浙江省永嘉縣上塘中學(xué)

向量既是代數(shù)研究對(duì)象,也是幾何研究對(duì)象,是溝通幾何與代數(shù)的橋梁[1],是高中數(shù)學(xué)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)中的一個(gè)交匯點(diǎn),而高考命題往往在交匯處設(shè)計(jì)試題.筆者通過(guò)對(duì)浙江高考試題和近年的溫州市高三模擬考試題的研究,發(fā)現(xiàn)一類(lèi)向量與圓結(jié)合的問(wèn)題,這類(lèi)問(wèn)題以向量表征圓,通過(guò)數(shù)形結(jié)合巧解平面向量最值問(wèn)題.這類(lèi)問(wèn)題比較綜合且靈活,很多同學(xué)處理起來(lái)不得要領(lǐng),下面結(jié)合具體問(wèn)題談?wù)勍诰蛳蛄恐械膱A的常見(jiàn)方式和具體應(yīng)用.

一、向量表征“圓”形畢露

1.圓的向量表征式

(3) 兩者聯(lián)系實(shí)際上,由平面向量的極化恒等式結(jié)合向量加減法的幾何意義可得

(其中O為AB的中點(diǎn)),A,B點(diǎn)固定時(shí)得這說(shuō)明模長(zhǎng)式和數(shù)量積式殊途同歸.

2.追根溯源

模長(zhǎng)式圓比較好理解,即符合圓的定義——平面上到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的所有點(diǎn)組成的圖形叫做圓;下面從圓的方程的角度給出數(shù)量積式圓的證明:

以AB點(diǎn)的連線方向?yàn)閤軸,線段AB的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系,設(shè)A(-m,0),B(m,0),P(x,y),則整理得x2+y2=m2+l,故當(dāng)時(shí),點(diǎn)P的軌跡即以AB的中點(diǎn)為圓心,以為半徑的圓.

3.提升推廣

二、考題鏈接,重本求質(zhì)

例1(2018高考浙江卷第9題) 已知a,b是平面向量,e是單位向量．若非零向量a與e的夾角為向量b滿足b2-4e·b+3=0,則|a-b|的最小值是( )

思路分析關(guān)鍵在于對(duì)b2-4e·b+3=0的處理,為保持結(jié)構(gòu)的統(tǒng)一性,可將3 看成3e2,對(duì)于b2-4e·b+3e2=0可配方或因式分解,結(jié)合圓的向量表征方式,解法便呼之欲出.

圖1

圖2

解法一因?yàn)閎2-4e · b+3=0,所以配方得所以設(shè)由可得,b終點(diǎn)B在以C為圓心,1 為半徑的圓上,又a與e的夾角為則a終點(diǎn)A在過(guò)點(diǎn)O且與OC所在直線所成角為的兩條射線上,如圖1所示,的最小值的幾何意義即為圓C上任一點(diǎn)B到定射線OA上任一點(diǎn)距離的最小值,由幾何性質(zhì)可知該最小值為圓心C到OA的距離減去圓C半徑,即

解法二b2-4e·b+3=0,即b2-4e·b+3e2=0,因式分解得(b -3e)·(b - e)=0,設(shè)所以由此可得b終點(diǎn)B在以EF為直徑的圓上,又因?yàn)閍與e的夾角為a終點(diǎn)A在過(guò)點(diǎn)O且與OC所在直線所成角為的兩條射線上,如圖2所示,余下與解法一相同,不重復(fù)敘述.

解法三因?yàn)閎2-4e·b+3=0,所以b ·(b -4e) =-3,符合數(shù)量積式圓,設(shè)由可得即可知b終點(diǎn)B在以O(shè)F的中點(diǎn)M為圓心,為半徑的圓上,又因?yàn)閍與e的夾角為a終點(diǎn)A在過(guò)點(diǎn)O且與OM所在直線所成角為的兩條射線上,如圖3所示,余下與解法一相同,不重復(fù)敘述.

例2(2019年溫州高三一模第9題) 已知向量a,b滿足則a·b的取值范圍是( )

圖3

思路分析關(guān)鍵在于對(duì)a2+2a·b+2b2=8的處理,直接配方導(dǎo)致多出b2不好處理,考慮到還有已知條件可先消去b2前的2,再對(duì)其進(jìn)行配方,得到模長(zhǎng)式圓,或者直接將代入,再因式分解得到數(shù)量積式圓,再結(jié)合向量數(shù)量積a·b的幾何意義進(jìn)行求解.

解法一a2+2a·b+2b2=8 變形得配方得故設(shè)由可知b的終點(diǎn)B在以O(shè)為圓心,為半徑的圓上,過(guò)點(diǎn)B作直線OA的垂線交于點(diǎn)F,如圖4,由投影的意義得a · b=2MF,而投影所以選B.

