蔣鵬飛,朱 進(jìn),奚宏生

(中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院,安徽合肥 230027)

1 引言

現(xiàn)實(shí)中的許多系統(tǒng),如經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)[1]、生物系統(tǒng)[2]、功率分配系統(tǒng)[3]、排隊(duì)過程[4]等,其狀態(tài)、輸出僅取非負(fù)值,此類系統(tǒng)稱為正系統(tǒng)[5–6].隨著正系統(tǒng)規(guī)模的日益復(fù)雜,系統(tǒng)結(jié)構(gòu)會(huì)隨著一些隨機(jī)事件(如組件故障、子系統(tǒng)連接改變[7]等)的發(fā)生而變化,當(dāng)此類隨機(jī)事件的出現(xiàn)服從馬爾可夫過程時(shí),可以通過馬爾可夫跳躍正線性系統(tǒng)(positive Markovian jump linear systems,PMJLSs)描述系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性.在研究PMJLSs穩(wěn)定性時(shí),鑒于子系統(tǒng)狀態(tài)的正特性,很自然地會(huì)應(yīng)用線性余正Lyapunov函數(shù)[8–11]來替代傳統(tǒng)的二次型Lyapunov函數(shù),它能充分利用系統(tǒng)自身的正特性進(jìn)而使得穩(wěn)定性分析更加簡便.文獻(xiàn)[9]通過設(shè)計(jì)切換線性余正Lyapunov函數(shù)得出平均穩(wěn)定的充分判據(jù).此后,文獻(xiàn)[10]運(yùn)用狀態(tài)轉(zhuǎn)移的方法分析了PMJLSs的穩(wěn)定性并以線性矩陣不等式的形式給出隨機(jī)穩(wěn)定的充要判據(jù).此后,PMJLSs中各種穩(wěn)定性之間的關(guān)系得到研究,高階矩穩(wěn)定可得出低階矩穩(wěn)定,一階指數(shù)穩(wěn)定與平均指數(shù)穩(wěn)定等價(jià)[11].基于穩(wěn)定的判據(jù),文獻(xiàn)[12]分析了閉環(huán)PMJLSs的鎮(zhèn)定問題并設(shè)計(jì)了狀態(tài)反饋控制器,進(jìn)一步地,帶時(shí)延PMJLSs的L1隨機(jī)穩(wěn)定性和L1增益性能[13]得到了研究.

值得注意的是,PMJLSs的穩(wěn)定及性能分析與馬爾可夫過程的模態(tài)轉(zhuǎn)移速率矩陣(mode transition rate matrix,MTRM)/模態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣(mode transition probability matrix,MTPM)密切相關(guān),而以上關(guān)于PMJLSs的研究成果都是基于一個(gè)嚴(yán)格的假設(shè):馬爾可夫過程是齊次的,即MTRM/MTPM是定常的,但是這個(gè)假設(shè)在很多實(shí)際的系統(tǒng)中往往難以滿足.一個(gè)典型的例子是功率分配系統(tǒng)[5],其中系統(tǒng)參數(shù)依賴于線性檢測器、路徑衰落等因素,其變化可通過PMJLSs進(jìn)行建模,但由于工作環(huán)境會(huì)隨時(shí)間而發(fā)生變化,從而PMJLSs中的MTRM/MTPM是時(shí)變的.同樣的情況也存在于流行病學(xué)模型[5]中.因此,相較于現(xiàn)有的研究成果,非齊次PMJLSs能夠更好地反映實(shí)際系統(tǒng)的特性,其研究也更具有一般性.文獻(xiàn)[14]基于每個(gè)MTPM對應(yīng)的PMJLS都是穩(wěn)定的這一假設(shè),采用平均逗留時(shí)間方法給出了系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件,然而該穩(wěn)定判據(jù)約束太強(qiáng),不具備普遍性.因此非齊次PMJLSs的穩(wěn)定與鎮(zhèn)定問題仍需要進(jìn)一步的研究與探索.

