張伽偉，喻鵬，姜潤翔,孫寶全

(1.海軍工程大學 兵器工程學院，湖北 武漢 430033；2.海軍工程大學 電氣工程學院，湖北 武漢 430033；3.92941部隊44分隊，遼寧 葫蘆島 125000)

0 引言

水下電場作為艦船目標的重要物理場，不僅具有明顯的傳播規(guī)律和分布特征，可實現(xiàn)對艦船目標的探測，還包含大量的艦船信息，可實現(xiàn)對艦船目標的定位和跟蹤[1]。艦船電場可等效為若干點電荷組成，即點電荷陣列模型[2-3]。艦船電場跟蹤則是利用接收到的艦船電場信號，基于點電荷模型實時反演出目標狀態(tài)的過程，準確估計出艦船的位置、速度及源強度等，對于水中兵器目標定位、水下探測陣列目標跟蹤等應(yīng)用具有重要意義。艦船電場跟蹤問題目前研究相對較少，而磁偶極子的跟蹤研究相對較多[4]，參考磁偶極子的跟蹤方法，艦船電場跟蹤可采用的方法主要有解析反演、離線尋優(yōu)和濾波估值三類。解析反演方法受噪聲影響較大，不適用于連續(xù)狀態(tài)解算[5]；離線尋優(yōu)方法不能對變向機動的目標進行實時跟蹤；濾波估值方法是基于觀測模型的在線遞推方法，能夠在一定背景噪聲中對目標狀態(tài)進行實時估計，也是在跟蹤定位領(lǐng)域應(yīng)用最為廣泛的方法。

目前濾波估計方法主要包括粒子濾波[6-7]和卡爾曼濾波兩大類，粒子濾波所需樣本數(shù)量大，計算代價過高，在實際跟蹤中實時性較難保證；卡爾曼濾波形式相對簡單，且具有很高的實時性，易于編程實現(xiàn)，因此更適用于艦船電場跟蹤?？柭鼮V波的方法有很多，一部分側(cè)重于解決濾波過程中的非線性問題[8-11]，一部分側(cè)重于解決濾波初值問題[12-15]，各類方法均有各自特點及優(yōu)劣，而對于艦船電場目標跟蹤實際應(yīng)用所需的濾波估值算法，必須注重綜合考慮艦船電場模型與濾波算法的匹配性、初始條件魯棒性、計算復(fù)雜度和穩(wěn)定性等問題。其中，艦船電場跟蹤中模型準確度與跟蹤模型的低維度是相矛盾的，一方面艦船電場的點電荷陣列模型，若陣元個數(shù)越多則建模精度高，另一方面隨陣元個數(shù)的增多又會增加跟蹤模型的維度，易導致卡爾曼濾波發(fā)散。

針對艦船電場卡爾曼濾波跟蹤中的問題，本文首先建立艦船電場點電荷陣列模型，并結(jié)合艦船電場反演算法，對點電荷個數(shù)、觀測點水深對建模精度的影響進行分析，明確觀測點位置對點電荷個數(shù)的需求，以此作為合理控制艦船電場跟蹤中濾波器維度的依據(jù)，并結(jié)合漸進更新擴展卡爾曼濾波器(PUEKF)進行艦船電場跟蹤仿真分析和試驗驗證。結(jié)果表明，在艦船電場跟蹤中以少量點電荷艦船電場模型等效復(fù)雜點電荷陣列艦船電場模是可行的；PUEKF對艦船少量電場點電荷模型具有初值魯棒性、執(zhí)行效率高等優(yōu)勢，具有較高的應(yīng)用價值。

1 艦船電場點電荷陣列模型建模精度分析

1.1 艦船電場點電荷陣列模型建模

根據(jù)文獻[3]中的艦船電場建模理論，艦船電位和電場的點電荷陣列模型可分別表示為

(1)

(2)

1.2 艦船電場建模精度分析

艦船電場點電荷陣列模型建模精度分析的具體思路是：利用艦船電場仿真軟件Beasy生成艦船在某一平面的電位和電場信號，基于點電荷模型的反演算法[2]，求得點電荷陣列模型中各點源的強度，再代入由點電荷陣列模型正演某一平面的電位和電場值，將計算得到的艦船電位和電場值與Beasy計算結(jié)果進行對比、求得誤差，由此分析點電荷模型對艦船電場的建模精度。定義艦船電位和電場建模精度的相對均方根誤差計算公式為

