王天會(huì)

摘 ? 要：靜電平衡、靜電感應(yīng)和靜電屏蔽本質(zhì)上是一類問題，都是導(dǎo)體達(dá)到靜電平衡的問題。然而，這類問題無論是在高中還是在大學(xué)物理教學(xué)中都很難講清楚，通常讓學(xué)生越聽越糊涂。筆者經(jīng)過長(zhǎng)期的思考，總結(jié)了學(xué)生糊涂的地方，并嘗試給出了理論解釋。文章分為兩部分，羅列出了解決這類問題所需要的理論知識(shí)，并利用所列知識(shí)講解了若干典例。

關(guān)鍵詞：靜電平衡;靜電屏蔽;靜電感應(yīng);空腔導(dǎo)體;唯一性定理;細(xì)導(dǎo)線

中圖分類號(hào)：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A ? ?文章編號(hào)：1003-6148（2020）2-0061-4

1 ? ?高中知識(shí)

同種電荷相互排斥，異種電荷相互吸引;

正電荷從高電勢(shì)走向低電勢(shì);

導(dǎo)體內(nèi)部場(chǎng)強(qiáng)處處為零，導(dǎo)體是等勢(shì)體，導(dǎo)體表面是等勢(shì)面，導(dǎo)體表面場(chǎng)強(qiáng)垂直于導(dǎo)體表面;

達(dá)到靜電平衡的導(dǎo)體電荷只能分布在導(dǎo)體表面;

在導(dǎo)體外部，緊靠導(dǎo)體表面的點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度與導(dǎo)體表面垂直，電場(chǎng)強(qiáng)度大小與導(dǎo)體表面對(duì)應(yīng)點(diǎn)的電荷面密度成正比，尖端電荷密度大。

2 ? ?電場(chǎng)線的兩個(gè)基本性質(zhì)及證明[1]

性質(zhì)一：發(fā)自正點(diǎn)電荷q（以及止于負(fù)點(diǎn)電荷q）的場(chǎng)線條數(shù)正比于q。

性質(zhì)二：電勢(shì)沿電場(chǎng)線不斷減小，電場(chǎng)線不構(gòu)成閉合曲線。

（1）繪制電場(chǎng)線圖的附加規(guī)定

為了使場(chǎng)線圖能表現(xiàn)E的大小，人們特別約定，穿過電場(chǎng)中任一面元ΔS的場(chǎng)線條數(shù)正比于該面元的電通量，即

穿過ΔS的場(chǎng)線數(shù)=KE·ΔS

其中，K（K>0）為事先選定的比例常數(shù)，K值越大描寫越準(zhǔn)確。只要遵守這一規(guī)定，必有場(chǎng)線密度=KE，其中場(chǎng)線密度為穿過單位面元的場(chǎng)線條數(shù)。

可見，只要在繪制場(chǎng)線圖時(shí)遵守附加規(guī)定，場(chǎng)線的疏密就能描寫E的大小E。

（2）性質(zhì)一的證明

以任意場(chǎng)點(diǎn)P為心作小球面S，設(shè)S面的電通量是Φ，從S面穿出的場(chǎng)線條數(shù)為N，則由附加規(guī)定可知N=KΦ

另一方面，對(duì)球面S使用高斯定理又得Φ= q ，其中q 是S面內(nèi)的電荷。

以上兩式結(jié)合便有N= q （性質(zhì)一得證）

（3）反證法證明性質(zhì)二

安培環(huán)路定理 ?E·dl=0

設(shè)有一條電場(chǎng)線構(gòu)成閉合曲線，沿這曲線計(jì)算積分 ?E·dl時(shí)，因每點(diǎn)的切線方向（即dl方向）與電場(chǎng)強(qiáng)度方向相同，E·dl=Edl>0，故 E·dl>0，與環(huán)路定理矛盾?？梢姡妶?chǎng)線不能構(gòu)成閉合曲線。

3 ? ?靜電唯一性定理

只要每個(gè)導(dǎo)體的電荷（或電勢(shì)）被事先指定，靜電場(chǎng)就能被唯一決定。靜電唯一性定理保證了靜電現(xiàn)象結(jié)果的唯一性。

在導(dǎo)體表面取一個(gè)高斯面，易得E=

上式告訴我們當(dāng)導(dǎo)體表面電場(chǎng)被唯一確定時(shí)，表面的電荷分布也被唯一確定了;電場(chǎng)強(qiáng)度大小與導(dǎo)體表面對(duì)應(yīng)點(diǎn)的電荷面密度成正比。