圖4

圖5

解法二由a,b滿足|a|=2,a2+2a·b+2b2=8,得a·b+b2=2,因式分解得(a+b)·b=2,符合數(shù)量積式圓,設(shè)由(a+b)·b=2 可得即可知點(diǎn)B在以O(shè)A的中點(diǎn)M為圓心,半徑為的圓上.如圖5,由投影的意義得a·b=2AF,余下與解法一相同,不重復(fù)敘述.

例3(2019屆高三溫州二模第7題) 在平面上,e1,e2是方向相反的單位向量,則的最大值為( )

思路分析該題中圓的向量表征比較顯然,將模長(zhǎng)式圓|a|=2和數(shù)量積式圓(b-e1)(b-e2)=0 結(jié)合到了一起,畫(huà)出圖形,利用|a-b|的幾何意義便可求解.

解析設(shè)則 由可得a終點(diǎn)A是在以O(shè)為圓心,2 為半徑的圓上,由(b-e1)(b-e2) =0,即可得b終點(diǎn)B是在以CD為直徑的圓上,且CD=2,如圖6,即為兩個(gè)同心圓上的動(dòng)點(diǎn)A,B間的距離,可知最大值為兩圓半徑之和,所以選D.

圖6

當(dāng)然,例1還有其他解法,比如坐標(biāo)法等,可參考文獻(xiàn)[3],例2、例3同樣解法多樣,但無(wú)論哪種方法,最終還是回歸到了圓中,掌握?qǐng)A的向量表征方式至關(guān)重要.且從以上的最近一年的浙江高考題和溫州市高考模擬題的解答可以看出,理解了圓的向量表征方式后使得問(wèn)題的解決變得明朗化,可謂眾里尋他千百度,盡在圓中,重向量本求幾何質(zhì),“圓”形畢露,數(shù)形結(jié)合思想在其中彰顯得淋漓盡致.

三、題源回溯,研究高考

自浙江省數(shù)學(xué)高考獨(dú)立命題以來(lái),筆者認(rèn)為以下例題與上述題目有異曲同工之妙:

例4(2011年高考浙江卷理科第15題) 若平面向量α,β滿足且以向量α,β為鄰邊的平行四邊形的面積為則α和β的夾角θ的取值范圍是____.

例5(2008年高考浙江卷理科第9題) 已知a,b是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量,若向量c滿足(a-c) ·(b-c) =0,則|c|的最大值是( )

例6(2008年高考浙江卷文科第16題) 已知a是平面內(nèi)的單位向量,若向量b滿足b·(a-b)=0,則的取值范圍是____.

圖7

例5中由(a-c) ·(b-c) =0 可聯(lián)想到數(shù)量積式圓,即設(shè)由(a-c) ·(b-c) =0 得0,所以c終點(diǎn)C在以AB為直徑的圓上,如圖8,故|c|的最大值等于的最大值,問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圓上任意一點(diǎn)C到圓上一定點(diǎn)O距離的最大值問(wèn)題,又a,b是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量,故直徑結(jié)合圖形可知選C.

圖8

例6中,由b ·(a - b)=0同樣可聯(lián)想到數(shù)量積式圓,設(shè)即所以b終點(diǎn)B在以O(shè)A為直徑的圓上,問(wèn)題又轉(zhuǎn)化為圓上的任意一點(diǎn)C到圓上一定點(diǎn)O距離的最值問(wèn)題,如圖9,又故的取值范圍是[0,1].

圖9

當(dāng)然,上述問(wèn)題還有其他解法,但是可能費(fèi)時(shí)費(fèi)力,結(jié)合圓的向量表征方式數(shù)形結(jié)合解題體現(xiàn)了問(wèn)題的本質(zhì),“圓”形畢露.浙江高考命題每年都推陳出新,表面看似復(fù)雜,但研究歷年浙江高考真題就會(huì)發(fā)現(xiàn)一些內(nèi)容會(huì)反復(fù)考察,這些題目往往會(huì)有自身獨(dú)特的特點(diǎn).若仔細(xì)研究探討,由形而思,從中可以歸整理納出一定的解題技巧和方法,合理構(gòu)造,然后秒殺.

四、螺旋上升,問(wèn)題設(shè)計(jì)

本文中選取的高考題和模擬題難易程度不一,2008 高考浙江卷理科第9題、2008年高考浙江卷文科第16題和2019年屆溫州市二模第7題中的圓的表征就比較顯然.一以向量模長(zhǎng)固定時(shí),即動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離為定值,結(jié)合圓的定義便可發(fā)現(xiàn)圓;二以數(shù)量積是零時(shí),兩向量互相垂直,即動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)構(gòu)成直角,結(jié)合圓的性質(zhì)便可發(fā)現(xiàn)圓.而2018年浙江高考第9題和2019屆溫州市一模第9題中的圓的表征就比較隱晦,需事先進(jìn)行配方或因式分解等變形處理,再進(jìn)一步研究點(diǎn)、圓、線相互間的位置關(guān)系.當(dāng)然,學(xué)生不可能一步就掌握要領(lǐng),要想訓(xùn)練學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想和問(wèn)題轉(zhuǎn)化能力,基于向量隱形圓的階梯式的問(wèn)題設(shè)計(jì)就顯得尤為重要.為了讓藏在向量中的圓“圓”形畢露,給出由淺入深的問(wèn)題設(shè)計(jì)如下:

問(wèn)題1已知b,e是平面向量,e是單位向量,向量b滿足(b-3e) ·(b-e) =0,則|b|的取值范圍是____.

