楊 博,THIDAR Swe,鐘林恩,束洪春,余 濤,孫立明

(1.昆明理工大學(xué)電力工程學(xué)院,云南昆明 650500;2.華南理工大學(xué)電力學(xué)院,廣東廣州 510640;3.廣州水沐青華科技有限公司,廣東廣州 510898)

1 引言

太陽(yáng)能作為一種新興的綠色能源近年來(lái)得到迅猛發(fā)展[1–2].由于受到自然因素的影響,光伏系統(tǒng)的有功功率往往變化頻繁且幅度較大[3].因此,在不同天氣條件下盡可能多地獲得電能,即最大功率跟蹤(maximum power point tracking,MPPT)[4]是一項(xiàng)重要的控制任務(wù).近年來(lái),光伏系統(tǒng)的MPPT算法研究已經(jīng)取得了大量成果,如擾動(dòng)觀測(cè)法[5]和增量電導(dǎo)法[6].

光伏系統(tǒng)主要通過(guò)光伏逆變器將光伏陣列發(fā)出的直流功率轉(zhuǎn)化為交流功率后傳輸?shù)诫娋W(wǎng),在其系統(tǒng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)一定的情況下,傳輸給電網(wǎng)的功率取決于光伏陣列MPPT算法及光伏逆變器的控制策略[7–8].國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)光伏逆變器控制進(jìn)行了深入研究,以提高光伏逆變器的控制性能[9].現(xiàn)階段最常用的控制器為比例–積分(proportional integral,PI)控制器,其具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單等突出優(yōu)點(diǎn)而得到廣泛應(yīng)用.然而,當(dāng)運(yùn)行點(diǎn)改變時(shí)PI控制難以實(shí)現(xiàn)全局一致的控制性能.

為此,大量文獻(xiàn)對(duì)光伏逆變器的非線性控制策略進(jìn)行了研究.其中,文獻(xiàn)[10]采用反饋線性化控制(feedback linearization control,FLC)對(duì)光伏逆變器的非線性進(jìn)行完全補(bǔ)償,從而獲得全局一致的控制性能.文獻(xiàn)[11]提出光伏逆變器滑?？刂?sliding mode control,SMC)策略,從而大幅增強(qiáng)系統(tǒng)的魯棒性.文獻(xiàn)[12]應(yīng)用反推有限時(shí)間快速滑?？刂苼?lái)有效處理上述各類不確定性.文獻(xiàn)[13]設(shè)計(jì)了模型預(yù)測(cè)控制來(lái)實(shí)現(xiàn)光伏逆變器的魯棒MPPT.文獻(xiàn)[14]則采用干擾估計(jì)器來(lái)對(duì)光伏逆變器進(jìn)行實(shí)時(shí)估計(jì),該方法不需要光伏系統(tǒng)的精確模型,具有較強(qiáng)魯棒性.文獻(xiàn)[15]設(shè)計(jì)了一款無(wú)源控制器對(duì)光伏逆變器注入額外阻尼,從而大幅提高了其MPPT性能.上述各類控制器均為整數(shù)型控制器.近年來(lái),分?jǐn)?shù)階型控制器受到了廣泛的關(guān)注.此類控制器基于分?jǐn)?shù)階微積分理論,引入了額外的控制參數(shù)從而將傳統(tǒng)的整數(shù)參數(shù)擴(kuò)展為分?jǐn)?shù)參數(shù),從而提高了被控系統(tǒng)的控制性能.諸如文獻(xiàn)[16]提出了分?jǐn)?shù)階PID控制以顯著提高光伏逆變器的動(dòng)態(tài)響應(yīng).此外,分?jǐn)?shù)階滑?？刂破?fractional-order sliding mode control,FOSMC)已在各類工程領(lǐng)域得到應(yīng)用,如永磁同步電動(dòng)機(jī)[17]、防抱死系統(tǒng)[18]、雙饋感應(yīng)發(fā)電機(jī)[19]等等.

