）代表采樣頻率的第K1個(gè)分量，ωK（2q）代表采樣頻率的第K2個(gè)分量。

因此，解析模式分解的離散形式可以進(jìn)一步表示為：

在上式中，對(duì)于解析模式分解的離散形式，分解信號(hào)S（i）包括低頻分量和高頻分量，為了消除高頻成分，進(jìn)一步提出了兩步式AMD，并命名為DAMD，其步驟如下：

第一步：輸入信號(hào) x（i）/2，選取合適的截止頻率，濾出信號(hào)S（'t）。

第二步：將第一步濾出的信號(hào)S（'t）作為輸入信號(hào)，選擇與第一步相同的截止頻率，濾出信號(hào)S（"t）。

通過疊加上面兩個(gè)公式，可以發(fā)現(xiàn)提取的低頻信號(hào)的頻率在任意時(shí)間點(diǎn)均小于截止頻率。

3 數(shù)值模擬

該連續(xù)鋼板組合梁橋跨徑為（4×35）m，主梁采用雙工字鋼板組合梁，組合梁橋面全寬26.5m，鋼梁中心線處的梁高為1.75m。主梁標(biāo)準(zhǔn)橫斷面如圖1所示。

圖1 主梁橫斷面圖（mm）

根據(jù)設(shè)計(jì)圖紙?zhí)峁┑慕孛娉叽?，材料參?shù)以及邊界條件，以SAP2000有限元軟件為平臺(tái)，建立該鋼板組合梁橋的有限元模型，橋梁有限元模型如圖2所示。

圖2 基于SAP2000建立的空間有限元模型

利用該軟件建立的空間有限元模型，進(jìn)行模態(tài)分析,得到模型的前兩階頻率和振型，如圖 3（a）和（b）所示。

諸多材料記載，鏡湖處士方干早年熱衷于謀求功名。據(jù)《唐才子傳》：“干早歲偕計(jì)，往來(lái)兩京，公卿好事者爭(zhēng)延納?！盵6]375但方干天生丑陋的相貌使他幾乎斷絕了仕進(jìn)的希望?！惰b戒錄》記載：“有司議干，才則才矣，不可與缺唇人科名，四夷所聞，為中原鮮士矣。”[7]卷八在歸隱鏡湖后，方干并沒有放棄博取功名的努力。正因?yàn)殓R湖處于浙東政治中心越州，他希望通過干謁當(dāng)時(shí)的權(quán)貴以獲得仕進(jìn)的機(jī)會(huì)，并且為此補(bǔ)好了自己的缺唇，然而時(shí)運(yùn)不濟(jì)終究沒有獲得仕進(jìn)的機(jī)會(huì)。

圖3 橋梁模型前兩階豎向振型

4 環(huán)境振動(dòng)試驗(yàn)

通車前為了全面了解該橋的固有動(dòng)力特性，對(duì)其進(jìn)行了環(huán)境激勵(lì)下的振動(dòng)試驗(yàn)，主要測(cè)試在車輛激勵(lì)下橋梁結(jié)構(gòu)的振動(dòng)加速度響應(yīng)。

為了能夠測(cè)得全橋縱向前若干階的頻率和振型，沿橋跨縱向共布置了15個(gè)測(cè)點(diǎn)，每個(gè)測(cè)點(diǎn)都布置了縱向加速度傳感器，測(cè)點(diǎn)平面布置圖如圖4所示。

圖4 橋面測(cè)點(diǎn)布置圖

運(yùn)用加速度采集系統(tǒng)選擇在正常時(shí)段進(jìn)行加速度數(shù)據(jù)采集，由傳感器拾得環(huán)境激勵(lì)下橋跨結(jié)構(gòu)振動(dòng)加速度信號(hào),采樣頻率100Hz，其中C6測(cè)點(diǎn)的加速度時(shí)程響應(yīng)如圖5所示。

為了研究前文兩種方法識(shí)別結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)的準(zhǔn)確性，本文一共考慮了四種工況。工況一：使用SSI方法直接分解時(shí)長(zhǎng)20s的加速度響應(yīng)信號(hào)，識(shí)別結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)。工況二：使用SSI方法直接分解時(shí)長(zhǎng)100s的加速度響應(yīng)信號(hào)，識(shí)別結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)。工況三：基于離散解析模式分解方法，采用20s的加速度響應(yīng)時(shí)程，識(shí)別結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)。工況四：基于離散解析模式分解方法，采用100s的加速度響應(yīng)時(shí)程，識(shí)別結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)。