本文研究一類非齊次PMJLSs的穩(wěn)定與鎮(zhèn)定問題,其中MTRM/MTPM在一段時(shí)間內(nèi)保持不變或變化甚微,但在整個(gè)時(shí)間區(qū)間上卻是隨機(jī)變化的,且該變化可以通過馬爾可夫過程加以描述.文中提出一種雙層PMJLSs模型來描述MTRM/MTPM的時(shí)變性,其中低層馬爾可夫過程表示系統(tǒng)模態(tài)的變化,高層馬爾可夫過程表征低層馬爾可夫過程MTRM/MTPM的隨機(jī)變化.基于此模型,通過設(shè)計(jì)切換線性余正Lyapunov函數(shù),分別推導(dǎo)出連續(xù)和離散時(shí)間非齊次PMJLSs平均穩(wěn)定的條件.其次,為非齊次PMJLSs設(shè)計(jì)了依賴于模態(tài)–MTRM/MTPM的狀態(tài)反饋控制器,并通過線性規(guī)劃方法求解控制增益.相較于傳統(tǒng)依賴于模態(tài)的控制器設(shè)計(jì),本文提出的狀態(tài)反饋控制器更具一般性;最后,以功率分配系統(tǒng)為例給出仿真實(shí)例,驗(yàn)證所提控制策略的有效性.

2 系統(tǒng)描述

考慮下面連續(xù)和離散時(shí)間非齊次馬爾可夫跳躍線性系統(tǒng):

和

對連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)(1),x(t)是系統(tǒng)狀態(tài)向量,為輸入向量,是Metzler矩陣,?0.{rt ∈N={1,2,···,N},t0}是表示系統(tǒng)模態(tài)跳躍的低層馬爾可夫過程,其MTRM可表示為

相應(yīng)地,模態(tài)轉(zhuǎn)移概率可定義為

對離散時(shí)間非齊次馬爾可夫跳躍系統(tǒng)(2),系統(tǒng)矩陣滿足Ark ?0,Brk ?0.{rk,k0}是在狀態(tài)空間N上取值的馬爾可夫鏈,并且其模態(tài)轉(zhuǎn)移概率滿足而{?k,k0}是一個(gè)用來表征MTPM切換的高層馬爾可夫鏈,高層模態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣(HMTPM)表示為Q=[qmn]M×M.

定義1[4]對式(1)–(2)所描述的馬爾可夫跳躍線性系統(tǒng),若對任意的初始狀態(tài)x(0)?0和r0∈N,?0∈M,始終有x(t)?0(xk ?0),則對應(yīng)的系統(tǒng)為馬爾可夫跳躍正線性系統(tǒng)(PMJLSs).

定義2[4]對任意初始狀態(tài)x(0)?0和初始高低層模態(tài)r0∈N,?0∈M,若系統(tǒng)的狀態(tài)變量滿足以下條件則稱系統(tǒng)(1)或系統(tǒng)(2)是平均穩(wěn)定的.

由系統(tǒng)描述中可知,所建立的非齊次跳躍系統(tǒng)模型具有雙層馬爾可夫切換,以離散時(shí)間系統(tǒng)(2)為例說明:系統(tǒng)模態(tài)的變化由一個(gè)低層的Markov鏈控制,而模態(tài)之間的切換概率取決于MTPM.由于各種隨機(jī)因素的影響,系統(tǒng)模態(tài)之間的轉(zhuǎn)移概率是時(shí)變的,即MTPM是時(shí)變的.當(dāng)MTPM在有限狀態(tài)空間M={MTPM 1,MTPM 2,···,MTPMM}上隨機(jī)切換時(shí),則低層Markov鏈的模態(tài)切換如圖1上圖所示.此外,MTPM的隨機(jī)變化受一個(gè)高層Markov鏈驅(qū)動(dòng),把每個(gè)MTPM定義為一個(gè)高層“模態(tài)”,則高層模態(tài)在HMTPM控制下的轉(zhuǎn)移如圖1下圖所示.簡而言之,此類雙層切換就是用一個(gè)高層Markov鏈來表示低層Markov鏈的MTPM的隨機(jī)變化特性,即用一個(gè)高層的Markov鏈來表征系統(tǒng)的非齊次特性.

圖1 低層模態(tài)和高層模態(tài)切換示意圖Fig.1 The switching of low-layer system mode and high-layer mode

3 連續(xù)時(shí)間PMJLSs的鎮(zhèn)定問題

3.1 穩(wěn)定性分析

引理1[12]任意矩陣A ∈Rn×n是Metzler矩陣的充要條件:存在一個(gè)常數(shù)ξ >0,使得A+ξIn ?0.

引理2[15]連續(xù)時(shí)間馬爾可夫跳躍線性系統(tǒng)(1)(u(t)=0)是PMJLSs的充要條件:對任意i∈N,Ai是Metzler矩陣.

定理1對任意的i ∈N,m ∈M,若存在一組向量使得下式成立:

則u(t)=0的連續(xù)時(shí)間非齊次馬爾可夫跳躍線性系統(tǒng)是平均穩(wěn)定的.