基于上述討論,本文結(jié)合擾動(dòng)觀測(cè)器(perturbation observer)和FOSMC提出了一款基于擾動(dòng)觀測(cè)器的魯棒分?jǐn)?shù)階滑?？刂?perturbation observer based fractional-order sliding mode control,POFO–SMC).首先,采用滑模狀態(tài)擾動(dòng)觀測(cè)器(sliding mode state and perturbation observer,SMSPO)對(duì)光伏逆變器的非線性、參數(shù)不確定性、未建模動(dòng)態(tài)和外部擾動(dòng)等影響進(jìn)行實(shí)時(shí)估計(jì).隨后采用FOSMC對(duì)該擾動(dòng)估計(jì)進(jìn)行完全補(bǔ)償,從而實(shí)現(xiàn)全局一致的控制性能,并顯著提高系統(tǒng)的魯棒性.另外,采用PDα滑動(dòng)平面可提高誤差跟蹤性能.由于擾動(dòng)的上限值被實(shí)時(shí)估計(jì)值所取代,POFO–SMC具有更合理的控制成本.控制器無(wú)需光伏系統(tǒng)精確模型,僅需測(cè)量直流側(cè)電壓和q軸電流.由于對(duì)擾動(dòng)進(jìn)行了實(shí)時(shí)估計(jì)與完全補(bǔ)償,其可避免傳統(tǒng)SMC控制性能過(guò)于保守的缺點(diǎn).

2 并網(wǎng)光伏逆變器建模

并網(wǎng)光伏逆變器系統(tǒng)示意圖如圖1所示,其中包括光伏陣列、直流側(cè)電容、光伏逆變器和三相電網(wǎng)[20].

圖1 光伏逆變器結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Configuration of a grid-connected PV inverter

2.1 光伏電池建模

光伏電池輸出電流和電壓之間的關(guān)系描述為[21]

其中:Iph是光伏電池產(chǎn)生的光生電流,Is是光伏電池的反向飽和電流,電荷常數(shù)q=1.60217733×10?19Cb,A為二極管的品質(zhì)因子,玻爾茲曼常數(shù)k=1.380658×10?23J/K,Tc是溫度,Vdc是光伏輸出電壓,Ipv是光伏輸出電流,Rs是串聯(lián)電阻.

光伏電池產(chǎn)生的光生電流Iph計(jì)算如下:

式中:Isc為短路電流,ki是光伏電池短路電流溫度系數(shù),Tref是光伏電池額定運(yùn)行溫度,s是光照強(qiáng)度.

光伏電池的飽和電流Is計(jì)算如下:

式中:IRS是在額定光照強(qiáng)度和溫度下的光伏電池反向飽和電流,Eg是光伏電池半導(dǎo)體中的帶隙能[21].

另外,額定溫度和光照強(qiáng)度下的反向飽和電流可近似為

上述等式(1)–(4)表明由光伏陣列產(chǎn)生的電流由溫度和光照強(qiáng)度共同決定.

2.2 光伏逆變器建模

光伏逆變器在dq坐標(biāo)系下的動(dòng)態(tài)特性如下所示:

其中:ed,eq,id,iq,vd和vq分別表示電網(wǎng)電壓、電網(wǎng)電流和光伏逆變器輸出電壓的dq分量,L和R分別代表電網(wǎng)的等效電感和等效電阻,ω表示交流電網(wǎng)頻率.此外,忽略光伏逆變器的開關(guān)功率損耗,直流輸入側(cè)和交流輸出側(cè)之間功率平衡關(guān)系可描述如下:

其中Vdc和Idc分別為光伏逆變器的輸入電壓和電流.

直流側(cè)動(dòng)態(tài)特性描述如下:

其中C代表直流側(cè)電容.