唯一性定理的兩個(gè)推論：

推論一：

外屏蔽：殼內(nèi)電場(chǎng)不受殼外電荷的影響;

內(nèi)屏蔽：接地球殼保證殼外電場(chǎng)不受殼內(nèi)電荷的影響。

推論二：殼內(nèi)表面電荷和殼內(nèi)電荷在殼內(nèi)壁之外任意一點(diǎn)的合電場(chǎng)為零，殼外表面電荷和殼外電荷在殼外壁之內(nèi)任意一點(diǎn)合電場(chǎng)為零。

導(dǎo)體上的電荷和電勢(shì)不是獨(dú)立的，不可能在已經(jīng)指定導(dǎo)體電荷的情況下還能同時(shí)指定導(dǎo)體上的電勢(shì)，也不可能在已經(jīng)指定導(dǎo)體電勢(shì)的情況下還能同時(shí)指定導(dǎo)體上的電荷[2]。

4 ? ?兩個(gè)理想化模型

細(xì)導(dǎo)線模型：把導(dǎo)線連接的兩球看作一個(gè)孤立的導(dǎo)體，導(dǎo)線自然也是這一孤立導(dǎo)體的一部分，其表面也應(yīng)存在電荷。

然而直觀地想，只要導(dǎo)線足夠細(xì)，這一影響就可以忽略，連接兩個(gè)導(dǎo)體的細(xì)導(dǎo)線的唯一作用是使導(dǎo)體間可以交換電荷直至等勢(shì)，一旦達(dá)到等勢(shì)，導(dǎo)線就不再有任何影響。此時(shí)撤去導(dǎo)線，導(dǎo)體電荷的分布（導(dǎo)體內(nèi)外的靜電場(chǎng)）不會(huì)有任何變化[3]。

理想化地球模型（大地與無窮遠(yuǎn)等勢(shì)）：實(shí)測(cè)表明地球表面帶負(fù)電，總電荷達(dá)到Q≈-4×105 C，在地面造成的靜電場(chǎng)強(qiáng)度達(dá)到100 V/m[4]。在室內(nèi)，由于墻壁的屏蔽作用，室內(nèi)近似有V =V =0;而在室外，事實(shí)上只有當(dāng)我們所研究的導(dǎo)體帶電量足夠大，以至于它在地球表面產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)遠(yuǎn)大于100 V/m時(shí)，才可以忽略地球帶電，此時(shí)近似有V =V =0。

然而，忽略上述的應(yīng)用條件有兩個(gè)好處：一方面，它可以適用于某些特殊情況;另一方面，可以簡(jiǎn)化問題、方便教學(xué)，以利于腦力鍛煉。

5 ? ?典例分析

例1 導(dǎo)體B接地，如圖1（無論是近端接地還是遠(yuǎn)端接地），B上任何位置都無正電荷分布。

證明 若B上某點(diǎn)分布有正電荷，則它所發(fā)出的電場(chǎng)線只能延伸至無窮遠(yuǎn)，故VB>V 。另一方面，B接地導(dǎo)致VB=V =V ，與VB>V 矛盾，故B上任何一點(diǎn)無正電荷。

評(píng)論 中學(xué)階段在分析此題時(shí)往往是混淆不清的，圖1（a）的結(jié)果是清晰的，可用靜電感應(yīng)解釋，導(dǎo)體近端帶負(fù)電，遠(yuǎn)端帶正點(diǎn)。圖1（b）遠(yuǎn)端接地，近端帶負(fù)點(diǎn)，所有正電荷進(jìn)入大地。然而，把導(dǎo)線近端接地的問題，引起了很多老師的爭(zhēng)論。有人說遠(yuǎn)端的正電荷本來就受到近端負(fù)電荷的吸引，現(xiàn)在近端又有接地線，自然會(huì)流到近端并沿導(dǎo)線進(jìn)入大地。有人說它流向近端時(shí)會(huì)受到施感電荷q的排斥，因而不會(huì)流到近端。還有人用正電荷流向電勢(shì)低的地方來解釋，遠(yuǎn)端剛接地時(shí)，遠(yuǎn)端電勢(shì)高于地的電勢(shì)，所以正電荷沿線入地;近端接地時(shí)，正電荷要沿線入地就要先走到近端，但遠(yuǎn)、近端原本電勢(shì)是相等的，正電荷怎能走向近端。無論是從“異性相吸”的角度或者是“正電荷從高電勢(shì)走向低電勢(shì)”的角度，在解釋近端接地時(shí)都感到矛盾重重。