證因?yàn)锳i是Metzler矩陣,根據(jù)引理2 可知u(t)=0的系統(tǒng)(1)是PMJLSs.考慮到正系統(tǒng)中狀態(tài)變量的正特性,引入切換線性余正Lyapunov函數(shù):

結(jié)合條件(3),顯然有V(xt,i,m)>0.在t,x(t)=xt,rt=i,?t=m處馬爾可夫過程的無窮小算子:

當(dāng)h→0時(shí),xt+h→xt,可進(jìn)一步得出

因?yàn)閤(t)?0始終成立,由定理1條件(4)可得出L V(xt,i,m)<0,所以系統(tǒng)是一階穩(wěn)定的.而在證系統(tǒng)一階穩(wěn)定與平均穩(wěn)定等價(jià). 證畢.

3.2 控制器設(shè)計(jì)

對非齊次PMJLSs而言,在設(shè)計(jì)控制器時(shí)不僅要考慮閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性同時(shí)還要保證正特性.另外,考慮到MTRM的時(shí)變特性,設(shè)計(jì)具有以下形式的狀態(tài)反饋控制器:

定理2考慮連續(xù)時(shí)間非齊次馬爾可夫跳躍正線性系統(tǒng)(1),對任意的i ∈N,m ∈M以及任意給定的m維向量若存在常數(shù)以及兩組向量使得下式成立:

則經(jīng)由下述模態(tài)–—MTRM相關(guān)的狀態(tài)反饋控制器

閉環(huán)系統(tǒng)能夠?qū)崿F(xiàn)平均穩(wěn)定性,同時(shí)保持系統(tǒng)的正特性.

證首先證明經(jīng)由反饋控制u(t)后的閉環(huán)系統(tǒng)仍是正系統(tǒng).對任意的i∈N,m∈M有因此始終是正標(biāo)量.對式(7)兩邊同時(shí)乘以得

聯(lián)立式(9)–(10),得

接下來,證明閉環(huán)系統(tǒng)的平均穩(wěn)定性.聯(lián)立式(1)(5)可得閉環(huán)系統(tǒng),

由定理1可知,閉環(huán)系統(tǒng)平均穩(wěn)定的條件是

結(jié)合式(9),可以得出

證畢.

注1若Π(?)≡Π,則非齊次馬爾可夫跳躍正系統(tǒng)(1)退化為齊次馬爾可夫跳躍正系統(tǒng).相應(yīng)地,依據(jù)定理1和定理2可得出有關(guān)齊次馬爾可夫跳躍正線性系統(tǒng)平均穩(wěn)定的結(jié)論,該結(jié)論已在文獻(xiàn)[12]中導(dǎo)出.由此可見,本文的結(jié)論更具一般性,可視為齊次正系統(tǒng)穩(wěn)定判據(jù)的擴(kuò)展與補(bǔ)充.

4 離散時(shí)間PMJLSs的鎮(zhèn)定問題

4.1 穩(wěn)定性分析

引理3[15]離散時(shí)間馬爾可夫跳躍線性系統(tǒng)(2)(uk=0)是PMJLSs的充要條件:對任意i∈N,Ai ?0.

定理3對任意的i ∈N,m ∈M,若存在一系列向量使得下列式子成立:

證首先設(shè)計(jì)切換余正李雅普諾夫函數(shù)

在xk,rk=i,?k=m處的Lyapunov差分為

結(jié)合Lyapunov函數(shù)的穩(wěn)定判據(jù)可知,u(k)=0的系統(tǒng)(2)是平均穩(wěn)定的. 證畢.

4.2 控制器設(shè)計(jì)

下面考慮離散時(shí)間系統(tǒng)的鎮(zhèn)定問題,考慮具有以下形式的狀態(tài)反饋控制器:

定理4考慮離散時(shí)間非齊次馬爾可夫跳躍正系統(tǒng)(2),對任意i ∈N,m ∈M以及任意一個(gè)給定的正向量若存在兩組向量使得下列式子成立:

則通過下述給出的模態(tài)—–MTPM相關(guān)的狀態(tài)反饋控制器:

閉環(huán)系統(tǒng)能夠達(dá)到平均穩(wěn)定,并且保持正特性,式中:

證首先證明閉環(huán)系統(tǒng)是正系統(tǒng).對任意i,m,Bi始終是正標(biāo)量,由式(18)得

所以閉環(huán)系統(tǒng)(2)是正系統(tǒng).

