楊管金子，李建辰，黃海，國琳娜

(1.中國船舶集團有限公司第705研究所，陜西 西安 710075；2.水下信息與控制重點實驗室，陜西 西安 710075)

0 引言

作為運動載體姿態(tài)測量的重要慣性器件，陀螺在使用過程中由于運輸、振動及長時間存放等因素，在不同誤差項上會積累一定的漂移誤差，該誤差的積累會直接導(dǎo)致載體姿態(tài)測量精度難以滿足原定的指標(biāo)需求，因此在一定時間后需對陀螺進行再次標(biāo)校，以保證陀螺經(jīng)過長時間運輸及存放過程后的姿態(tài)測量精度要求。解決這類問題的傳統(tǒng)方法是將陀螺返廠，在實驗室條件下采用高精度轉(zhuǎn)臺設(shè)備，通過速率及位置法對陀螺刻度因數(shù)及漂移進行標(biāo)校，這無形中增加了用戶對陀螺的使用成本。而一般的現(xiàn)場標(biāo)校方法對位置有著一定限制，且需要輔助設(shè)備或工裝的支持，增加了用戶的現(xiàn)場操作難度及限制[1-2]。

三軸陀螺的現(xiàn)場標(biāo)定由于缺乏高精度設(shè)備支持，無法獲取準(zhǔn)確的輸入基準(zhǔn)，因此擬根據(jù)陀螺的靜態(tài)及動態(tài)輸出特性，參考以下原理進行陀螺刻度因數(shù)及漂移的現(xiàn)場標(biāo)校：1)靜態(tài)條件下，陀螺三軸輸出模值應(yīng)與地球自轉(zhuǎn)角速率模值相等；2)動態(tài)旋轉(zhuǎn)后，動作前的三軸加速度計輸出，經(jīng)過陀螺動態(tài)解析出的姿態(tài)陣轉(zhuǎn)換后的計算值，應(yīng)與動作后的三軸加速度計輸出相等。根據(jù)上述兩個相等原理可以構(gòu)造關(guān)系等式。由于器件及現(xiàn)場環(huán)境的干擾，等式無法進行有效求解，而將陀螺的現(xiàn)場標(biāo)校問題轉(zhuǎn)化為最優(yōu)解析問題進行最優(yōu)解析，即可得到需標(biāo)校誤差參數(shù)值[3-5]。

陀螺標(biāo)校過程中，由于動態(tài)旋轉(zhuǎn)采樣的關(guān)系，刻度因數(shù)及漂移對陀螺輸出精度的影響存在耦合關(guān)系，需要分別對刻度因數(shù)及常值漂移進行動態(tài)及靜態(tài)數(shù)據(jù)采集并進行標(biāo)校；另外，陀螺動態(tài)實時姿態(tài)解析，加上優(yōu)化解析過程中過于寬泛的初始范圍，極易導(dǎo)致求解過程中的盲目進化及過早陷入局部最優(yōu)[6-7]。

為滿足陀螺長期的現(xiàn)場工作精度需求，貼合及方便用戶的使用，本文擬對中等精度陀螺的現(xiàn)場無設(shè)備及工裝支持的標(biāo)校方法進行研究。研究過程中針對陀螺動態(tài)解析帶來的耦合及局部最優(yōu)問題，將進一步針對刻度因數(shù)與漂移的隔離標(biāo)校方法、改進遺傳算法最優(yōu)解析、基于陀螺輸出特性的初始搜索范圍預(yù)先逼近方法等進行優(yōu)化改進。

1 改進的遺傳算法最優(yōu)解析

根據(jù)三軸陀螺的輸出特性分析，由標(biāo)校問題轉(zhuǎn)化而成的最優(yōu)求解問題存在多參量及強非線性特性，通過對不同數(shù)學(xué)方法的比對，本文選取遺傳算法作為該最優(yōu)解析的數(shù)學(xué)方法。遺傳算法通過模擬生物的進化及交叉變異過程實現(xiàn)對最優(yōu)數(shù)值的遞推逼近。作為一種通用性好、魯棒性強的啟發(fā)式隨機搜索優(yōu)化算法，遺傳算法在保證局部搜索精度的同時兼顧全局搜索能力，并能較好地根據(jù)對象的不同使用特性來完成對不同功能項的適應(yīng)性改進。