模態(tài)參數(shù)識(shí)別結(jié)果

圖5 C6點(diǎn)加速度時(shí)程響應(yīng)

工況二中，對(duì)傳感器采集到的加速度信號(hào)經(jīng)過濾波，降噪處理后，采用隨機(jī)子空間法對(duì)其直接進(jìn)行參數(shù)識(shí)別，得到橋梁結(jié)構(gòu)基于SSI方法在豎向振動(dòng)下的頻率穩(wěn)定圖，如圖6所示，在信號(hào)穩(wěn)定圖中選取穩(wěn)定點(diǎn)，并使所選取的穩(wěn)定點(diǎn)的阻尼比小于5%，得出的梁橋的一階豎彎頻率為 2.67Hz，二階豎彎頻率為8.04Hz。工況四中，利用離散解析模式分解，可以有效的將動(dòng)態(tài)響應(yīng)分解為模態(tài)響應(yīng)，得到的結(jié)果如圖7所示，通過識(shí)別分解后的模態(tài)響應(yīng)，得到梁橋的一階豎彎頻率為 2.64Hz，二階豎彎頻率為8.05Hz。工況一和工況三的識(shí)別步驟分別同工況二和工況四。

圖6 基于SSI豎向振動(dòng)頻率穩(wěn)定圖

圖7 模態(tài)響應(yīng)圖

圖8 結(jié)構(gòu)振型圖

四種工況下橋梁固有頻率和阻尼比的識(shí)別結(jié)果如下表所示。

以工況二為例，其相應(yīng)的振型圖如圖 8（a）和（b）所示。

將基于DAMD方法識(shí)別的橋梁固有頻率同直接使用SSI法和有限元計(jì)算結(jié)果對(duì)比，可以發(fā)現(xiàn)，四種工況下所確定的橋梁固有頻率基本一致。但是，工況一中識(shí)別的結(jié)構(gòu)阻尼比與其他三個(gè)工況識(shí)別結(jié)果相比差別較大，也就是說(shuō)，通過SSI方法確定的結(jié)構(gòu)阻尼比與加速度響應(yīng)時(shí)程的長(zhǎng)度有關(guān)，時(shí)間歷程短會(huì)導(dǎo)致阻尼比的識(shí)別結(jié)果出現(xiàn)較大誤差，與工況四的識(shí)別結(jié)果相比，SSI方法識(shí)別的阻尼比最大誤差為50%。同時(shí)，基于DAMD方法所確定的結(jié)構(gòu)阻尼比，在加速度響應(yīng)時(shí)程較短的工況下，其識(shí)別的結(jié)果仍具有較高的精度。

根據(jù)工況二得出的一階與二階豎彎振型結(jié)果，和前文中基于有限元軟件得到的一階和二階振型圖比較，發(fā)現(xiàn)形狀吻合，這說(shuō)明利用SAP2000有限元軟件推導(dǎo)梁橋的振型以及頻率都是真實(shí)可行的，也說(shuō)明了利用基于DAMD方法可以有效的將結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)分解為模態(tài)響應(yīng)，分解后的模態(tài)響應(yīng)可進(jìn)一步用于模態(tài)參數(shù)識(shí)別，結(jié)果表明該方法能夠較好的識(shí)別梁橋的工作模態(tài)參數(shù)。

5 結(jié)語(yǔ)

本文研究了基于環(huán)境激勵(lì)下鋼板組合梁橋的模態(tài)參數(shù)識(shí)別方法，分別采用了隨機(jī)子空間法和基于離散解析模式分解方法對(duì)橋梁結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)進(jìn)行識(shí)別，將識(shí)別的結(jié)果同理論值進(jìn)行對(duì)比，得到以下結(jié)論：

①SSI法和基于DAMD方法識(shí)別出的橋梁結(jié)構(gòu)的固有頻率和理論值誤差結(jié)果較小，表明兩種方法對(duì)該鋼板組合梁橋固有頻率的識(shí)別效果良好；

②基于DAMD方法對(duì)橋梁結(jié)構(gòu)阻尼比的識(shí)別精度高于SSI法，特別是在加速度響應(yīng)時(shí)程較短的工況下，利用DAMD方法可以顯著提高橋梁結(jié)構(gòu)阻尼比識(shí)別的準(zhǔn)確性。