與定理2的證明類似,可得出具有控制器uk的閉環(huán)離散時(shí)間非齊次跳躍正系統(tǒng)(2)是平均穩(wěn)定的.

證畢.

注2通常來說,模態(tài)—–MTPM相關(guān)的反饋控制器對具有時(shí)變MTPM的非齊次馬爾可夫跳躍正系統(tǒng)有很好的控制效果,與傳統(tǒng)的模態(tài)相關(guān)的控制器相比,此類控制器的保守性更低.

5 數(shù)值仿真

本節(jié)將給出兩個(gè)數(shù)值實(shí)例,然后對其進(jìn)行穩(wěn)定性分析并設(shè)計(jì)控制器來驗(yàn)證所提方法的有效性.

5.1 連續(xù)時(shí)間非齊次跳躍正系統(tǒng)

考慮文獻(xiàn)[3]中建模為PMJLSs 的功率分配系統(tǒng),系統(tǒng)狀態(tài)方程描述為

系統(tǒng)的MTRM是時(shí)變的并且取決于系統(tǒng)的工作環(huán)境,為了便于描述,把工作環(huán)境分為兩類:?t=1表示環(huán)境“優(yōu)”、?t=2表示環(huán)境“良”,這兩種環(huán)境對應(yīng)的MTRM分別為Π(1),Π(2):

定義系統(tǒng)運(yùn)行環(huán)境的變化服從一個(gè)高層Markov過程,其高層模態(tài)轉(zhuǎn)移速率矩陣為

根據(jù)低層Markov過程MTRM可以計(jì)算出系統(tǒng)模態(tài)的平穩(wěn)分布,其概率關(guān)系如下:MTRM為Π(1)時(shí),πrt=1=3×πrt=2.MTRM為Π(2)時(shí),πrt=1=0.5×πrt=2.上述理論分析說明:當(dāng)環(huán)境為“優(yōu)”時(shí)(?t=1),系統(tǒng)處于模態(tài)rt=1的概率更大,當(dāng)環(huán)境為“良”時(shí)(?t=2),系統(tǒng)處于模態(tài)rt=2的概率更大.

圖2給出了100 s內(nèi)系統(tǒng)MTRM變化和模態(tài)變化的一個(gè)樣本實(shí)現(xiàn).高層模態(tài)的變化模擬了實(shí)際系統(tǒng)運(yùn)行環(huán)境的變化情況,也就是“優(yōu)”、“良”環(huán)境在整個(gè)時(shí)間段上的隨機(jī)變化情況;低層模態(tài)的變化軌跡模擬了實(shí)際系統(tǒng)在子系統(tǒng)1和子系統(tǒng)2之間的切換情況.從圖2可以直觀地看出在時(shí)間段t ∈{[0,8],[18,45],[60,70]}上,高層模態(tài)MTRM都是?t=1,在此時(shí)間段上低層模態(tài)停留在rt=1的時(shí)間更長,這就對應(yīng)了當(dāng)處于“優(yōu)”的環(huán)境,系統(tǒng)處于子系統(tǒng)1的概率更大.在時(shí)間段t ∈{[10,15],[48,58],[72,88]}上,高層模態(tài)MTRM都是?t=2,在此時(shí)間段上低層模態(tài)停留在模態(tài)rt=2的時(shí)間更長,這就對應(yīng)了當(dāng)處于“良”的環(huán)境,系統(tǒng)處于子系統(tǒng)2的概率更大.系統(tǒng)在各個(gè)低層模態(tài)的逗留時(shí)間體現(xiàn)了在不同MTRM作用下,系統(tǒng)在子系統(tǒng)1和子系統(tǒng)2之間的切換情況,也就說明了高層模態(tài)對低層模態(tài)切換的影響.為了更為精確地表現(xiàn)出不同高層模態(tài)作用下各低層模態(tài)的切換情況,本文隨機(jī)生成50組高低層模態(tài)的跳躍樣本,表1統(tǒng)計(jì)了這50組樣本中不同MTRM作用下各低層模態(tài)的逗留時(shí)間.

