于耀庭,何芝仙,時(shí)培成,何長凱

(安徽工程大學(xué) 力學(xué)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,安徽 蕪湖 241000)

圖1 具有軸向重合度的直齒圓柱齒輪 圖2 齒輪傳動系統(tǒng)單自由度動力學(xué)模型

1 動力學(xué)模型

為了便于與標(biāo)準(zhǔn)漸開線齒輪傳動系統(tǒng)相比較,研究具有軸向重合度的大重合度直齒圓柱齒輪傳動系統(tǒng)動力學(xué)問題,仍采用單自由度扭轉(zhuǎn)振動模型,如圖2所示。該模型考慮齒輪輪齒的彈性變形,但忽略軸及軸承的彈性變形。根據(jù)剛體繞定軸轉(zhuǎn)動運(yùn)動微分方程,易得齒輪傳動系統(tǒng)運(yùn)動微分方程為[10-11]：

(1)

2 輪齒綜合嚙合剛度

計(jì)算輪齒綜合嚙合剛度是齒輪傳動系統(tǒng)動力學(xué)求解必須解決的關(guān)鍵問題。與標(biāo)準(zhǔn)漸開線直齒圓柱齒輪相比,圖1b所示的齒輪由錯開半個(gè)齒距的兩排標(biāo)準(zhǔn)漸開線直齒圓柱齒輪沿齒寬并聯(lián)組成,因而,就每一排齒輪而言,齒輪嚙合過程中輪齒的變形及嚙合剛度與標(biāo)準(zhǔn)漸開線直齒圓柱齒輪相同。可采用Weber公式計(jì)算輪齒的變形[10-11],即輪齒嚙合時(shí)的變形由嚙合點(diǎn)處的接觸變形δH,輪齒的彎曲及剪切力引起的嚙合點(diǎn)位移δT,考慮輪體彈性變形引起的嚙合點(diǎn)位移δA三部分組成。

(2)

圖3 輪齒的幾何參數(shù)

式中,b為齒寬；ρi為接觸點(diǎn)處齒輪i的齒廓曲線曲率半徑；E為材料的彈性模量；h1、h2分別為輪1、輪2的尺寸,h值、h的意義如圖3所示；αx、FN、SF為齒輪的幾何尺寸,具體意義如圖3所示；x、y為齒輪任意截面處齒廓曲線上一點(diǎn)的x、y坐標(biāo)。

單對齒輪副的嚙合剛度為：

(3)

考慮到齒輪嚙合過程中為單雙齒嚙合區(qū)交替進(jìn)行,故單排齒輪的綜合嚙合剛度kΣ(t)為:

(4)

式中,Tz為一對輪齒一個(gè)嚙合周期所需的時(shí)間；Ts為一對輪齒一個(gè)嚙合周期內(nèi)雙齒嚙合時(shí)間，Ts=Tz(εt-1)。

圖4 大重合度齒輪傳動嚙合過程

對于圖1b所示的大重合度齒輪傳動系統(tǒng),其嚙合過程如圖4所示。由圖4可知，B1B2為實(shí)際嚙合線,Pb為基圓齒距,εt為齒輪的端面重合度。每一排齒輪嚙合過程與標(biāo)準(zhǔn)漸開線直齒圓柱齒輪傳動相同,單、雙齒嚙合區(qū)交替進(jìn)行。由于前后兩排齒輪錯開半個(gè)齒距,后排齒輪相對前排齒輪超前或滯后半個(gè)齒距。后排齒輪的單齒嚙合區(qū)與前排齒輪的雙齒嚙合區(qū)重合,同樣地,前排齒輪的單齒嚙合區(qū)與后排齒輪的雙齒嚙合區(qū)重合。其總綜合時(shí)變嚙合剛度:

km(t)=kΣ1(t)+kΣ2(t),

(5)

式中,kΣ1(t)、kΣ2(t)分別代表前排、后排齒輪的綜合時(shí)變嚙合剛度,由于前后排輪齒錯開半個(gè)齒距,故有：

kΣ1(t)=kΣ2(t+T1/2),

(6)

式中,T1/2為齒輪轉(zhuǎn)動半個(gè)齒距所需時(shí)間。

齒輪之間的法向力在于各對輪齒之間的分配,可以根據(jù)各對輪齒的時(shí)變嚙合剛度求出[10-11],無需贅述。

3 求解結(jié)果及分析

在已知齒輪幾何參數(shù)前提下,法向力作用下輪齒變形及齒輪嚙合剛度用計(jì)算機(jī)編程計(jì)算很容易實(shí)現(xiàn)。在求出大重合度齒輪輪齒時(shí)變綜合嚙合剛度前提下,采用文獻(xiàn)[10-11]所提出的方法,并用Runge-Kutta法求解運(yùn)動方程(1),就可以得到大重合度齒輪系統(tǒng)的動力學(xué)響應(yīng)。

計(jì)算原始數(shù)據(jù)：齒輪齒數(shù)z1=20,z2=41,模數(shù)m=10 mm,壓力角α=20°,單排齒輪有效齒寬B=40 mm,齒輪傳遞功率P=5 kW,小齒輪轉(zhuǎn)速n1=960 r/m。

