沈志萍,陳軍勇,鄔依林

(1.河南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,大數(shù)據(jù)統(tǒng)計分析與優(yōu)化控制河南省工程實驗室,河南新鄉(xiāng) 453007;2.浙江科技學(xué)院信息與電子工程學(xué)院,浙江杭州 310023;3.廣東第二師范學(xué)院計算機(jī)科學(xué)系,廣東廣州 510310)

1 引言

無線傳感器網(wǎng)絡(luò)在這些年備受關(guān)注并引起了廣大學(xué)者的研究興趣,一度變成非?；钴S的研究領(lǐng)域[1–3].由于無線傳感器網(wǎng)絡(luò)高度靈活,系統(tǒng)穩(wěn)定,可移動和成本低等特點,使得其在增加監(jiān)視覆蓋范圍,軍事監(jiān)控和交通調(diào)控等領(lǐng)域得到重用,而在安全監(jiān)管和環(huán)境保護(hù)等方面也有著應(yīng)用潛力[4–6]一般無線傳感器網(wǎng)絡(luò)的主框架由非常多的傳感器組群構(gòu)建而成,目前多數(shù)它們的使用已經(jīng)達(dá)到了功耗和成本較低的要求,再據(jù)要求部署在特定應(yīng)用場所收集觀測值并做一定預(yù)處理.其中有著上限的通信容量用于支持各個節(jié)點之間的通信.這種情況下,往往設(shè)有一個融合中心用于處理來自各傳感器的數(shù)據(jù)并做出預(yù)估計,例如,文獻(xiàn)[7]使用無線傳感器和融合中心對未知隨機(jī)向量進(jìn)行分散估計,采用線性模型對矢量源進(jìn)行分散估計,提出了迭代算法;文獻(xiàn)[8]考慮在非均勻分布的無線傳感器網(wǎng)絡(luò)中利用線性觀測模型對高斯矢量進(jìn)行分布式估計,其中融合中心使用線性估計器重建未知矢量,研究了最小化均方誤差的發(fā)射功率和量化速率(以每個傳感器的比特測量)分配方案.

融合中心處理和估計隨機(jī)參數(shù)問題問題時,通常借助貝葉斯估計將待估計量假定為隨機(jī)變量,并且具有一定的先驗分布,而該隨機(jī)變量的具體數(shù)值是基于接收到的量化觀測值估計而得到.1988年Ephraim和Gray[9]通過適當(dāng)?shù)男薷氖д娑攘?矢量量化問題轉(zhuǎn)化成噪聲源和修改的失真度量的標(biāo)準(zhǔn)量化問題,進(jìn)而得到單個噪聲源的最優(yōu)估計算法和量化方式;Ayanoglu[10]于兩年后考慮了同類型噪聲源的量化,包括量化區(qū)的分割及最優(yōu)量化值的確定,同時對各種方案進(jìn)行綜合分析.Lam和Reibman[11]研究了分布式量化估計系統(tǒng)中的隨機(jī)參數(shù),并給出最優(yōu)量化器需滿足的條件,且對各種方案做了實驗.但文獻(xiàn)[7–11]中提出的量化器的構(gòu)造方法存在實現(xiàn)難度高,并需要進(jìn)行高維數(shù)函數(shù)處理與運算等不足.上世紀(jì)九十年代初,Gubner[12]在只涉及到兩個變量的情況下給出另一種量化器算法,該算法局部最優(yōu)且可以迭代,單傳感器情況下變?yōu)長loyd-Max量化器[13,15].Zhang等人[16]在Gubner[12]研究基礎(chǔ)之上,對線性量化估計器的最優(yōu)構(gòu)造進(jìn)一步研究.而Marano[14]在Cover等人[17]設(shè)計的量化器基礎(chǔ)上[15],就如何構(gòu)造漸近最優(yōu)進(jìn)行研究[18–20].