圖2 高層模態(tài)MTRM(?t)和低層模態(tài)(rt)切換的一個(gè)樣本Fig.2 A sample of high-layer mode ?t and low-layer mode rt

表1 不同MTRM作用下低層模態(tài)的逗留時(shí)間(s)Table 1 Residence time of low-level modes under different MTRM(s)

由表1統(tǒng)計(jì)可知,在100 s的運(yùn)行時(shí)間上,當(dāng)處于高層模態(tài)MTRM1時(shí),兩個(gè)低層模態(tài)平均逗留時(shí)間的比值為

當(dāng)處于高層模態(tài)MTRM2時(shí),兩個(gè)低層模態(tài)平均逗留時(shí)間的比值為

根據(jù)以上分析,雙層模態(tài)的切換圖直觀地反映了系統(tǒng)各個(gè)模態(tài)的逗留時(shí)間;而在同一個(gè)高層模態(tài)下,低層模態(tài)平均逗留時(shí)間的比值能夠反映出系統(tǒng)的平穩(wěn)分布情況,并且反映的結(jié)果與理論分析一致.綜合可以得出高層模態(tài)的取值直接影響著低層模態(tài)的切換情況,由此可體現(xiàn)出高低層模態(tài)切換的關(guān)系.

初始條件為x(0)=[0 0.1]T,rt=1,?t=1時(shí),開環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)軌跡如圖3(a)所示,可以看出在無控制輸入時(shí),系統(tǒng)不穩(wěn)定.下面考慮對系統(tǒng)施加控制,根據(jù)定理2,選取然后利用MATLAB中的線性規(guī)劃工具箱可求解出可行解:

對閉環(huán)PMJSLs,給定初始狀態(tài)[300 200]T,然后根據(jù)當(dāng)前子系統(tǒng)rt和環(huán)境?t施加對應(yīng)的控制量,可得閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)軌跡如圖3(b)所示.從圖可出系統(tǒng)的狀態(tài)最終收斂到平衡點(diǎn),所以經(jīng)由模態(tài)–—MTRM依賴的狀態(tài)反饋控制器閉環(huán)系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)了平均穩(wěn)定性,進(jìn)而驗(yàn)證了本文所提出的控制策略的有效性.

圖3 連續(xù)時(shí)間開環(huán)和閉環(huán)PMJLSs狀態(tài)軌跡Fig.3 State trajectory of continuous-time open-loop and closed-loop PMJLSs

5.2 離散時(shí)間非齊次跳躍正系統(tǒng)

考慮兩模態(tài)的離散時(shí)間非齊次PMJLSs,其方程描述為

其中MTPM在有限集M={1,2}中取值,MTPM的切換由高層模態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣Q描述.

文獻(xiàn)[14]判斷一個(gè)非齊次PMJLS系統(tǒng)穩(wěn)定的前提是所有的子系統(tǒng)穩(wěn)定,由系統(tǒng)矩陣可知子系統(tǒng)不穩(wěn)定,所以文獻(xiàn)[14]的結(jié)論無法對此類系統(tǒng)進(jìn)行穩(wěn)定性分析.而通過本文定理4卻可以設(shè)計(jì)出使得系統(tǒng)穩(wěn)定的控制器.選取可得模態(tài)MTPM依賴的狀態(tài)反饋控制器.

當(dāng)初始狀態(tài)為[300 200]T時(shí),離散時(shí)間閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)軌跡如圖4所示:隨著時(shí)間的演化,閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)趨于平衡點(diǎn).所以經(jīng)由所設(shè)計(jì)的控制器系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)了平均穩(wěn)定性.這種控制器的設(shè)計(jì)對子系統(tǒng)是否穩(wěn)定沒有限制,所得出的結(jié)論更具一般性.

圖4 離散時(shí)間開環(huán)和閉環(huán)PMJLSs狀態(tài)軌跡Fig.4 State trajectory of discrete-time open-loop and closedloop PMJLSs

6 總結(jié)

本文研究了一類非齊次馬爾可夫跳躍正系統(tǒng)的穩(wěn)定與鎮(zhèn)定問題,其中系統(tǒng)模態(tài)及模態(tài)轉(zhuǎn)移速率/概率矩陣的隨機(jī)切換均可通過馬爾可夫過程進(jìn)行描述.通過設(shè)計(jì)切換線性余正李雅普諾夫函數(shù),給出系統(tǒng)平均穩(wěn)定的充分判據(jù),并設(shè)計(jì)依賴于模態(tài)MTRM/MTPM的狀態(tài)反饋控制器實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)穩(wěn)定.鑒于現(xiàn)有的齊次馬爾可夫跳躍正系統(tǒng)可作為本文所提模型的一個(gè)特例,文中給出的穩(wěn)定性判據(jù)和控制器設(shè)計(jì)方案更具一般性.