(3)

(4)

(5)

(6)

式中：Ue為電位建模精度誤差；Ex,e、Ey,e、Ez,e分別為電場在x軸、y軸、z軸方向上的建模精度誤差；Uj表示平面上第j點處的實際電位；j為點電荷陣列模型正演得到的電位值；Exj、Eyj、Ezj為第j電場的實際電場三分量；xj、yj、zj為正演得到的電場三分量。

利用電磁場仿真軟件Beasy建立某船舶三維模型如圖1所示，該船長為130 m，船寬B=17 m，吃水深度約為5 m，海水電導率σs=4 S/m，海床電導率σf=0.1 s/m，海水深度H=100 m.1.5B(1.5倍船寬25.5 m)深度平面的艦船電場分布如圖2所示。

圖1 船體水線下結(jié)構(gòu)邊界元模型Fig.1 Boundary element model for underwater structure of ship

圖2 水深1.5B時船舶自然腐蝕狀態(tài)下電場分布情況Fig.2 Electric field distribution of ships under natural corrosion condition at 1.5B depth

艦船電場模型的點電荷陣列沿艦船縱向分布，對比位于艦船龍骨處的1條點電荷陣列模型，位于艦船龍骨及其兩側(cè)10 m處3條點電荷陣列模型，每條陣列點電荷數(shù)量N分別取2～18等間隔分布(固定每條陣列點電荷數(shù)量N的情況下，3條陣列點電荷模型的點源個數(shù)為3N，1條陣列模型的點電荷個數(shù)為N)，不同陣列數(shù)及陣元數(shù)對艦船電場建模的相對均方根誤差如圖3所示。

圖3 點電荷陣列及陣元個數(shù)對艦船電場建模的相對均方根誤差影響Fig.3 Influences of point charge array and array element number on relative root mean square error

由圖3可以得到以下兩點結(jié)論：

1)點電荷數(shù)量越多，建模的相對均方根誤差越小，但點電荷數(shù)量增加到一定程度后，相對均方根誤差趨于穩(wěn)定(波動在1%以內(nèi))。在實際應(yīng)用中，不是點電荷數(shù)目越多越好，當每條點電荷陣列數(shù)量大于10后，單條點電荷陣列模型和3條點電荷陣列模型建模電位和電場的相對均方根誤差均小于10%.因此，從跟蹤定位模型維度復(fù)雜度的角度考慮，單條陣列點電荷的數(shù)量不宜超過10.

2)每條點電荷陣列上N>8時，對于電位信號U，3條點電荷陣列相比單條點電荷陣列，建模精度有一定的提升，相對均方根誤差有3%～5%的提升；對電場信號，除Ey分量外3條點電荷陣列的建模精度與單條點電荷陣列的建模精度相當。Ey分量3條陣列的建模精度略高于單條陣列(相對均方根誤差降低4%以下)，主要是因為單條陣列無法對沿y軸方向的偶極距進行建模。而實際中，艦船的y軸方向電偶極距遠遠小于x軸方向的電偶極距，采用3條點電荷陣列對建模精度提升作用并不大，而在跟蹤時點電荷的維度會增加3倍，因此從計算量的角度考慮，可采用單條點電荷陣列進行建模。

在上述分析的基礎(chǔ)上，進一步分析單條點電荷陣列模型在不同深度平面點電荷數(shù)量與建模精度的關(guān)系，以艦船電位為例其相對均方根誤差如圖4所示，計算平面分別取1.0B、1.5B、2.0B、2.5B、3.0B，點電荷個數(shù)N取2～18.