由文獻(xiàn)[9–20]中可見研究者在研究如何分布式量化估計隨機(jī)參數(shù)時,往往假設(shè)給定各個傳感器的比特率,再討論量化器與估計器的最優(yōu)構(gòu)造方法.而本文在總比特率給定下討論量化估計及比特率分配的研究,是上述研究基礎(chǔ)的擴(kuò)展.

本文采用一種最常用且簡單的量化方式—均勻量化器[21–23].均勻量化具有等分量化分區(qū)間隔、易于物理上實現(xiàn)等優(yōu)點而廣泛應(yīng)用于網(wǎng)絡(luò)控制、信號處理等領(lǐng)域[24–27].考慮高斯信源—高斯噪聲模型,首先采用均勻量化器設(shè)計一個準(zhǔn)最小均方誤差估計器(quasi minimum mean squared error,Quasi-MMSE),并給出其均方誤差上界,再通過最小化均方誤差上界得到對應(yīng)的最優(yōu)分配方法.同時借助估計器的Bayesian Cramer-Rao下限(Bayesian Cramer-Rao lower bound,BCRLB)理論得到適用于一般類型估計器最優(yōu)比特分配方式.其中最優(yōu)量化級數(shù)在高精度均勻量化情況下與觀測噪聲方差成反比.所得結(jié)論表明兩種方案在高精度均勻量化時一致呈上述反比關(guān)系.同時借助比特分配的交替序列法解決最優(yōu)方案中比特數(shù)可能為小數(shù)或者負(fù)數(shù)的特殊情形.MATLAB仿真驗證本文所提出基于最優(yōu)比特分配方案的估計器,較傳統(tǒng)比特率平均分配法得到的,其均方誤差下降明顯.

2 問題描述

考慮節(jié)點數(shù)為N,存在一個融合中心(fusion center)的傳感器網(wǎng)絡(luò),隨機(jī)性標(biāo)量參數(shù)θ被每個傳感器觀測,各觀測值經(jīng)編碼處理后發(fā)送到融合中心,然后融合中心根據(jù)量化觀測值估計隨機(jī)信號θ,具體如圖1所示.

圖1 分布式量化估計結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Distributed quantization estimation scheme

傳感器n的觀測模型為

設(shè)mn用于表示第n個節(jié)點的量化觀測值,融合函數(shù)記為Γ(·),則在融合中心有

而性能的評估標(biāo)準(zhǔn)用均方誤差(mean squared error,MSE)表示,即

問題提出:由于該類網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中帶寬的制約,觀測值需經(jīng)量化處理后發(fā)送,假定每個采樣周期共發(fā)送給傳感器Q位觀測值.考慮到均勻分配比特法會因不同觀測噪聲方差無法滿足最佳的性能要求.設(shè)網(wǎng)絡(luò)中第n個節(jié)點分配到的量化比特數(shù)為qn,本文探究目的有兩個:一是基于量化觀測值實現(xiàn)對隨機(jī)性標(biāo)量參數(shù)θ的最優(yōu)估計,二是將總的給定比特數(shù)Q最優(yōu)分配到各傳感器,于是此聯(lián)合優(yōu)化問題可描述如下:

3 最小均方誤差估計器及基于最小均方誤差估計器的最優(yōu)比特分配

由于傳感器網(wǎng)絡(luò)存在帶寬限制,而觀測值在傳送前需經(jīng)量化處理,為提高整個網(wǎng)絡(luò)的工作能力和表現(xiàn),故有必要合理分配網(wǎng)絡(luò)中各個節(jié)點傳感器獲取到的通訊資源,即比特數(shù)占有比.接下來討論準(zhǔn)最小均方誤差估計器和比特數(shù)的分配,首先假設(shè)在每個傳感器分配到最優(yōu)比特數(shù)的情況下設(shè)計估計器,然后根據(jù)估計器的均方誤差最小來設(shè)計最優(yōu)比特分配.

3.1 準(zhǔn)最小均方誤差估計器

本小節(jié)首先討論修正的無偏均勻量化器,如圖2所示;再在量化處理和最小均方誤差估計器之上構(gòu)造出準(zhǔn)最小均方誤差估計器,即線性估計器.

