林府標 張千宏

摘要：探求一類群體平衡方程的顯式精確解.首先將群體平衡方程轉(zhuǎn)化成偏微分方程，利用經(jīng)典李群分析法獲得了偏微分方程的對稱，進而得到了群體平衡方程的對稱、最優(yōu)化子李代數(shù)系統(tǒng)、約化的常微分一積分方程、群不變解及精確解.其次采用試探函數(shù)法找到了約化的常微分一積分方程的部分精確解，最后得到了群體平衡方程的部分顯式精確解.

關鍵詞：群體平衡方程;李群分析法;試探函數(shù)法;群不變解;精確解

中圖分類號：0175.5; 0175.6

文獻標志碼：A

DOI： 10.3969/j.issn.1000-5641.201911008

0 引言

群體平衡方程可用于描述許多實際的自然實體或化學過程，如礦石或固體的粉碎，高分子的聚合，云的形成，細胞動力學行為等[1-6].固體材料的破碎、粉碎、尺寸減縮就是微粒系統(tǒng)中粒子的破損過程.細胞的二等分裂方式就是細菌種群的繁殖生長和破損過程.研究微生物種群動力學行為過程的群體平衡方程[1]可以寫成

在實際工業(yè)應用領域中最主要的困難不是如何建立一個實體破損過程模型，而常常是沒有精確求解這些實體模型的技術(shù)和方法，除非采用數(shù)值解法[1-7].為了精確描述、解釋、理解和應用某些實體模型，探求偏微分方程、積分一偏微分方程的精確解以及研究精確求解技術(shù)是有實際研究價值和應用意義的[8-9].

群體平衡方程[1]是既含偏微分項又含多種類型的強非線性積分項以及代數(shù)方程項的積分一偏微分方程，要找到精確解一般都比較困難.極少數(shù)的群體平衡方程能通過某些變換轉(zhuǎn)化為常微分方程求解[10].為了豐富和發(fā)展精確求解群體平衡方程的理論和方法，探究更多的精確解和解析求解的新方法是有必要和具有實際研究意義的.雖然經(jīng)典李群分析法[11-16]不能直接用于群體平衡方程，但近年來改進了的李群分析法[17-181已被用于精確求解積分一偏微分方程、時滯微分方程和隨機微分方程[19-25].

經(jīng)典李群分析法[11-16]不能直接被用于探求積分一偏微分方程（1）和（2）的精確解.從微分代數(shù)的觀點來看，其主要障礙是變限積分項在可微函數(shù)向量空間沒有直接定義[14，15].因此，當把方程（1）和（2）的決定方程分解成超決定方程時，經(jīng)典李群分析法失效了.采用改進了的李群分析法[17-18]尋找積分一偏微分方程（1）和（2）的精確解的最大困難是寫出其決定方程和求解其決定方程，如何處理變限積分項是一個棘手的問題.

本文主要利用量綱分析法、試探函數(shù)法和經(jīng)典李群分析法[11-16]間接探求群體平衡方程（2）的顯式精確解，特別是滿足實際問題的顯式精確解，分析顯式精確解所滿足的邊界條件、柯西問題的初始條件以及細胞種群密度分布的動力學行為特性.希望找到的顯式精確解一方面可用于檢驗數(shù)值解的正確性和精確度，另一方面可為實體模型提供理論依據(jù)和參考.

1 因次分析和矩

許多具有實際應用背景的微分方程中往往帶有常數(shù)因子，這些常數(shù)因子在精確求解過程中有時非常繁瑣，既增加了計算量又不簡潔.為了精確求解的方便，可以利用量綱分析法[26-27]把這些常數(shù)因子歸一化，量綱分析法在科學和工程領域中有廣泛的應用.假設f=f（x，t）滿足方程（2），定義如下尺

2 方程（5）所接受的李群

經(jīng)典李群分析法[11-16]不能直接應用于積分一偏微分方程（5）.而利用改進了的李群分析法[17-18]研究方程（5）的對稱、群不變解和精確解，最主要的困難是寫出其決定方程和求解決定方程.積分一偏微分方程的決定方程仍然是積分一偏微分方程，其求解技術(shù)沒有普遍相對有效的規(guī)律可尋，而是依賴于原積分一偏微分方程的結(jié)構(gòu)、特征和性質(zhì)等，例如文獻[28-30]中群體平衡方程的決定方程的求解方法.文獻[28-30]中群體平衡方程的積分項的類型是正常積分和非正常積分，與方程（5）的變限積分項相比較，當用算子作用方程（5）時，變限積分項是最大的障礙，而要寫出其決定方程就是一個棘手的問題，更不要說求解決定方程.因此需要先把積分一偏微分方程（5）轉(zhuǎn)化為偏微分方程，于是可對方程（5）兩邊同時關于x求導，并令

5 結(jié) 論

量綱分析法對積分一偏微分方程中的常數(shù)歸一化的應用具有廣泛性.試探函數(shù)法和李群分析法都是精確求解非線性偏微分方程的行之有效方法，應用都具有普遍性.本文利用量綱分析法把一類群體平衡方程中的常數(shù)歸一化，然后把群體平衡方程轉(zhuǎn)化為非線性偏微分方程，應用經(jīng)典李群分析法獲得了非線性偏微分方程的完全對稱.進而找到了群體平衡方程的對稱、最優(yōu)化子李代數(shù)系統(tǒng)、約化方程以及群不變解.采用試探函數(shù)法求解約化方程，得到了群體平衡方程的部分顯式精確解，并分析了部分顯式精確解的動力學特性.