在這里筆者用唯一性定理說明，近端接地和遠(yuǎn)端接地是等價(jià)的。無論是近端接地或是遠(yuǎn)端接地，本質(zhì)上都是指定了導(dǎo)體表面的電勢(shì)，導(dǎo)體表面的電勢(shì)條件和導(dǎo)體外的施感電荷一起構(gòu)成了混合邊界條件，唯一確定了導(dǎo)體外空間的電場(chǎng)，導(dǎo)體表面的電荷分布也是唯一確定的。因此，唯一性定理給這類題指明了方向，我們不應(yīng)該追求電荷移動(dòng)這種“動(dòng)態(tài)分析”的方式，而應(yīng)該應(yīng)用唯一性定理進(jìn)行“靜態(tài)分析”。

例2 如圖2所示，兩個(gè)相同的空心金屬球M和N，M帶電荷量為-Q， N不帶電（M、N相距很遠(yuǎn)，互不影響），旁邊各放一個(gè)不帶電的金屬球P和R，當(dāng)將帶正電Q的小球O分別放入M和N的空腔中時(shí)（ ? ? ）

A.P、R上均出現(xiàn)感應(yīng)電荷

B.P、R上均沒有感應(yīng)電荷

C.P上有而R上沒有感應(yīng)電荷

D.P上沒有而R上有感應(yīng)電荷

解答 根據(jù)電場(chǎng)線性質(zhì)一，小球O發(fā)出的電場(chǎng)線條數(shù)正比于Q，這些電場(chǎng)線既不能在無電荷處中斷，又不能穿過導(dǎo)體球殼，就只能終止于球殼內(nèi)壁，故殼內(nèi)壁的總電荷為-Q。 不管球殼本身帶多少電荷，總之球殼內(nèi)壁的電荷一定是-Q。金屬球M原本帶電總量為-Q，計(jì)算可得金屬球M外殼帶電量為零，同理可得金屬球N外殼帶電為Q。根據(jù)唯一性定理的推論二可以知道，球殼內(nèi)部電荷和球殼內(nèi)壁電荷對(duì)球外空間不產(chǎn)生影響，故只有金屬球外壁的電荷對(duì)球外空間產(chǎn)生影響。金屬球M外殼不帶電，金屬球P不會(huì)產(chǎn)生感應(yīng)電荷。金屬球N外壁帶正電，會(huì)使金屬球R產(chǎn)生感應(yīng)電荷。

評(píng)論 雖說電場(chǎng)線性質(zhì)一需要用到高斯定理才能推導(dǎo)出來，可是直接告訴學(xué)生電荷和電荷發(fā)出電場(chǎng)條數(shù)的關(guān)系，學(xué)生是可以接受的，而且可以利用這個(gè)性質(zhì)來推知空腔內(nèi)壁的電荷。

例3 ?如圖3所示，一帶正電的絕緣金屬球殼a，頂部開孔，有兩個(gè)帶正電的金屬球b、c用金屬導(dǎo)線連接，讓b球置于球殼a的空腔中與內(nèi)表面接觸后又提到如圖位置，c球放a球殼外離a球較遠(yuǎn)，待靜電平衡后，正確的說法是（ ? ? ）

解答 空腔內(nèi)部場(chǎng)強(qiáng)和電荷處處為零，那么移動(dòng)空腔內(nèi)部的導(dǎo)線和小球?qū)臻g電場(chǎng)不產(chǎn)生影響，可以把小球b和細(xì)導(dǎo)線貼著空腔內(nèi)壁，畫出下面的等效圖（圖4），小球b可以看作空腔內(nèi)壁的一部分，c球和球殼外壁相連構(gòu)成一個(gè)大導(dǎo)體，a空腔和c小球帶同種電荷，故本題選B選項(xiàng)。

評(píng)論 一些教輔資料在講解這個(gè)問題時(shí)都提到了要整體分析，可怎么整體分析資料中都沒有講清楚。筆者在經(jīng)過長(zhǎng)時(shí)間思考后得出了上述可行的解釋方式。在這里順便指出小球c通過導(dǎo)線和內(nèi)壁相連或是和外壁相連是等價(jià)的。

例4 ?靜電感應(yīng)和靜電起電的演示實(shí)驗(yàn)（圖5）。將帶電體靠近靜電計(jì)棒的小球[圖5（a）]，指針偏轉(zhuǎn);將靜電計(jì)棒接地，指針下垂[圖5（b）];撤去棒的接地線，指針仍不動(dòng)[圖5（c）];移去帶電體，指針又復(fù)偏轉(zhuǎn)[圖5（d）]。請(qǐng)說明每一步的道理。