圖2 均勻量化結(jié)構(gòu)圖Fig.2 Uniform quantization

修正的無偏均勻量化器:圖2中2qn個子區(qū)塊共同組成了[?W,W],由其平均分割得到,而用表示n個節(jié)點的量化閾值集合,并記?n為均勻間隔的長度:

每個經(jīng)過量化處理的信號xn都能找到對應(yīng)的分區(qū),且選用分區(qū)質(zhì)心表示該區(qū)的量化值,并用表示:

其中函數(shù)f(xn)為觀測值xn的概率密度函數(shù).

設(shè)εn=表示量化誤差,則對于修正后的量化器有

假設(shè)各個傳感器的量化誤差相互獨立,則對于傳感器i和j存在關(guān)系E(εiεj)=E(εi)E(εj)=0(ij).

最小均方誤差估計器:理想情況下傳感器與融合中心彼此間的通信由足夠大的帶寬保障,即各傳感器能夠把觀測值無失真地發(fā)送到融合中心,而其最小均方誤差估計器[28]及其相應(yīng)均方誤差可分別表示為

接下來基于上述修正的均勻量化器和最小均方誤差估計器,給出準(zhǔn)最小均方誤差估計器表達(dá)式.

準(zhǔn)最小均方誤差估計器:

注11)根據(jù)均勻量化器修正后的量化規(guī)則,它是無偏量化并且符合Lloyd-Max量化器原理[13,15],說明它可以最小化均方誤差;

2)式(11)可看成由兩部分組成,一是未量化測量值的最小均方誤差估計,二是由量化引起的誤差估計;

3)其中“準(zhǔn)”字是為了區(qū)別式(9)和式(11)中兩個不同估計器對觀測值的處理與取用,而從式(11)中可見準(zhǔn)最小均方誤差估計器的描述關(guān)于量化觀測呈線性函數(shù)形式.

3.2 基于最小均方誤差估計器的最優(yōu)比特分配

需要注意的是,上節(jié)中是在每個傳感器分配最優(yōu)比特數(shù)時設(shè)計估計器,而接下來則是在設(shè)計的估計器均方誤差最小時,反過來求最優(yōu)的比特數(shù)分配.

定理1基于準(zhǔn)最小均方誤差估計器的分配方法:當(dāng)傳感器的最優(yōu)量化級數(shù)與觀測噪聲方差成反比時,基于線性估計器均方誤差上界達(dá)到最小值,此時則有

證式(11)描述的估計器均方誤差為

而由式(8)和式(11)可得

由Cauchy-Schwartz不等式[29],對任意兩個隨機(jī)變量X和Y,有

由式(15)(10)和式(14),有

將式(10)(14)(16)代入式(13),得

根據(jù)上述分析,優(yōu)化問題可轉(zhuǎn)換成易求解形式如下.

優(yōu)化問題轉(zhuǎn)換:由上述分析可見,該類分配優(yōu)化可以轉(zhuǎn)變成較易解決的情況.式(17)上界為二次式,式(4)在Q受到限定條件下可轉(zhuǎn)變成式(17)中的均方誤差上閾值,即等價于如下極小化函數(shù):

式(18)根據(jù)均值不等式可進(jìn)一步[29]轉(zhuǎn)化為

且當(dāng)

式(19)所述函數(shù)J達(dá)到極小值.

根據(jù)式(19)和式(20),式(17)中的MSE在量化級數(shù)剛好反比于噪聲方差時出現(xiàn)最小上閾值,而各節(jié)點分配為如下所示:

證畢.

注2考慮到式(12)中可能為負(fù)數(shù)或小數(shù)的特殊情況,故對其進(jìn)行交替序列比特分配算法[30]進(jìn)行修正:

如此循環(huán)直至所有比特率分完為止.