3 基于擾動(dòng)觀測(cè)器的魯棒分?jǐn)?shù)階滑?？刂?/h2>

3.1 擾動(dòng)觀測(cè)器設(shè)計(jì)

考慮一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)n階非線性系統(tǒng):

定義系統(tǒng)(8)的擾動(dòng)如下[22]:

式中常數(shù)b0為控制增益.

對(duì)于原始系統(tǒng)(8),狀態(tài)變量xn可寫為

定義一個(gè)虛擬狀態(tài)(fictitious state)來(lái)表示該擾動(dòng),即xn+1=ψ(x,u,t).則原n階系統(tǒng)(8)可擴(kuò)展為(n+1)階增廣系統(tǒng)(augmented system):

定義新的狀態(tài)變量xe=[x1x2···xn xn+1]T,并作出如下3個(gè)假設(shè)[22,24,28]:

假設(shè)1控制增益b0必須滿足1,其中θ是正常數(shù).另外,輸入增益b(x)以及其一階導(dǎo)數(shù)均有界,即0b(x)b2以及

假設(shè)2擾動(dòng)ψ(x,u,t):及其一階導(dǎo)數(shù)滿足

且ψ(0,0,0)=0,(0,0,0)=0,其中γ1和γ2是正常數(shù).

假設(shè)3系統(tǒng)輸出參考值yd及其n階導(dǎo)數(shù)均連續(xù)且有界.

式中正常數(shù)αi(i=1,2,···,n+1)是Luenberger觀測(cè)器增益,其選取使多項(xiàng)式sn+1+α1sn+α2sn?1+···+αn+1=(s+λα)n+1=0的極點(diǎn)置于左半復(fù)平面的?λα,即

另外正常數(shù)ki表示觀測(cè)器的滑動(dòng)平面增益,并滿足

3.2 分?jǐn)?shù)階滑模魯棒控制器設(shè)計(jì)

式中a和t分別為分?jǐn)?shù)階運(yùn)算的上限和下限,而α ∈R表示運(yùn)算階次.

根據(jù)Riemann-Liouville(RL)對(duì)分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的定義,并采用Gamma函數(shù)Γ(·),可得

其中n是一個(gè)不小于α的整數(shù),即n ?1α

設(shè)計(jì)系統(tǒng)(9)的分?jǐn)?shù)階比例–微分(PDα)滑動(dòng)平面,如下:

其中正常數(shù)λi表示PDα滑動(dòng)平面增益.

3.3 整體POFO–SMC設(shè)計(jì)

至此,系統(tǒng)(9)的POFO–SMC設(shè)計(jì)如下:

其中正常數(shù)滑模控制增益ζ和φ確保PDα滑動(dòng)平面?FO收斂,引入雙曲正切函數(shù)[30]

分?jǐn)?shù)階滑?？刂平Y(jié)合了分?jǐn)?shù)階微積分理論與傳統(tǒng)滑模控制理論的雙重優(yōu)點(diǎn).與傳統(tǒng)滑?？刂葡啾?其能夠?qū)哂心Ｐ筒淮_定性和存在外部擾動(dòng)的系統(tǒng)進(jìn)行更好的魯棒控制;與傳統(tǒng)微積分相比,分?jǐn)?shù)階微積分增加了微分和積分運(yùn)算兩個(gè)自由度的可變性,利用分?jǐn)?shù)階微積分算子的遺傳特性和記憶性能夠進(jìn)一步提高系統(tǒng)的控制品質(zhì)和綜合性能;同時(shí),分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)隨時(shí)間緩慢衰減的特性能夠有效地削減傳統(tǒng)整數(shù)階滑?？刂浦械亩墩?具體說(shuō)來(lái),整數(shù)階滑模面是以指數(shù)律收斂到平衡點(diǎn),而分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的收斂性與分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)α有關(guān),可以近似為t?α[14];因此,根據(jù)α調(diào)整系統(tǒng)狀態(tài)的收斂性,可達(dá)到更好的動(dòng)態(tài)和靜態(tài)性能.同時(shí),常規(guī)滑?？刂葡到y(tǒng)中抖振產(chǎn)生的原因是:實(shí)際執(zhí)行機(jī)構(gòu)的切換頻率跟不上理論的高頻切換作用,導(dǎo)致了實(shí)際系統(tǒng)在時(shí)間上的延遲和空間上的滯后.將高頻作用在分?jǐn)?shù)階切換流形,利用分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)可調(diào)的收斂方式,使之較為緩慢地傳遞能量,有利于減少抖振[26–27].