圖1所示為遺傳算法的一般流程，大致分為初始化階段、適應(yīng)度計算階段、判定階段、新種群形成階段(即交叉變異階段)。具體步驟如下：1)確定待求解參數(shù)的大致范圍，形成初始搜索范圍，在該范圍中建立初始種群；2)構(gòu)建一種最優(yōu)函數(shù)形式，對種群中的個體進行適應(yīng)值計算描述，以對個體的優(yōu)劣進行判斷；3)根據(jù)適應(yīng)值找出該代種群中的最優(yōu)個體，將該最優(yōu)個體與事先設(shè)計的收斂判據(jù)進行比對，若符合則可宣布獲得待求解的參數(shù)；4)若不符合判據(jù)，則對余下的個體進行交叉變異操作，交叉變異后的個體與該最優(yōu)個體共同形成新一代的種群繼續(xù)迭代步驟2～步驟4，直至某一代最優(yōu)個體符合收斂判據(jù)。

圖1 遺傳算法一般流程圖Fig.1 General flow chart of genetic algorithm

其中，交叉變異為遺傳算法中的關(guān)鍵環(huán)節(jié)之一，它關(guān)系著遺傳算法的進化方向及樣本多樣性，并影響著全局及局部搜索精度。以下主要對交叉變異階段進行介紹。

針對陀螺標(biāo)校計算過程中需要實時進行姿態(tài)轉(zhuǎn)換的問題，為保證陀螺實時更新的數(shù)據(jù)精度，本文對遺傳算法采用實數(shù)編碼模式，以減少轉(zhuǎn)碼帶來的計算及精度損失。在此前提條件下，交叉變異過程采用隨機加權(quán)的形式進行替代；同時，考慮到陀螺輸出自身存在著隨機噪聲，相比于傳統(tǒng)遺傳算法，對其交叉變異過程應(yīng)存在一定的束縛限制，以免生成超過范圍的異常個體，導(dǎo)致迭代過程中出現(xiàn)收斂較慢甚至發(fā)散的現(xiàn)象。

交叉過程公式如下：

(1)

式中：c(t，i)、c(t，j)為交叉過程選中的父代種群中的第i、j個待交叉?zhèn)€體；t為迭代次數(shù)；c(t+1，i)、c(t+1，j)為生成的子代種群中用于替代父代種群的第i、j個新個體；α1為期望0.5的正態(tài)分布。

(1)式保證了生成的子代種群在理論上覆蓋了父代種群的所有特征區(qū)域，且大概率繼承父代優(yōu)勢特征，同時也可能跳出父代特征限制，生成新的種群個體。該設(shè)計在保證種群多樣性的同時提高了種群的魯棒性，保持了整體的進化方向。

同樣，變異過程公式如下：

(2)

式中：hi為變異過程選中的父代種群中第i個待變異個體；h′i為生成的子代種群中用于替代父代種群的第i個新個體；hmin、hmax分別為父代種群中適應(yīng)度最小、最大的個體；ra為0和1之間的概率隨機數(shù)；d(t，x)為[0，x]范圍內(nèi)符合非均勻分布的隨機數(shù)，x表示任意實數(shù)，本文中主要指代(2)式中的hmax-hi和hi-hmin，

d(t，x)=x(1-r(1-t/T)b)，

(3)

r為[0，1]區(qū)間的隨機數(shù)，T為預(yù)設(shè)的最大迭代次數(shù)，b為系數(shù)參數(shù)。

(3)式使得變異過程的影響隨著迭代次數(shù)的增長以某種速度減小，將迭代過程以該速度進行收斂，使得進化方向保證隨著迭代次數(shù)的增長而逐步統(tǒng)一，減少盲目的進化方向及不必要的計算資源浪費。

交叉、變異并不是針對所有的父代個體，其目的是為了防止遺傳算法陷入局部最優(yōu)陷阱，同時加速收斂過程，因此需要對交叉和變異的個體進行有目的的選擇。本文采取一種自適應(yīng)的交叉概率和變異概率設(shè)定方式，概率公式如下：

(4)