注31)式(12)表明各傳感器分配的最優(yōu)比特數(shù)與自身及整體觀測噪聲都相關(guān),意味著與噪聲方差緊密相關(guān);

2)式(12)表明各傳感器的最優(yōu)比特數(shù)與總比特數(shù)Q成正比關(guān)系,而且分配的比特數(shù)位數(shù)也隨著Q的增大而增大,符合實際情況;

3)在實際設(shè)計過程中,先對各傳感器分配完最優(yōu)比特數(shù),用無偏均勻量化器進(jìn)行量化,最后再根據(jù)式(11)完成估計器的設(shè)計.

前面討論了基于最小均方誤差估計器的分布式參數(shù)估計器設(shè)計及最優(yōu)比特分配方案,接下來,將估計器一般化來討論最優(yōu)比特分配方案.

4 基于一般類型估計器的最優(yōu)比特分配

本小節(jié)中將在估計器一般化后研究最優(yōu)比特分配的問題,首先引入必要的理論原理.

4.1 Bayesian Cramer-Rao下限(BCRLB)和Fisher信息

基于觀測值信息集x設(shè)計,用于估計隨機(jī)變量θ的估計器的MSE需滿足[31]

式(25)不等式右邊項即為BCRLB,不等式中是有關(guān)x和θ的期望,式中:則Iθ為θ的先驗Fisher信息,而表示通過x增加θ的Fisher信息,于是兩者之和就是觀測值信息集x下θ的總Fisher信息.

觀測模型(1)中的θ和都服從高斯分布,則有[29]

其中xn為式(1)中觀測.

假設(shè)理想時觀測值信息集x為未量化過的,且有x={x1,x2,···,xN},再根據(jù)觀測噪聲的相互獨立性,存在

再將式(26)(28)代入式(25)中可得

故當(dāng)傳感器和融合中心擁有充足的通信帶寬時,各傳感器可以精確傳送觀測值,則這種情況下的估計誤差只是觀測噪聲造成的.而觀測噪聲滿足空間無關(guān)下的高斯分布,此時最小均方誤差估計器可用式(9)表示,而式(10)達(dá)到Bayesian Cramer-Rao下界(29).

4.2 最優(yōu)比特分配設(shè)計

本節(jié)中先給出一般類型估計器下的最優(yōu)比特分配定理,然后將該問題轉(zhuǎn)化成易求解的形式.

定理2基于一般類型估計器的分配:在高精度量化下,一般類型的均方誤差會在節(jié)點量化級數(shù)恰好反比于噪聲方差時出現(xiàn)最小下閾值,此時則有

證圖2所示觀測值經(jīng)過均勻量化器的處理,傳感器n量化觀測值二進(jìn)制形式用bn表示,而bn=0,1,···,2qn ?1,則是傳感器n的Fisher信息,并用IB表示整個網(wǎng)絡(luò)總的Fisher信息.二進(jìn)制形式的量化觀測值集在給定θ時條件獨立,因此有

在式(32)基礎(chǔ)上,又考慮到wn和θ相互獨立,則有

概率密度函數(shù)

累計概率分布函數(shù)

優(yōu)化問題轉(zhuǎn)換:因為傳感器觀測值范圍已界定在[?W,W],從而?n和只與qn相關(guān),從而可令=Wn(qn),則最優(yōu)比特分配問題轉(zhuǎn)換為

而式(38)所述模型可通過拉格朗日優(yōu)化算法解得比特最優(yōu)分配數(shù)值解[32].同時考慮使用高精度量化方案來求解上述問題的解析解.記第n個節(jié)點直接觀測結(jié)果和量化處理后的得分函數(shù)分別為

而式(39)各自對應(yīng)的Fisher信息為

結(jié)合式(28),對應(yīng)的Fisher信息在觀測噪聲方差確定時為常數(shù).則所求問題在此方案下轉(zhuǎn)化為

則量化觀測得分函數(shù)可重寫為

對式(42)中θ求期望得到

根據(jù)上述分析,可得高精度量化情況下?n→0,則為所在區(qū)間的質(zhì)心,并且有

其中vn是給定bn分區(qū)下的質(zhì)心.又因?n→0可使各分區(qū)質(zhì)心用各自的中點值替換,簡化了分析與求解過程:

優(yōu)化問題進(jìn)一步轉(zhuǎn)換:在式(41)(45)和式(47)的基礎(chǔ)上,問題被進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為如下描述:

根據(jù)均值不等式性質(zhì)[29]可以推算出式(22)同為式(48)和式(19)中代價函數(shù)為極小值時的條件:

其中:n=1,2,···,N.證畢.