4 光伏逆變器POFO–SMC設(shè)計(jì)

對(duì)于光伏系統(tǒng)(1)–(7),分別定義狀態(tài)變量

系統(tǒng)輸出y=(y1,y2)T=(iq,Vdc)T,控制輸入u=(u1,u2)T=(vd,vq)T,光伏逆變器(5)–(7)的狀態(tài)方程為

其中:

為確保上述輸入–輸出線性化(25)可行,要求控制增益矩陣B(x)必須在整個(gè)運(yùn)行范圍內(nèi)是非奇異的,即

由于電網(wǎng)電壓d軸分量ed始終不等于零,因此上述條件總是滿足.

假設(shè)系統(tǒng)所有非線性和參數(shù)均未知,定義ψ1(·)和ψ2(·)為系統(tǒng)(25)的擾動(dòng)如下:

其中?？刂圃鲆婢仃嘊0由下式給出:

式中常數(shù)b11和b22是控制增益.

定義跟蹤誤差e=對(duì)跟蹤誤差e求導(dǎo)直至控制輸入u顯式出現(xiàn),即

采用二階滑模擾動(dòng)觀測(cè)器(sliding mode perturbation observer,SMPO)估計(jì)擾動(dòng)ψ1(·),有

式中觀測(cè)器增益k11,k12,α11和α12均為正數(shù).

同時(shí),采用三階SMSPO估計(jì)擾動(dòng)ψ2(·),有

式中觀測(cè)器增益k21,k22,k23,α21,α22和α23均為正數(shù).

設(shè)計(jì)跟蹤誤差(33)的PDα滑動(dòng)平面如下:

式中:α1和α2是分?jǐn)?shù)階微分階數(shù),正常數(shù)λcl和λc2分別表示PDα滑動(dòng)平面增益.

最后,光伏系統(tǒng)(25)的POFO–SMC設(shè)計(jì)如下:

式中選擇滑模控制增益ζ1,ζ2,φ1和φ2以確保跟蹤誤差(33)的收斂性.圖2給出了POFO–SMC整體控制框架示意圖.

圖2 實(shí)現(xiàn)MPPT的并網(wǎng)光伏逆變器的整體POFO–SMC結(jié)構(gòu)圖Fig.2 The overall POFO–SMC structure of the grid connected PV inverter for MPPT

需要指出的是,首先,光伏逆變器通常運(yùn)行壽命為15～20年且其運(yùn)行過(guò)程中經(jīng)常受到光照強(qiáng)度隨機(jī)變化,系統(tǒng)發(fā)熱,環(huán)境溫差隨機(jī)變化巨大等問(wèn)題.因此,光伏系統(tǒng)的參數(shù)精確信息在實(shí)際中難以得到[8];其次,光伏逆變器的狀態(tài)量,如電網(wǎng)側(cè)電流,電網(wǎng)側(cè)電壓,直流側(cè)電壓等,均需要電壓電流表來(lái)進(jìn)行測(cè)量,從而增大了運(yùn)維成本;再次,其逆變過(guò)程中往往還會(huì)帶來(lái)大量的電流/電壓諧波,進(jìn)而影響狀態(tài)量的測(cè)量精確性[11].基于上述討論可發(fā)現(xiàn),光伏逆變器系統(tǒng)長(zhǎng)期運(yùn)行于高度不確定性的環(huán)境下,即使可以獲得某些已知系統(tǒng)模型信息也需額外的測(cè)量?jī)x器.相較于其他利用系統(tǒng)已知信息的非線性控制策略而言,POFO–SMC將光伏逆變器的非線性、參數(shù)不確定性以及未建模動(dòng)態(tài)聚合成一個(gè)擾動(dòng),從將系統(tǒng)模型變?yōu)榱酥挥小皵_動(dòng)”和“控制項(xiàng)”的處理方法由于忽略了系統(tǒng)已知信息會(huì)帶來(lái)一定的控制保守性,但是其可大幅提高光伏逆變器系統(tǒng)的魯棒性,同時(shí)由于僅需測(cè)量直流側(cè)電壓與q軸交流電流兩個(gè)狀態(tài)量,從而顯著地減少了測(cè)量?jī)x器的成本.另外,相較于常規(guī)SMC而言,POFO–SMC采用擾動(dòng)的觀測(cè)值來(lái)取代擾動(dòng)的最大值,因此其可降低SMC的保守性[28].因此,POFO–SMC的這種設(shè)計(jì)對(duì)于光伏逆變器而言具有很強(qiáng)的工程實(shí)用性.