問(wèn)題2已知平面向量a,b,c滿足且(a-c) ·(b-c) =0,則的取值范圍是____.

問(wèn)題3已知a,b是平面向量,e是單位向量,若非零向量a與e的夾角為向量b滿足b2-4e·b+3=0,則的最小值是____.

問(wèn)題4等邊ΔABC的邊長(zhǎng)為3,平面上的動(dòng)點(diǎn)P滿足則的取值范圍是____.

設(shè)計(jì)思路結(jié)合2008年高考浙江卷理科第9題,對(duì)2018年高考浙江卷第9題進(jìn)行重新設(shè)計(jì),可將其簡(jiǎn)單化,即去掉向量a的背景,將向量b的條件b2-4e·b+3=0 更明朗化,即(b-3e) ·(b-e)=0,直接求|b|的取值范圍,問(wèn)題便可轉(zhuǎn)化為圓上的任意一點(diǎn)C到圓外一定點(diǎn)O距離的最值問(wèn)題,這是第一個(gè)階梯.結(jié)合2019屆溫州市二模模擬題,對(duì)2008年高考浙江卷理科第9題進(jìn)行重新設(shè)計(jì),加之同心圓背景,可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圓與圓的位置關(guān)系,這是第二個(gè)階梯.有了這些鋪墊以后,2018年高考浙江卷第9題便是要邁的第三個(gè)階梯,要將條件適當(dāng)變形處理,又考查直線與圓的位置關(guān)系.數(shù)量積式圓可以借助恒等式如此隱晦,讓人不禁思考對(duì)于模長(zhǎng)式圓是否也可隱晦處理,讓學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn),這便是第四個(gè)階梯,比如可借助平面向量基本定理及定比分點(diǎn)向量公式.

五、回顧反思,提升素養(yǎng)

著名數(shù)學(xué)家蘇步青說(shuō):“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)要多做習(xí)題,邊做邊思索,先知其然,然后知其所以然.”[4]然而,嚴(yán)峻的現(xiàn)實(shí)是,許多學(xué)生雖然做了大量的習(xí)題,但遇到類(lèi)似的題目仍不知所措,“這道題好像哪里見(jiàn)到過(guò),但是還是不會(huì)做”是學(xué)生的普遍反映,“這題,我講過(guò)好幾次了,學(xué)生為啥還是不會(huì)寫(xiě)”是一線教師們的口頭禪,為什么會(huì)有這樣的偏差？筆者認(rèn)為,高考數(shù)學(xué)題既考查學(xué)生的“四基”,又考查“四能”,還考查“數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)”,如果學(xué)習(xí)中僅就題論題,對(duì)問(wèn)題的理解只停留在知識(shí)的表面上,而沒(méi)有深入分析理解其中所蘊(yùn)含的本質(zhì),那么做再多的習(xí)題,也只是事倍功半.

解題是一種復(fù)雜的思維過(guò)程,解題是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)者的基本功,解題也是學(xué)數(shù)學(xué)的主要功課之一.針對(duì)浙江高考數(shù)學(xué)中的一類(lèi)平面向量問(wèn)題,代數(shù)法可以有效考查學(xué)生的運(yùn)算能力,培育數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng),但有時(shí)過(guò)于繁瑣,而從幾何的角度考慮問(wèn)題更直觀,“圓”形畢露,數(shù)形結(jié)合,提高解題效率,有利于培育直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng),因此上面高考題和模擬題的解法筆者采用的均是幾何法,揭示了該類(lèi)問(wèn)題背后的幾何實(shí)質(zhì)——圓.

另外,在平時(shí)的教學(xué)中,教師應(yīng)該多多進(jìn)行高考題目的研究,從中尋找關(guān)聯(lián)點(diǎn),尋找通性,關(guān)注題目背后所隱藏的知識(shí)內(nèi)容,將各知識(shí)點(diǎn)有機(jī)融合,形成微專(zhuān)題復(fù)習(xí),培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合等重要數(shù)學(xué)思想,提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),借助向量的知識(shí)研究圓便是很好的素材,充分理解和把握?qǐng)A的向量表征方式十分重要,不僅要理解掌握模長(zhǎng)式圓和數(shù)量積式圓的形式,還要關(guān)注到兩者間的聯(lián)系.