(4)式使得對遺傳算法進化方向有用的個體更容易進行交叉和變異，從而激發(fā)出更加逼近真值的下一代個體。相對于固定的概率值，上述自適應(yīng)概率公式的設(shè)計能夠進一步加快遺傳算法的收斂速度。

2 靜態(tài)條件下的常值漂移現(xiàn)場標(biāo)校方法

在動態(tài)條件下，陀螺的刻度因數(shù)和漂移對陀螺輸出精度的影響存在耦合關(guān)系，無法對其進行辨識，因此，需要對陀螺的刻度因數(shù)和漂移進行隔離標(biāo)校。根據(jù)第1節(jié)所述原理，靜態(tài)條件下，陀螺三軸輸出模值應(yīng)與地球自轉(zhuǎn)角速率模值相等，且在靜態(tài)條件下刻度因數(shù)對陀螺輸出的影響不會彰顯。因此，可在靜態(tài)條件下對陀螺的漂移進行預(yù)先標(biāo)校，來消除在動態(tài)條件下漂移對刻度因數(shù)標(biāo)校的耦合影響問題。根據(jù)上述原理，構(gòu)建如下等式：

(5)

(5)式顯示出即使在靜態(tài)條件下，陀螺輸出中仍包含著地球自轉(zhuǎn)的影響，因此該項地球自轉(zhuǎn)角速率不能看作常值，必須將其進行刻度因數(shù)的加權(quán)。根據(jù)刻度因數(shù)的初始范圍，將該項地球自轉(zhuǎn)角速度作為變量，與陀螺三軸漂移共同構(gòu)成4變量參數(shù)的最優(yōu)化問題：

(6)

Xωe=[ak，bk]×ωe，

(7)

ak、bk為預(yù)估的刻度因數(shù)初始范圍；按照靜態(tài)條件，陀螺輸出的最大值及最小值作為漂移的初始搜索范圍的上下界即可。

通過(6)式即可完成對漂移項的最優(yōu)解析，從而預(yù)先標(biāo)校出漂移，消除動態(tài)條件下漂移對刻度因數(shù)的耦合影響。

下面采用數(shù)學(xué)仿真的形式對上述漂移標(biāo)校問題進行驗證。數(shù)學(xué)仿真模擬參數(shù)指標(biāo)如表1所示。

表1 仿真參數(shù)Tab.1 Simulation parameters

對陀螺分別進行不同姿態(tài)下的靜態(tài)放置，陀螺及加速度計的連續(xù)采樣原始數(shù)據(jù)如圖2所示。

圖2 數(shù)學(xué)模擬條件下的慣性測量組合輸出曲線Fig.2 Output curves of inertial measurement unit in mathematical simulation

對上述數(shù)據(jù)，截取陀螺靜態(tài)數(shù)據(jù)進行優(yōu)化函數(shù)構(gòu)建，采用遺傳算法進行最優(yōu)解析。遺傳算法迭代目標(biāo)函數(shù)價值變化曲線及三軸漂移參數(shù)解析迭代過程如圖3所示。

由圖3可見，漂移間參數(shù)相差較大，無法準(zhǔn)確觀察到漂移的收斂情況，最終具體標(biāo)校參數(shù)如表2所示。

圖3 遺傳迭代過程中的參數(shù)收斂曲線Fig.3 Convergence curves of parameters in process of genetic iteration

表2 現(xiàn)場標(biāo)校結(jié)果Tab.2 Field calibration results

由表2可見，通過設(shè)定的刻度因數(shù)加權(quán)補償后，標(biāo)校得到的漂移參數(shù)與設(shè)定值間的誤差為[0.003 °/h，0.053 °/h，0.060 °/h]，該標(biāo)校誤差與設(shè)定不可補償常值漂移誤差0.1 °/h相符。該精度驗證了本文所提出方法的有效性，即在數(shù)學(xué)仿真基礎(chǔ)上能夠達到理論的標(biāo)校精度。

3 動態(tài)條件下的刻度因數(shù)現(xiàn)場標(biāo)校方法

完成陀螺的靜態(tài)漂移標(biāo)校后，即可根據(jù)引言中的原理2，以加速度計輸出作為姿態(tài)轉(zhuǎn)換的方向基準(zhǔn)，構(gòu)造以陀螺刻度因素為解析變量的目標(biāo)函數(shù)，對陀螺刻度因數(shù)值進行標(biāo)校。