5 算例研究

本章將所提的POFO–SMC與PI控制、FLC[10]、SMC[11]和FOSMC[17]進(jìn)行對(duì)比.表1 羅列了光伏系統(tǒng)參數(shù).POFO–SMC主要包括兩類設(shè)計(jì)參數(shù),即觀測(cè)器參數(shù)與控制器參數(shù).基于文獻(xiàn)[22,24,28],對(duì)于觀測(cè)器參數(shù)而言,觀測(cè)器的根放置于5～40之間可獲得令人滿意的擾動(dòng)觀測(cè)性能.較小的根將會(huì)導(dǎo)致較慢的擾動(dòng)估計(jì)收斂速率與較小的控制成本.因此,SMPO(34)和SMSPO(35)的根分別選取為λα1=20和λk1=20以及λα2=10和λk2=10.對(duì)于控制器參數(shù)而言,較大的控制增益ζ1,ζ2,φ1,φ2,λcl,λc2會(huì)導(dǎo)致較小的跟蹤誤差與較大的控制成本;同時(shí)較大的分?jǐn)?shù)階階數(shù)α1和α2會(huì)導(dǎo)致較快的控制誤差收斂速度與較大的控制成本;參數(shù)b11與b22則同時(shí)影響觀測(cè)器與控制器性能,其較大的值會(huì)導(dǎo)致較慢的觀測(cè)器與控制器收斂速率與較小的控制成本.最后,層寬厚度?C與?O越大,抖振抑制越明顯,但過(guò)大的層寬厚度會(huì)影響軟開關(guān)滑模觀測(cè)器響應(yīng)速度,降低系統(tǒng)魯棒性.POFO–SMC參數(shù)根據(jù)試錯(cuò)法(trial and error)得到,最終結(jié)果如下所示:q軸電流控制參數(shù):b11=?1000,ζ1=8,φ1=5,α11=40,α12=400,k11=15,k12=600,α1=0.6,λc1=20;直流側(cè)電壓控制參數(shù):b22=?2250,ζ2=12,φ2=10,α21=30,α22=300,α23=1000,k21=20,k22=600,k23=6000,α2=0.6,λc2=15,?o=0.1,?c=0.1.

表1 光伏系統(tǒng)參數(shù)Table 1 The PV system parameters

5.1 光照強(qiáng)度變化

首先研究光照強(qiáng)度變化,在t=0.2 s時(shí)其從1kW/m2減小到0.5 kW/m2并且在t=1.2 s時(shí)恢復(fù)到1 kW/m2,在整個(gè)時(shí)間段內(nèi)溫度保持于25?C.q軸電流Iq在t=0.2 s時(shí)增加到50 A,在t=1.2 s時(shí)減小到?30 A,最后在t=1.7 s時(shí)恢復(fù)到0 A.系統(tǒng)響應(yīng)如圖3所示,可見POFO–SMC無(wú)振蕩出現(xiàn)并可最快速率地達(dá)到新的穩(wěn)態(tài),同時(shí)最快速地跟蹤q軸電流與直流側(cè)電壓.