圖4 不同深度計算平面下點電荷陣列的建模精度Fig.4 Modeling accuracy of point charge array at difference depths

從圖4中可以看出：隨著平面深度的增加，建模精度越高，在水深大于1.5B(25.5 m)時，5個點電荷模型的相對均方根誤差可小于10%；特別在深度大于3.0B(51 m)時3個點電荷模型的相對均方根誤差為16.98%；在靠近艦船較近時(小于1.0B)，艦船電場建模的相對均方根較大，即使點電荷個數(shù)較大單排點電荷陣列模型的誤差也接近20%，其主要原因為在艦船近處各類局部腐蝕、電解偶電路產(chǎn)生的電場不可忽略，單排點電荷陣列難以準確模擬。

綜合上述分析可知，在利用艦船電場進行跟蹤定位時，艦船電場的點電荷陣列模型，可取單排點電荷陣列，測量點相對于艦船的水深大于1倍船寬時可取5個點電荷，大于3倍船寬時最少可取3個點電荷。

2 艦船電場的跟蹤模型

2.1 艦船電場跟蹤狀態(tài)模型

由于艦船的運動狀態(tài)是低動態(tài)的，其航跡可用線性動態(tài)模型描述，則跟蹤模型為

xk=Φxk-1+Guk-1，
yk=h(xk)+wk，

(7)

假定艦船目標做勻速直線運動，其運動速度為v=(vx,vy)(其中vx、vy分別表示沿x軸、y軸方向的速度分量，這里只考慮在水平面內(nèi)運動)。很顯然，在直角坐標系中，艦船目標的狀態(tài)包括x軸、y軸方向的位置，x軸、y軸方向的速度，等效電場場源的強度q=(I1,I2,I3)(采用3個點電荷對艦船電場進行建模，I1、I2、I3分別為點電荷源強度)，艦船運動過程中受到的隨機擾動表示為uk，采樣間隔為T.則艦船目標由k-1時刻到k時刻的狀態(tài)轉(zhuǎn)換可表示為

(8)

由此可得

(9)

(10)

(11)

艦船狀態(tài)向量可寫為

xk=[xk-1,vx,k-1,yk-1,vy,k-1,qk-1]T.

(12)

根據(jù)點電荷電場的計算公式(2)式，可得到艦船電場的觀測方程為

yk=Ek+wk，

(13)

式中：Ek為k時刻對應(yīng)的電場值。由于這里采用3個點電荷進行建模，(14)式中i取1、2、3即可，從而得到

(14)

聯(lián)合(7)式～(12)式，即可構(gòu)成艦船電場跟蹤問題的狀態(tài)空間模型。由(13)式、(14)式可知，該狀態(tài)模型為非線性模型，因此可利用非線性濾波方法對目標狀態(tài)進行估計。

2.2 漸進更新擴展卡爾曼濾波

針對非線性模型的卡爾曼濾波方法有很多，通過對艦船電場目標定位方法的研究表明，PUEKF應(yīng)用在電場跟蹤上可以達到較好的效果[17-19]。

PUEKF算法的基本步驟如下：

步驟1時間更新。

Pk|k-1=ΦPk-1|k-1ΦT+Qk-1，
k|k-1=Φk-1|k-1，

式中：Pk|k-1為預(yù)測誤差協(xié)方差矩陣；k|k-1為線性化展開點。

步驟2觀測更新。

2)j=1,2,…,Npu循環(huán)執(zhí)行以下更新：

式中：Npu為總執(zhí)行次數(shù)；S為過程變量；λ=1/Npu；K為卡爾曼增益；Hj-1為h(xj-1)在j-1的1階偏導矩陣，即為依據(jù)觀測方程對xj-1進行求解得到觀測量。

3 電場跟蹤仿真算例

根據(jù)第2節(jié)的分析，利用10個點電荷單條陣列模型模擬艦船電場，在電場跟蹤時3個點電荷建立電場跟蹤模型，分析建模及跟蹤方法的有效性，基本仿真參數(shù)設(shè)置如表1所示。

表1 數(shù)值仿真基本參數(shù)設(shè)置Tab.1 Basic parameters setting of numerical simulation

(15)

圖5 最優(yōu)仿真跟蹤結(jié)果Fig.5 Optimal simulation tracking result

圖6 最優(yōu)仿真定位結(jié)果位置分量各采樣點的均方根誤差Fig.6 Root mean square errors of position components of optimal simulation tracking result