例5 ?用一根跟毛皮摩擦過的硬橡膠棒，靠近不帶電驗(yàn)電器的金屬小球a（圖6），然后用手指瞬間接觸一下金屬桿c后拿開橡膠棒，這時(shí)驗(yàn)電器小球a和金箔b的帶電情況是（ ? ? ?）

解答 用毛皮摩擦過的橡膠棒帶負(fù)電，驗(yàn)電器的金屬球感應(yīng)出正電荷，指針上感應(yīng)出負(fù)電。手指接觸金屬棒后和大地等勢(shì)，指針上就不能存在負(fù)電荷了。假設(shè)存在，從無窮遠(yuǎn)發(fā)出終止于負(fù)電荷會(huì)推出指針電勢(shì)小于零，和接地矛盾。移開橡膠棒后，金屬球和指針這個(gè)整體帶正電，因此指針和金屬球都帶正電，本題選C選項(xiàng)。

評(píng)論 本例和例4類似，之所以單獨(dú)拿出來講，是因?yàn)楸纠v筆者對(duì)“手指接觸導(dǎo)體”的理解。手指瞬間接觸一下金屬桿c是什么含義，有些老師認(rèn)為人相當(dāng)于接地導(dǎo)線。筆者倍感疑惑，把普通導(dǎo)線看作細(xì)導(dǎo)線模型是可以理解的，而把人體看作細(xì)導(dǎo)線模型筆者就難以接受了。經(jīng)過長(zhǎng)時(shí)間的思索，筆者發(fā)現(xiàn)完全可以避免人體作為導(dǎo)線這個(gè)說法，因?yàn)槿梭w與大地是等勢(shì)的，手指接觸金屬棒相當(dāng)于金屬棒直接接地，從而舍棄了人體作為導(dǎo)線這種講法。筆者注意到這一類題目往往在手指接觸金屬棒的前面加了“瞬間”二字，給人的感覺似乎是如果手指長(zhǎng)時(shí)間接觸金屬棒結(jié)果就不一樣了，或者說命題人的潛意識(shí)認(rèn)為長(zhǎng)時(shí)間接觸金屬棒電會(huì)被放掉。我們知道導(dǎo)體達(dá)到靜電平衡的過程是很快的，大概在10-19這個(gè)量級(jí)[5]。在這里筆者借助唯一性定理說明瞬時(shí)接觸和長(zhǎng)時(shí)間接觸是等價(jià)的，導(dǎo)體表面的電勢(shì)條件和導(dǎo)體外的施感電荷一起構(gòu)成了混合邊界條件，唯一確定了導(dǎo)體外空間的電場(chǎng)，導(dǎo)體表面的電荷分布也是唯一確定的。唯一性定理給我們的條件從來就沒有提到過時(shí)間。

例6 ?如圖7所示，一個(gè)帶正電的金屬球殼A內(nèi)部有一不帶電的金屬球B，現(xiàn)將小球B接地，證明小球B帶負(fù)電。

證明 接地后的小球B和大地等勢(shì)，而球殼A帶正電，電勢(shì)為正，則電場(chǎng)線由球殼內(nèi)壁指向金屬球B，電場(chǎng)線從正電荷出發(fā)終止于負(fù)電荷，因此球殼內(nèi)壁帶正電，金屬球B帶負(fù)電。

評(píng)論 本例特殊在接地后空腔內(nèi)表面和外表面都帶正電。

6 ? ?結(jié) ? 語

通過上述的分析，可以知道定性解決靜電問題的法寶是唯一性定理和電場(chǎng)線的兩個(gè)性質(zhì)。本文旨在總結(jié)靜電現(xiàn)象所涉及到的原理，難免有不足之處，還請(qǐng)各位專家批評(píng)指正。

參考文獻(xiàn)：

[1]梁燦彬，秦光戎，梁竹健.電磁學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2018：20-23.

[2]郭碩鴻.電動(dòng)力學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2008：45-46.

[3]費(fèi)恩曼，萊頓，桑茲. 費(fèi)曼物理學(xué)講義第二卷[M].上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，2013：80.

[4]費(fèi)恩曼，萊頓，桑茲. 費(fèi)曼物理學(xué)講義第二卷[M].上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，2013：109-110.

[5]梁燦彬，曹周健，陳步陶. 電磁學(xué)（拓展篇）[M].北京：高等教育出版社，2018：39.（欄目編輯 ? ?羅琬華）