5.2 電網(wǎng)電壓跌落

為測(cè)試POFO–SMC在電網(wǎng)發(fā)生故障后恢復(fù)光伏系統(tǒng)的能力,在t=0.2～0.35 s期間電網(wǎng)電壓從額定值跌落至0.4 p.u..系統(tǒng)響應(yīng)如圖4所示,可以發(fā)現(xiàn),POFO–SMC能夠以最快的速率和最低的超調(diào)量抑制有功功率、直流側(cè)電壓和q軸電流波動(dòng).

圖3 光照強(qiáng)度變化下的光伏系統(tǒng)響應(yīng)圖Fig.3 PV system responses obtained under solar irradiation variation

圖4 電網(wǎng)電壓跌落下的光伏系統(tǒng)響應(yīng)圖Fig.4 PV system responses obtained under power grid voltage drop

圖5給出了SMPO和SMSPO的擾動(dòng)估計(jì)性能.可以發(fā)現(xiàn),SMPO和SMSPO均可快速有效地估計(jì)電網(wǎng)電壓跌落時(shí)的擾動(dòng).

圖5 電網(wǎng)電壓跌落下SMPO和SMSPO的擾動(dòng)估計(jì)性能Fig.5 Perturbation estimation performance of SMPO and SM SPO obtained under power grid voltage drop

5.3 光伏系統(tǒng)參數(shù)不確定性測(cè)試

為測(cè)試POFO–SMC對(duì)系統(tǒng)參數(shù)不確定性的魯棒性,對(duì)電網(wǎng)等效電阻R和電網(wǎng)等效電感L在其額定值附近±20%范圍內(nèi)變化進(jìn)行研究.選取電網(wǎng)電壓跌落持續(xù)100 ms下有功功率的峰值進(jìn)行對(duì)比.由圖6可知,POFO–SMC具有對(duì)系統(tǒng)參數(shù)不確定性的最高魯棒性.

圖6 電網(wǎng)等效電阻R和電感L在額定±20%范圍內(nèi)變化時(shí),電網(wǎng)電壓跌落持續(xù)100 ms下有功功率|P|峰值對(duì)比圖Fig.6 Peak value of active power|P| obtained at power grid voltage drop with 20%variation of the equivalent resistance R and inductance L of different controllers

5.4 定量分析

表2中羅列了兩種算例下各控制器的絕對(duì)誤差積分指標(biāo)(integral absolute error,IAE),選擇仿真時(shí)間T=2.5 s.由表2可見,POFO–SMC在兩種算例下均具有最低的IAE指數(shù),因此其具有最佳的控制性能.

表2 各控制器兩種算例下IAE指數(shù)Table 2 IAE indices(in p.u.)of different controllers obtained in two scenarios

最后,圖7給出了兩種算例下各控制器所需的整體控制成本,可見POFO–SMC僅需最低的控制成本.

圖7 兩種情況下不同控制器所需的總體控制成本Fig.7 Overall control costs required by different controllers under two cases

6 硬件在環(huán)實(shí)驗(yàn)

本章基于dSpace進(jìn)行硬件在環(huán)實(shí)驗(yàn)(hardware in loop,HIL)實(shí)驗(yàn),其實(shí)驗(yàn)平臺(tái)由圖8所示.在此,基于POFO–SMC的q軸電流和直流側(cè)電壓控制器放置于DS1104平臺(tái)上,其采樣頻率fc=1 kHz,光伏系統(tǒng)則放置于DS1006平臺(tái),其采樣頻率fs=50 kHz.

圖8 HIL實(shí)驗(yàn)硬件實(shí)驗(yàn)平臺(tái)Fig.8 The hardware platform of HIL experiment

6.1 光照強(qiáng)度變化

如圖9所示,在光照強(qiáng)度變化下,HIL實(shí)驗(yàn)結(jié)果和仿真結(jié)果非常接近.