將上述原理過程進行以下公式的推導(dǎo)：

(8)

(9)

(10)

通過(8)式～(10)式，可根據(jù)陀螺的采樣數(shù)據(jù)對姿態(tài)陣進行實時更新。

測量出初始時刻的三軸加速度計輸出，通過(11)式對每一靜止時刻的加速度計輸出值進行計算：

(11)

通過(12)式對加速度計實際輸出和計算輸出進行差值模計算：

(12)

通過(13)式、(14)式構(gòu)造陀螺標(biāo)校的目標(biāo)函數(shù)：

(13)

(14)

式中：kax、kay、kaz分別為陀螺三軸的刻度因數(shù)；Nwx、Nwy、Nwz分別為陀螺三軸的原始輸出；bwx、bwy、bwz分別為陀螺三軸的漂移。

目標(biāo)函數(shù)構(gòu)成后即可采用遺傳算法，在搜索范圍內(nèi)對其進行參數(shù)最優(yōu)解析，得到最終標(biāo)校結(jié)果[8-11]。

在開始進行遺傳算法迭代計算前，最優(yōu)解析問題初始搜索范圍的有效設(shè)定，一方面可以降低最優(yōu)化過程過早陷入局部最優(yōu)的風(fēng)險，另一方面可以有效地抑制盲目的進化方向，減少無效計算過程；同時，本文所涉及的刻度因數(shù)及漂移標(biāo)校過程皆建立在刻度因數(shù)初始范圍基礎(chǔ)上，因此需結(jié)合陀螺標(biāo)校自身特性，對刻度因數(shù)初始范圍進行有效地逼近縮小。

以往對慣性器件的使用經(jīng)驗及廠家提供的大量數(shù)據(jù)顯示，同廠生產(chǎn)的同類型慣性器件，裝配到同一產(chǎn)品后其刻度因數(shù)值大致相同?；诖?，在遺傳迭代前，可以采用對生成種群進行分割、并行計算、種群淘汰的方法，同一速率、有指向性地將陀螺三軸刻度因數(shù)的搜索范圍逼近至一個有效的、較小的靠近真值范圍內(nèi)。該方法的大致流程如下：

1)預(yù)先按照所需標(biāo)校的陀螺三軸正方向，旋轉(zhuǎn)陀螺，判定刻度因數(shù)符號；

2)依據(jù)三軸模值粗略計算輔以加權(quán)，得到一個較大的初始搜索范圍，生成初始種群；

3)對初始范圍進行分段區(qū)間劃分，將初始種群分割成H個子種群(H可取5～10)，對每個子種群進行M次隨機復(fù)制，并計算每個種群的價值(即目標(biāo)函數(shù)值)；

4)對比各價值均值，認為較小價值均值對應(yīng)的子種群擁有進化優(yōu)勢，淘汰掉一部分具有明顯劣勢的子種群；

5)對生存的子種群再次進行H段分割，進行新一輪的生存、淘汰挑選；

6)直至第j子種群，其價值計算結(jié)果僅在小范圍波動時，則認為無法繼續(xù)進行分割淘汰，認定形成遺傳算法的最小初始搜索范圍[12-15]。

按照上述方法，在數(shù)學(xué)仿真過程中將初始搜索范圍從0～0.000 264，縮小至0.000 048 56～0.000 050 68，區(qū)間長度縮短近125倍。相關(guān)過程如圖4所示。圖4中X表示無法再繼續(xù)分割的初始范圍集。

圖4 并行計算種群淘汰過程Fig.4 Parallel computing of population selection

同理，在第2節(jié)的數(shù)學(xué)仿真條件下，對陀螺刻度因數(shù)標(biāo)校問題進行驗證。摘取陀螺動態(tài)數(shù)據(jù)進行姿態(tài)轉(zhuǎn)換計算過程，加速度計靜態(tài)數(shù)據(jù)進行轉(zhuǎn)換前后對比基準(zhǔn)，構(gòu)建最優(yōu)函數(shù)進行最優(yōu)解析，遺傳迭代目標(biāo)函數(shù)變化及三軸刻度因數(shù)變化曲線如圖5所示。具體標(biāo)校參數(shù)如表3所示。

