◇ 內(nèi)蒙古 劉漢明 劉鎖霞

所謂極限思想,就是指在某個(gè)方向上或者某個(gè)范圍,一個(gè)指標(biāo)不斷逼近某個(gè)預(yù)設(shè)特定值的過(guò)程,是一個(gè)動(dòng)態(tài)過(guò)程．這個(gè)預(yù)設(shè)的特定值可以是極小值,也可以是極大值．某個(gè)指標(biāo)可能能夠達(dá)到這個(gè)極值,抑或只能無(wú)限趨近它．極限思想是用極限概念分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的一種數(shù)學(xué)思想．微元法是先將整體無(wú)限分割為眾多微小的“元過(guò)程”,從而將非物理模型變成理想化模型,然后累加求和．

高中物理中某些概念的提出、某些實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)的原理和一些物理定理定律的拓展研究等,都需要借助極限思想和微元法．

首先，我們了解一下與極限思想有關(guān)的物理概念和物理名詞．

在物理學(xué)中,很多概念的提出都必須借助極限思想來(lái)完成．一般涉及“瞬時(shí)”的概念,就意味著要將時(shí)間等物理量無(wú)限細(xì)分,例如一段時(shí)間可以被無(wú)限分割后成無(wú)窮多個(gè)時(shí)刻;一段時(shí)間內(nèi)或一段位移內(nèi)的平均速度、加速度或者功率、平均感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)等被無(wú)限分割后會(huì)出現(xiàn)某一時(shí)刻或某一位置的瞬時(shí)速度、瞬時(shí)加速度、瞬時(shí)功率、瞬時(shí)感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)等.當(dāng)然,有些概念也涉及對(duì)空間的分割,如將一段位移無(wú)限分割會(huì)出現(xiàn)不同空間的位置，將一段電流無(wú)限分割后會(huì)出現(xiàn)電流元等．

其次，體會(huì)極限思想在實(shí)驗(yàn)原理設(shè)計(jì)上的妙用．

在物理實(shí)驗(yàn)中,人們雖然無(wú)法取到極限,但是卻可以想辦法去接近極限．光電門就是一個(gè)很好的例子：采用極窄的遮光條通過(guò)傳感器來(lái)測(cè)量其遮光時(shí)間,以求獲得更便捷、更準(zhǔn)確的瞬時(shí)速度,它要優(yōu)于測(cè)速度的其他實(shí)驗(yàn)方法，如頻閃照片法測(cè)速度、打點(diǎn)計(jì)時(shí)器測(cè)速度等．

最后，非特殊運(yùn)動(dòng)情形下的物理規(guī)律的定量表達(dá)和物理公式的表述,有時(shí)也需要用到極限思想及微元方法來(lái)助推思維的發(fā)展．

無(wú)論是運(yùn)動(dòng)學(xué)還是電磁學(xué),很多定律都是可以由極限思想及微元方法論證的,這也更加驗(yàn)證極限思想以及微元方法的重要性,下面我們按照方法分類論證．

1 圖象面積法(微元法)

圖1

用圖象面積來(lái)求某些物理量的大小(如圖1),是有關(guān)極限思想的重要考點(diǎn),一般要滿足橫縱坐標(biāo)物理量的乘積能表示一個(gè)新的物理量,如s=vt，W=Fs,U=Ed等．

物體做初速度為v0,加速度為a的勻加速直線運(yùn)動(dòng),求物體經(jīng)過(guò)t時(shí)間的位移.

圖2

圖3

同理不難論證:彈簧彈力做功和彈性勢(shì)能公式(以彈簧恢復(fù)原長(zhǎng)的過(guò)程為例).

彈簧伸長(zhǎng)量變小的過(guò)程,W彈>0,由動(dòng)能定理得W彈=Fx=ΔEk,由微元法求解面積得

特別提醒: 1)以上分析告訴我們,無(wú)論物體做怎樣的直線運(yùn)動(dòng),畫出它v-t的圖象,位移就是與x軸圍成的面積,但是要注意速度是矢量,所以這里的面積是有正負(fù)之分的．同理,由W=Fs、v=at可知，W和v也可以通過(guò)F-s、a-t圖象的面積進(jìn)行求解,不過(guò)同樣要注意物理量的標(biāo)矢性．

2)有時(shí)所要求解面積的圖形并不規(guī)則,可以考慮先求出函數(shù)解析式,再用定積分法進(jìn)行求解．

圖4

圖5

2 圓和球的無(wú)限分割

在求解與曲線、曲面、球體相關(guān)的物理問(wèn)題時(shí),往往要用到“化曲為直”的極限思想．

1) 向心加速度公式是在幾百年前由惠更斯提出的,下面我們來(lái)感受一下向心加速度公式的論證過(guò)程．

圖6

2) 力學(xué)和電磁學(xué)“化曲為直”的典型案例.

圖7

對(duì)圓的分割自古有之,而大多數(shù)都是分解圓弧,把圓看作一個(gè)正n邊形,其中n趨于正無(wú)窮,對(duì)于此時(shí)的圓，弦長(zhǎng)與弧長(zhǎng)相等．無(wú)獨(dú)有偶,除了惠更斯外,我國(guó)偉大的數(shù)學(xué)家祖沖之也運(yùn)用這種方法算出了圓周率．

力學(xué)中“化曲為直”的典型應(yīng)用就是滑動(dòng)摩擦力做功的求解,經(jīng)過(guò)“化曲為直”的極限思想結(jié)合微元法,容易得出:水平粗糙地面上運(yùn)動(dòng)的物體,滑動(dòng)摩擦力做功Wf=Ffs，其中s是對(duì)地路程.