圖9 光照強(qiáng)度變化下仿真和HIL實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比圖Fig.9 Simulation and HIL experiment results obtained under solar irradiation variation

6.2 電網(wǎng)電壓跌落

在電網(wǎng)電壓跌落時(shí)的系統(tǒng)響應(yīng)圖如圖10所示.由圖10可以觀察到,HIL實(shí)驗(yàn)結(jié)果和仿真結(jié)果十分相似.

圖10 電網(wǎng)電壓跌落下仿真和HIL實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比圖Fig.10 Simulation and HIL experiment results obtained under power grid voltage drop

7 討論

本文所采用的基于擾動(dòng)觀測(cè)器的分?jǐn)?shù)階滑?？刂扑捎玫臄_動(dòng)觀測(cè)器屬于采用擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)觀測(cè)器(extended state observer,ESO)的一種.該方法在處理匹配擾動(dòng)時(shí)可以取得很好的效果,近年來(lái),不少學(xué)者已將該控制體系方法推廣到了非匹配擾動(dòng)的情況.文獻(xiàn)[29]將非匹配擾動(dòng)的估計(jì)值融入滑模面,設(shè)計(jì)了一種對(duì)非匹配擾動(dòng)具有魯棒效果的滑?？刂品椒?但此方法只能處理非匹配擾動(dòng)最后趨于常數(shù)的情形;文獻(xiàn)[30]提出了一種在一定程度上能夠處理高階非匹配擾動(dòng)的方法,但是在控制律設(shè)計(jì)過(guò)程中沒有充分利用非匹配擾動(dòng)的導(dǎo)數(shù)信息;文獻(xiàn)[31]能夠有效處理高階非匹配擾動(dòng),但是所用的擾動(dòng)觀測(cè)器較復(fù)雜,計(jì)算量大.文獻(xiàn)[32]通過(guò)擾動(dòng)觀測(cè)器估計(jì)復(fù)合擾動(dòng)以及非匹配擾動(dòng)的各階導(dǎo)數(shù),對(duì)非匹配擾動(dòng)具有很好的魯棒效果.因此,本文所提算法可參照上述方法進(jìn)行改動(dòng)即可應(yīng)用于處理非匹配擾動(dòng).

另外,根據(jù)文獻(xiàn)[24],假設(shè)2中關(guān)于擾動(dòng)及其一階導(dǎo)數(shù)的有界性證明如下.首先,將控制率(20)代入擾動(dòng)(10),以及式(44)中的最后一項(xiàng),可得到擾動(dòng)與其一階導(dǎo)數(shù)如下:

基于假設(shè)1、附錄的觀測(cè)器收斂性證明A以及穩(wěn)定性證明B,可得

考慮擾動(dòng)為平滑函數(shù),基于上述分析,可知擾動(dòng)及其一階導(dǎo)數(shù)均有界.即假設(shè)2成立.

8 結(jié)論

本文提出了一款新型的POFO–SMC策略來(lái)實(shí)現(xiàn)光伏逆變器MPPT,其主要貢獻(xiàn)可歸納如下:

1)所提算法采用分?jǐn)?shù)階滑?？刂婆ctanh函數(shù),可顯著削弱傳統(tǒng)滑?？刂浦械亩墩駟?wèn)題;

2)光照強(qiáng)度變化與電網(wǎng)電壓跌落兩個(gè)算例表明,相較于對(duì)比算法,POFO–SMC能最快速度地跟蹤功率并恢復(fù)受擾系統(tǒng),同時(shí)具有最小的控制成本;

3)在電網(wǎng)參數(shù)不確定下,PI 控制,FLC,SMC,FOSMC和POFO–SMC有功功率|P|的峰值分別是41.2%,73.4%,26.5%,24.7%和18.1%,因此POFO–SMC具有最高的魯棒性;

4)所提算法的擾動(dòng)觀測(cè)器收斂性,可達(dá)性和滑模動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性均在理論上給出了嚴(yán)格的理論證明;

5)基于dSpace的HIL實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了POFO–SMC的硬件實(shí)現(xiàn)可行性.