圖5 遺傳迭代過程中目標(biāo)函數(shù)值及陀螺刻度因數(shù)收斂曲線Fig.5 Convergence curves of objective function value and gyro scale factor in genetic iteration

表3 現(xiàn)場標(biāo)校結(jié)果Tab.3 Field calibration results

由表3可見，最終標(biāo)校刻度因數(shù)與設(shè)定刻度因數(shù)間相對誤差為[0.004%，0.060%，0.051%]，驗證了本文方法在刻度因數(shù)誤差項上的現(xiàn)場標(biāo)校精度。

4 方法綜述及仿真驗證結(jié)果

根據(jù)現(xiàn)場所具備的條件，本文所提新的陀螺現(xiàn)場標(biāo)校方法大致流程如圖6所示。圖6中，b0表示標(biāo)校得到的陀螺漂移參數(shù)。

圖6 三軸陀螺標(biāo)校流程圖Fig.6 Flowchart of three-axis gyroscope calibration

具體標(biāo)校流程及操作方法如下：

1)以現(xiàn)場桌面或地面作為靜態(tài)平面基準(zhǔn)(無需工裝)，對陀螺3個敏感軸分別進行動態(tài)旋轉(zhuǎn)及靜態(tài)放置連續(xù)采樣(徒手翻轉(zhuǎn)即可，為保證陀螺輸出精度，在靜態(tài)放置及翻轉(zhuǎn)過程中盡量保證時間在10 s以上)，獲得時序上連續(xù)的陀螺動態(tài)、靜態(tài)數(shù)據(jù)和加速度計靜態(tài)數(shù)據(jù)；

2)陀螺動態(tài)數(shù)據(jù)及加速度計靜態(tài)數(shù)據(jù)用于進行刻度因數(shù)標(biāo)校，預(yù)先采用初始分段并行種群淘汰機理，對刻度因數(shù)初始搜索范圍進行方向性逼近；

3)地球自轉(zhuǎn)角速率加權(quán)初始搜索范圍，結(jié)合陀螺靜態(tài)數(shù)據(jù)，參考引言中原理1構(gòu)建漂移標(biāo)校最優(yōu)函數(shù)，漂移初始范圍邊界參考陀螺靜態(tài)數(shù)據(jù)最大值及最小值加減地球自轉(zhuǎn)角速率，進行漂移的最優(yōu)解析；

4)原始數(shù)據(jù)經(jīng)常值漂移補償后，根據(jù)引言中原理2建立刻度因數(shù)標(biāo)校最優(yōu)函數(shù)，刻度因數(shù)初始搜索范圍參考步驟2的逼近結(jié)果，進行刻度因數(shù)的最優(yōu)解析；

5)結(jié)合步驟3、步驟4的最優(yōu)解析結(jié)果，得到最終需標(biāo)校參數(shù)。

下面采用光纖慣性測量組合實體樣機對陀螺現(xiàn)場標(biāo)校方法進行半實物仿真實驗驗證，該光纖慣性測量組合實體樣機陀螺不可補償漂移在0.1 °/h左右。對實體樣機在工作桌面上徒手隨意進行的翻轉(zhuǎn)情況及采集的原始輸出曲線如圖7所示。

圖7 慣性測量組合實體樣機現(xiàn)場翻轉(zhuǎn)過程中的輸出曲線Fig.7 Output curves of inertial measurement unit prototype in the field turnover process

由圖7可見，動態(tài)翻轉(zhuǎn)過程中，角速率及姿態(tài)隨機，且時間較短，整個過程約8 min30 s，截取其中209～258 s，即49 s的時間進行標(biāo)校計算。陀螺標(biāo)校過程中遺傳迭代目標(biāo)函數(shù)變化過程曲線及三軸刻度因數(shù)變化過程曲線如圖8所示。標(biāo)校最終結(jié)果如表4所示。

圖8 遺傳迭代過程中陀螺誤差參數(shù)的收斂曲線Fig.8 Convergence curves of gyro error parameters in genetic iteration