大重合度齒輪單排齒輪從開始進(jìn)入嚙合到退出嚙合，輪齒嚙合剛度變化曲線如圖5所示。與相同條件的標(biāo)準(zhǔn)漸開線直齒圓柱齒輪相比,變化規(guī)律完全相同,表現(xiàn)為隨嚙合點(diǎn)位置變化先升后降的光滑曲線。大重合度齒輪前排齒輪、后排齒輪綜合嚙合剛度及總嚙合時(shí)變剛度隨嚙合點(diǎn)位置變化曲線如圖6所示。就每一排齒輪而言,其綜合嚙合剛度變化規(guī)律與標(biāo)準(zhǔn)齒輪也完全相同,但前、后兩排齒輪相差半個(gè)齒距。由于兩排輪齒同時(shí)工作,大重合度齒輪在3齒嚙合區(qū)和4齒嚙合區(qū)交替變化。與相同工作條件的標(biāo)準(zhǔn)齒輪(即齒寬B=80 mm)的對比如圖7所示。大重合度齒輪的綜合嚙合剛度嚙合區(qū)交替變化頻率增加了一倍,但綜合嚙合剛度突變的幅度由1.159×109N/m下降為5.776×108N/m,突變幅度減小了一倍。這將會大大改善齒輪傳動系統(tǒng)的動力學(xué)性能,正是大重合度齒輪的獨(dú)特優(yōu)點(diǎn)。

圖5 單對齒輪嚙合剛度 圖6 大重合度齒輪綜合嚙合剛度

不考慮齒輪傳動系統(tǒng)動力效應(yīng)時(shí)齒輪嚙合過程中前后兩排齒輪法向載荷分配關(guān)系如圖8所示。法向載荷在前后排間分配取決于前后排輪齒的綜合嚙合剛度kΣ1(t)及kΣ2(t)。一對輪齒受到的法向載荷在齒輪嚙合過程中的變化規(guī)律如圖9所示。與標(biāo)準(zhǔn)漸開線齒輪相比,同樣表現(xiàn)為法向載荷變化頻率增加了一倍,突變幅度減小了一倍。

圖7 大重合度齒輪與標(biāo)準(zhǔn)齒輪綜合嚙合剛度 圖8 排間法向載荷分配

大重合度齒輪傳動系統(tǒng)法向振動相對位移與速度響應(yīng)如圖10、圖11所示。由圖10、圖11可見,與相同條件下的標(biāo)準(zhǔn)齒輪相比,兩者變化規(guī)律明顯不同,特別是振動位移及速度響應(yīng)幅度下降顯著,位移響應(yīng)振幅由6.237×10-7mm下降至2.275×10-7mm,下降了63.52%,減振效果十分顯著。這是由于大重合度齒輪大大降低了齒輪綜合嚙合剛度的突變量。

圖9 單對輪齒承受的法向力隨嚙合點(diǎn)位置變化 圖10 法向振動相對位移響應(yīng)

圖11 法向振動相對速度響應(yīng) 圖12 輪齒法向動、靜態(tài)位移響應(yīng)

大重合度齒輪在嚙合過程中齒輪間的總法向力、前后兩排齒輪間的法向分力的變化規(guī)律如圖13所示。雖然前后兩排齒輪之間的法向分力之和等于總法向力,但由于前后兩排齒輪之間的法向分力大小并不相同,若將齒寬中心簡化將會產(chǎn)生一個(gè)過齒寬中心沿兩齒輪中心連線方向的力矩,即法向力在排間分配引起的附加力矩,其變化規(guī)律如圖14所示。但這個(gè)隨時(shí)間變化的動態(tài)附加力矩不會引起軸系產(chǎn)生軸向分量,可由軸承徑向分力平衡。

圖13 法向力隨時(shí)間變化情況 圖14 作用在齒輪上的附加力矩隨時(shí)間變化情況

圖15 前排一對齒輪法向力隨時(shí)間變化

4 結(jié)論

對具有軸向重合度的大重合度直齒圓柱齒輪傳動系統(tǒng)進(jìn)行了靜、動力學(xué)分析,并與同等條件下的標(biāo)準(zhǔn)漸開線直齒圓柱齒輪進(jìn)行了比較,得到以下結(jié)論：

大重合度齒輪的綜合時(shí)變嚙合剛度在一個(gè)嚙合周期內(nèi)變化頻率增加了近一倍,突變幅值也減小了近一倍,這正是大重合度齒輪傳動系統(tǒng)動力學(xué)性能得到改善的根本原因。大重合度齒輪傳動系統(tǒng)的法向振動位移響應(yīng)一個(gè)嚙合周期內(nèi)作周期性變化,表現(xiàn)為在靜態(tài)法向位移基礎(chǔ)上疊加高頻振動分量,位移動力放大系數(shù)最大可達(dá)1.338。與標(biāo)準(zhǔn)漸開線直齒圓柱齒輪傳動系統(tǒng)相比,振幅下降了63.52%。大重合度齒輪傳動系統(tǒng)的總法向力由前后兩排齒輪分擔(dān),總法向力由排間分配和齒間分配后分配到每對參與嚙合的齒輪輪齒上。由于前后兩排齒輪之間的法向分力大小并不相同,會產(chǎn)生一個(gè)動態(tài)的附加力矩,但這個(gè)附加力矩不會產(chǎn)生軸向分量。

大重合度齒輪在保留標(biāo)準(zhǔn)漸開線直齒圓柱齒輪優(yōu)點(diǎn)的前提下,提高了傳動系統(tǒng)的重合度,大幅度降低了齒輪傳動的振動和噪聲,改善了直齒圓柱齒輪的動力學(xué)性能,因而可以用于高速傳動場合。