附錄A 擾動(dòng)觀測(cè)器收斂性證明

POFO–SMC的魯棒性由SMSPO的觀測(cè)收斂性決定.SMSPO的觀測(cè)誤差動(dòng)態(tài)如下:

上述條件由合理選擇觀測(cè)增益k1來(lái)保證.

此外,文獻(xiàn)[24]給出了等效觀測(cè)誤差動(dòng)態(tài)

亦可寫為

定義狀態(tài)轉(zhuǎn)換:

式(A4)可以用新狀態(tài)z表示為

式中:z=[z2···zn+1]T;n×n階矩陣M為

定義Lyapunov函數(shù)如下:

式中P1是Lyapunov 方程P1M+MTP1=?I的正定解.對(duì)W1求導(dǎo),可得

考慮假設(shè)2,可得

選取一個(gè)常數(shù)α,0<α<1,易得

應(yīng)用文獻(xiàn)[25]中定理5.1的推論5.3,可推得:如果∥z(0)∥δz,則有?t1,t1>0,因此有

式中:t1是時(shí)間常數(shù);λk假設(shè)總大于1.由等式(A7)可知

因此,對(duì)于給定的正常數(shù)δ,可用λk使得式

成立,從而保證誤差呈指數(shù)收斂至特別地,

為了證明的嚴(yán)謹(jǐn)性,需進(jìn)一步說(shuō)明增益k1的選擇可以使滑動(dòng)模態(tài)條件(A2)對(duì)所有t>0的情形成立.顯然

至此,擾動(dòng)觀測(cè)器的收斂性得證.

附錄B 控制器穩(wěn)定性證明

B1 滑模控制可達(dá)性證明

實(shí)際分?jǐn)?shù)階滑動(dòng)平面可由下式表示:

因此,滑動(dòng)平面的誤差估計(jì)為

構(gòu)造Lyapunov函數(shù):

對(duì)式(19)求導(dǎo),使用等價(jià)動(dòng)態(tài)誤差估計(jì)滑動(dòng)模型,有

將式(21)代入式(B4),可得

因此,滑動(dòng)平面的吸引力可描述為

基于式(16),可得

要滿足式(B7),控制增益φ條件為

使用式(17),可得

基于分?jǐn)?shù)階微積分理論[33],分?jǐn)?shù)階微進(jìn)行等價(jià)整數(shù)化后,根據(jù)式(A3)可知的各整數(shù)階導(dǎo)數(shù)均可寫成(j=2,3,···,n)與之和的形式.根據(jù)假設(shè)2和式(A23),可得

因此,條件(B9)可最終等價(jià)于

B2 滑?？刂苿?dòng)態(tài)穩(wěn)定性證明

對(duì)滑動(dòng)平面估計(jì)誤差(B2)求導(dǎo)可得

估計(jì)滑動(dòng)平面的邊界可通過(guò)下式計(jì)算:

基于邊界(B14),結(jié)合多項(xiàng)式增益ρi=式中i=1,···,n ?1.狀態(tài)跟蹤誤差滿足以下關(guān)系:

其中i=0,1,···,n ?1.至此,滑?？刂苿?dòng)態(tài)穩(wěn)定性得證.

B3 分?jǐn)?shù)階滑模面存在條件證明

當(dāng)系統(tǒng)進(jìn)入滑動(dòng)模態(tài)時(shí),系統(tǒng)狀態(tài)滿足

根據(jù)分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)穩(wěn)定性理論[33],只要λi >0,就有arg(?λi)=π >0<α<1,從而系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的.至此,分?jǐn)?shù)階滑模面的存在性得證.