注41)基于最小均方誤差估計器或一般類型的關(guān)于比特數(shù)分配的最理想方法是相同的;

2)無論是分析極小化均方誤差的上閾值還是下閾值,最終得到的分配方案是一致的;

3)本文通過將優(yōu)化問題逐次簡化成更易求解的形式,提出了基于一般類型估計器的方案.

5 仿真研究

本節(jié)介紹了如何通過MATLAB驗證上述分配方法的有效性和可行性.在仿真實驗中設(shè)定隨機(jī)參數(shù)服從θ ～N(0,1),并且設(shè)傳感器觀測范圍W=20和節(jié)點數(shù)N=10.在表1中,觀測噪聲方差固定、總帶寬有限情況下整個無線傳感器網(wǎng)絡(luò)的最優(yōu)比特分配,同時給出了幾種總帶寬限定下的分配情況.需要注意的是,表1中qn=0代表傳感器未激活.表1可以看出部分節(jié)點在總帶寬較小時沒有投入工作,有利于觀測性能好的節(jié)點更加高效地利用有限的帶寬資源,而噪聲大的傳感器的觀測結(jié)果不被納入后續(xù)分析中;而在總帶寬足夠充足時可激活全部的傳感器.

表1 最優(yōu)比特分配Table 1 Optimal bit allocation

圖3給出本文構(gòu)造的一般類型和線性估計器的均方誤差曲線,是上千次仿真模擬綜合的結(jié)果.

圖3(a)分別給出了最佳分配下準(zhǔn)最小均方誤差估計器以及平均分配下準(zhǔn)最小均方誤差估計器的MSE下閾值.可以看出,比特數(shù)在最佳分配下估計器的誤差總體上較另一種方案更低,說明基于該方案的估計器的性能更好;從圖中還可看出兩種分配方案下的估計器的MSE在總帶寬Q大到一定程度后都趨近于其理論上的下閾值.

而對于后者,若網(wǎng)絡(luò)中采樣數(shù)量充足,此時有N→∞,可用極大似然估計器(maximum likelihood estimate,MLE)作為一般類型的代表,借此驗證本文提出分配方法下估計器的性能,且在該條件下它將無限接近理論下閾值.其中bn的log似然函數(shù)[33]為

綜合文中條件假設(shè),可得整個無線傳感器網(wǎng)絡(luò)的聯(lián)合log似然函數(shù)如下:

于是,關(guān)于θ的極大似然估計器為

圖3(b)分別給出了極大似然估計器在不同方案下的MSE以及其理論下限.從中可得最優(yōu)分配下的極大似然估計器性能明顯更優(yōu)于均勻分配下的情況.該結(jié)論與基于線性估計器得到的結(jié)論一致.

圖3 估計器均方誤差比較Fig.3 Comparison of Estimation MSE

綜上,無論是基于線性估計器還是基于一般類型估計器的MATLAB仿真結(jié)果,都明確表明本文給出的關(guān)于比特數(shù)的最佳分配法的有效性和可行性.

6 結(jié)論

本文以高斯信源–高斯噪聲模型為基礎(chǔ),首先在均勻量化器的基礎(chǔ)上構(gòu)造線性估計器并給出對應(yīng)的MSE上閾值.然后最小化該上閾值計算出適用于該類估計器比特數(shù)的理想分配方法.另外結(jié)合無偏類型估計器MSE的BCRLB下閾值,給出適用于高精度量化條件下對應(yīng)于一般類型估計器的比特數(shù)的最優(yōu)分配.最后仿真表明兩個方案在高精度均勻量化情況下的結(jié)論一致.此外為避免所提出方案下分配的比特數(shù)可能為小數(shù)或負(fù)數(shù)的情形,引入了比特分配的交替序列算法.