而電磁學(xué)部分“化曲為直”思想的典型應(yīng)用是彎曲金屬導(dǎo)線(化曲為直)切割磁感線發(fā)電.

求證:半圓形導(dǎo)線在垂直紙面的磁場(chǎng)中以速度v水平切割時(shí),感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)大小E=2Brv．

圖8

證明:將圓弧無(wú)限分割,每一小段近乎為線段．如圖8,取出一小段進(jìn)行分析有E=BΔlvcosθ,而Δlcosθ為該“線段”在AB上投影的有效長(zhǎng)度,如此將每一段有效投影匯總,就得出E=2Brv．

3) 球類問(wèn)題無(wú)限分割法.

求證:在勻質(zhì)球?qū)拥目涨粌?nèi)任意位置處,質(zhì)點(diǎn)受到球殼層引力的合力為零,即∑F=0．

圖9

證明:如圖9所示,一個(gè)勻質(zhì)球?qū)涌梢缘刃闊o(wú)限多厚度可以不計(jì)的勻質(zhì)球殼．任取一個(gè)球殼,設(shè)球殼內(nèi)有一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn),在P(任意位置)處,以質(zhì)點(diǎn)所在位置為頂點(diǎn),做兩個(gè)底面積足夠小的對(duì)頂圓錐．這時(shí),兩圓錐底面可以視為平面．

設(shè)空腔內(nèi)質(zhì)點(diǎn)到兩圓錐底面中心的距離分別為r1、r2,兩圓錐底面的半徑為R1、R2,底面單位面積質(zhì)量為ρ．根據(jù)萬(wàn)有引力定律,兩圓錐底面對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力可以表示為

根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例,有R1∶r1=R2∶r2,則兩個(gè)萬(wàn)有引力之比為

因?yàn)閮梢Ψ较蛳喾?所以引力的合力為零．

以此類推,球殼上其他任意兩對(duì)應(yīng)部分對(duì)質(zhì)點(diǎn)的合引力為零,將整個(gè)球殼對(duì)質(zhì)點(diǎn)的合引力積分后為零,故由球殼組成的球?qū)訉?duì)球殼內(nèi)任意質(zhì)點(diǎn)的合引力也為零,即∑F=0．

上述證明拓展了規(guī)律適用的范圍,它遵從了由特殊到一般的普適性拓展思路．

最后，我們呈現(xiàn)一組用微元法解題的典型例子.

3 典例分析

分析動(dòng)能定理是力對(duì)空間的積累效應(yīng),是功與能之間關(guān)系構(gòu)建的橋梁,它能靈活地解決變力做功的問(wèn)題．

圖10

如圖10所示，當(dāng)一個(gè)物體受到的合力為恒力,以最簡(jiǎn)單的情況為例,分析物體運(yùn)動(dòng)過(guò)程.

當(dāng)一個(gè)物體受到合力為變力時(shí),將“位移”無(wú)限分割,在趨近于無(wú)限小的位移Δs中,物體所受合力可認(rèn)為不變,則此時(shí)

以此類推

疊加求和得

拓展后的結(jié)論:變力做功動(dòng)能定理仍然適用．

圖11

分析動(dòng)量定理是力對(duì)時(shí)間的積累效應(yīng),是沖量和動(dòng)量變化關(guān)系的紐帶,它可以解決變力對(duì)時(shí)間的積累問(wèn)題．

圖12

當(dāng)一個(gè)物體受到的合力為恒力(如圖12),仍然以最簡(jiǎn)單的情況為例,對(duì)物體運(yùn)動(dòng)過(guò)程進(jìn)行分析.由牛頓第二定律得F=ma,由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得vt=v0+at,聯(lián)立得Ft=mvt-mv0,即在恒力問(wèn)題中動(dòng)量定理成立.

當(dāng)一個(gè)物體受到合力為變力時(shí),將“時(shí)間”無(wú)限分割,在趨近于無(wú)限小的時(shí)間Δt中,物體所受合力近乎不變,則此時(shí)F1Δt=mv1-mv0,F2Δt=mv2-mv1,以此類推FnΔt=mvn-mvn-1.

疊加求和得

I合=F1Δt+F2Δt+…+FnΔt=mvn-mv0.

拓展后的結(jié)論:動(dòng)量定理對(duì)于變力作用問(wèn)題仍然適用．

圖13

特別提醒: 微元法最大的難點(diǎn)在于先找到要無(wú)限分割的對(duì)象,是位移、時(shí)間,還是其他的物理量,這取決于最終我們要求解的物理量是什么,這是我們要格外注意的地方．

圖14

將線框下落時(shí)間t無(wú)限分割,每小段近乎勻速,由動(dòng)量守恒定律得

…

匯總求和得

其中每一段近乎勻速的位移累加有

v1Δt+v2Δt+…+vnΔt=s,

解得

總之,運(yùn)用極限思想和微元法解題時(shí),其步驟可概括為:對(duì)于被考查的未知狀態(tài)量,先設(shè)法構(gòu)思一個(gè)與它有關(guān)的變量,確認(rèn)無(wú)限個(gè)此變量的和就是所求的未知量，最后用極限計(jì)算得到結(jié)果．對(duì)于被考查的未知過(guò)程量,則用微元法求和來(lái)解決．熟悉極限思想,善于運(yùn)用微元法,對(duì)于理解和掌握物理概念、定律、定理，解答物理問(wèn)題很有幫助．