表4 現(xiàn)場標(biāo)校結(jié)果Tab.4 Field calibration results

由表4可見，與轉(zhuǎn)臺標(biāo)定值相比，陀螺常值漂移現(xiàn)場標(biāo)校誤差為[4.74 °/s，6.92 °/s，6.44 °/s]×10-5，即[0.17 °/h，0.25 °/h，0.23 °/h]，基本符合該實體樣機的不可補償漂移指標(biāo)，刻度因數(shù)現(xiàn)場標(biāo)校相對誤差為[0.14%，0.04%，0.25%]。上述標(biāo)校結(jié)果即來自現(xiàn)場徒手操作的標(biāo)校過程，與該陀螺的轉(zhuǎn)臺標(biāo)定結(jié)果相比，該驗證實驗結(jié)果表明，本文所設(shè)計方法的標(biāo)校精度能夠完全滿足一般運動載體的姿態(tài)測量指標(biāo)需求，且其所利用的數(shù)據(jù)長度不超過1 min，與傳統(tǒng)標(biāo)定時間(需要對各軸進行多次且保證一定時間的設(shè)定旋轉(zhuǎn))及對器件誤差的估計時間(一般需要至少兩個位置各100 s的估計時間)相比，本文所設(shè)計方法能夠縮短標(biāo)校時間。

通過上述標(biāo)校值對該實體樣機輸出進行參數(shù)誤差補償，再通過補償后姿態(tài)角解算值與轉(zhuǎn)臺標(biāo)定補償后輸出值進行比較，以判定該標(biāo)校方法的可行性及有效性。驗證實驗過程中陀螺及加速度計輸出曲線如圖9所示，通過本文設(shè)計方法補償后姿態(tài)角解算值與轉(zhuǎn)臺標(biāo)定補償后姿態(tài)角解算值的對比誤差曲線如圖10所示。

圖9 轉(zhuǎn)臺模擬慣性測量組合機動過程中的輸出曲線Fig.9 Turntable simulated output curves of inevtial measurement unit during maneuvering

圖10 轉(zhuǎn)臺及現(xiàn)場標(biāo)校補償后姿態(tài)角輸出比較誤差Fig.10 Errors of attitude angle outputs after turntable and field calibration compensations

由圖10可見，在一定的時間內(nèi)對姿態(tài)角進行解算分析，通過與轉(zhuǎn)臺標(biāo)定實體樣機姿態(tài)角輸出進行比較后發(fā)現(xiàn)，現(xiàn)場標(biāo)校補償后，無論旋轉(zhuǎn)及靜態(tài)條件下對比誤差不超過0.1°，對比結(jié)果充分證明了本文所提陀螺現(xiàn)場標(biāo)校方法的可行性與有效性。

5 結(jié)論

本文針對陀螺長期使用誤差積累的問題，同時為貼合用戶實際現(xiàn)場使用需求，提出一種基于最優(yōu)解析的陀螺現(xiàn)場標(biāo)校方法。該方法利用陀螺使用過程中的動態(tài)及靜態(tài)數(shù)據(jù)，對漂移及刻度因數(shù)分別進行標(biāo)校計算，消除了漂移及刻度因數(shù)間的耦合影響問題；通過對刻度因數(shù)初始范圍的逼近，解決了優(yōu)化過程中的盲目進化及過早陷入局部最優(yōu)問題。該方法在保證陀螺整體現(xiàn)場標(biāo)校精度的同時，簡易了操作過程，縮短了標(biāo)校時間，擺脫了對實驗條件的束縛，提高了標(biāo)?，F(xiàn)場操作的便利性，具有較強的實際應(yīng)用價值。

數(shù)學(xué)仿真及半實物仿真實驗結(jié)果顯示，該方法在現(xiàn)場標(biāo)校過程中的刻度因數(shù)標(biāo)校精度能夠達到0.3%，漂移標(biāo)校精度能夠達到0.25 °/h，外特性試驗顯示姿態(tài)角測量精度在動態(tài)及靜態(tài)條件下均能夠達到0.1°，完全能夠達到目前中等精度陀螺的姿態(tài)測量精度需求，從而證明了該方法的有效性，滿足了陀螺長期現(xiàn)場使用的精度指標(biāo)需求。