從圖5可知，在較大初值誤差下，跟蹤軌跡迅速收斂到真實軌跡附近。由圖6可知，定位誤差隨著濾波算法的開始迅速下降，并基本保持平穩(wěn)，穩(wěn)定后對各個方向的定位誤差在15 m以下。仿真分析表明，用少量點電荷模型代替復(fù)雜點電荷陣列模型來犧牲一定建模精度，降低濾波器的維度，提高濾波器的穩(wěn)定性，在電場定位跟蹤中是可行的。

4 電場跟蹤試驗算例

為了進一步檢驗少量點電荷模型電場跟蹤的有效性，利用海上模擬源實測數(shù)據(jù)對算法的性能進行試驗驗證。電場測量陣列由2個電場測量節(jié)點組成，固定于水面浮箱上，兩個傳感器中心點間距5 m如圖7所示，玻璃鋼船搭載模擬源及差分全球定位系統(tǒng)(GPS)在航道內(nèi)運動，試驗過程如圖8所示。試驗海區(qū)海水深度9 m，海水電導率4 S/m，海底電導率約0.03 S/m，模擬源發(fā)射極水深0.2 m，兩個點電荷發(fā)射電極距離20 m，電流10 A.

圖7 測量節(jié)點Fig.7 Measuring node

圖8 電場跟蹤模擬試驗過程Fig.8 Electric field tracking simulation test

對PUEKF配置，由于電場對艦船的探測距離有限，一般在2 km范圍內(nèi)，因此假設(shè)目標源距離分布在3個等級上，即r=200 m(針對小型目標開始定位的大致距離)，r=600 m(針對中型目標)，r=1 000 m(針對大型目標)，航向起始角設(shè)定為π/4 rad、3π/4 rad、5π/4 rad、7π/4 rad，航速約為3 m/s，共計12個初值不同的濾波器，并以最大似然作為濾波過程中的選擇判據(jù)，觀測噪聲協(xié)方差R取環(huán)境噪聲協(xié)方差(mV/m)：

實際軌跡與跟蹤軌跡如圖9所示，各采樣點估計距離相對均方根誤差如圖10所示。

圖9 實測最優(yōu)跟蹤結(jié)果Fig.9 Measured best tracking result

圖10 最優(yōu)定位結(jié)果位置分量各采樣點的均方根誤差Fig.10 Root mean square errors of position components of optimal tracking result

從圖9可知，在較大初值誤差下，跟蹤軌跡迅速收斂到真實軌跡附近。圖10表明，對正橫距y估計誤差的相對均方根在130 s后(即第1 300個采樣點)基本維持在2 m以下(大部分區(qū)間在1 m以下)，縱向距離x估計誤差的相對均方根誤差在觀測點附近為6 m左右，通過觀測點后最遠處誤差約為18 m.

上述試驗結(jié)果表明，靜態(tài)多模的PUEKF算法在電場跟蹤中可以有效解決先驗信息缺失條件下的目標跟蹤問題，對少量點電荷電場模型定位誤差500 m范圍內(nèi)可小于10 m.

5 結(jié)論

本文針對艦船電場跟蹤中模型準確度與跟蹤模型維度之間的矛盾，根據(jù)艦船電場點電荷陣列模型，并結(jié)合艦船電場反演算法，分析了點電荷個數(shù)、觀測點水深對建模精度的影響，明確了觀測點位置對點電荷個數(shù)的需求，以此作為合理控制艦船電場跟蹤中濾波器維度的依據(jù)。結(jié)合漸進更新擴展卡爾曼濾波算法進行了電場跟蹤仿真分析和試驗驗證。所得主要結(jié)論如下：

1)用少量點電荷模型代替復(fù)雜點電荷陣列模型，犧牲一定建模精度以降低濾波器的維度、提高濾波穩(wěn)定性，在艦船電場定位跟蹤中是可行的。

2)漸進更新擴展卡爾曼濾波方法，對少量點電荷電場模型的跟蹤，能夠有效提高初始誤差允許動態(tài)范圍，具有很高的濾波穩(wěn)定性，定位誤差在500 m范圍內(nèi)小于10 m，且計算代價較低，適合工程應(yīng)用。下一步可結(jié)合實測開展實船電場跟蹤試驗研究。