[參考文獻]

[1]

RAMKRISHNA D Population Balances： Theory and Applications to Particulate Systems in Engineering[M] San Diego： AcademicPress. 2000

[2] HUIBURT H M，KATZ S Some problems in particle technology：A statistical mechanical formulation [J]. Chemical EngineeringScience. 1964， 19（8）： 555-574. DOI： 10.1016/0009-2509（64）85047-8

[3]

RANDOIPH A D A population balance for countable entities [J] Canadian Journal of Chemical Engineering， 1964， 42（6）： 280-281 DOI： 10.1002/cjce.5450420612

[4]

RANDOIPH A D，LARSON M A Theory of Particulate Processes： Analysis and Techniques of Continuous Crystallization[M] 2nded San Diego： Academic Press， 1988

[5]

MUIIIN J W Crystallization[M]4th ed Oxford： Butterworth-Heinemann. 2001

[6] CAMERON I T，WANG F Y，IMMANUEL C D，et al_Process systems modelling and applications in granulation：A review[J]Chemical Engineering Science. 2005， 60（14）： 3723-3750 DOI： 10.1016/j.ces.2005.02.004

[7]

FIIBET F，LAURENCOT P Numerical simulation of the Smoluchowski coagulation equation[J] Society for Industrial& Applied Mathematics， 2003， 25（6）： 2004-2028

[8]

ZHANG N，XIA T C A new negative discrete hierarchy and its N-fold Darboux transformation[J] Communications in TheoreticalPhysics， 2017，68：687-692. DOI： 10.1088/0253-6102/68/6/687.

[9]

LI Q，XIA T C，YUE C Algebro-geometric solutions for the generalized nonlinear Schrodinger hierarchy[J] Journal of NonlinearScience& Applications， 2016，9 661-676

[10]

SCHUMANN T E W Theoretical aspects of the size distribution of fog particles[J] Quarterly Journal of the Royal MeteorologicalSociety， 1940， 66（285）： 195-208

[11] 田疇.李群及其在微分方程中的應用[M].北京：科學出版社，2001

[12]

BLUMAN G W， KUMEI S. Symmetries and Differential Equations [M]. Berlin： Springer， 1989.

[13]

OLVER J P. Applications of Lie Group to Differential Equation [M] . 2nd ed. New York： Springer， 1993.

[14]

OVSIANNIKOV L V. Group Analysis of Differential Equations [M]. New York： Academic Press， 1982.

[15]

IBRAGIMOV N H. Elementary Lie Group Analysis and Ordinary Differential Equations [M]. Chichester： John Wiley & Sons， 1999.

[16]

IBRAGIMOV N H. Transformation Groups and Lie Algebra [Ml. Beijing： Higher Education Press， 2013.

[17] MELESHKO S V. Methods for Constructing Exact Solutions of Partial Differential Equations： Mathematical and AnalyticalTechniques with Applications to Engineering [Ml. New York： Springer， 2005.

[18]

GRIGORIEV Y N， IBRAGIMOV N H. KOVALEV V F， et al. Symmetries of Integro-differential Equations： with Applications inMechanics and Plasma Physics [M]. New York： Springer， 2010.

[19]

ZHOU L Q， MELESHKO S V. Group analysis of integro-differential equations describing stress relaxation behavior of one-dimensionalviscoelastic materials [J]. International Journal of Non-Linear Mechanics， 2015. 77： 223-231. DOI： 10.1016/j .ijnonlinmec.2015.08.008.

[20]

ZHOU L Q， MELESHKO S V. Invariant and partially invariant solutions of integro-differential equations for linear thermoviscoelasticaging materials with memory [J]. Continuum Mechanics & Thermodynamics， 2017， 29（1）： 207-224.

[21]

ZHOU L Q， MELESHKO S V. Syrumetry groups of integro-differential equations for linear thermoviscoelastic materials with memory[J] . Journal of Applied Mechanics & Technical Physics， 2017， 58（4）： 587-609.

[22] SURIYAWICHITSERANEE A. GRIGORIEV Y N， MELESHKO S V. Group analysis of the Fourier transform of the spatiallyhomogeneous and isotropic Boltzmann equation with a source term [J]. Communications in Nonlinear Science & NumericalSimulation. 2015， 20（3）： 719-730.

[23]

GRIGOREV Y N， MELESHKO S V， SURIYAWICHITSERANEE A. Exact solutions of the Boltzmann equations with a source [J] .Journal of Applied Mechanics & Technical Physics， 2018， 59（2）： 189-196.

[24]

MKHIZE T G， GOVINDER K. MOYO S. et al. Linearization criteria for systems of two second-order stochastic ordinary differential equations [J]. Applied Mathematics & Computation， 2017， 301： 25-35.

[25] LONG F S， KARNBANJONG A， SURIYAWICHITSERANEE A. et al. Application of a Lie group admitted by a homogeneousequation for group classification of a corresponding inhomogeneous equation EJl . Communications in Nonlinear Science & NumericalSimulation. 2017， 48： 350-360.

[26]

BARENBLATT G I. Scaling， Self-similarity， and Intermediate Asymptotics [M]. Cambridge： Cambridge University Press， 1996.

[27]

LANGHAAR H L. Dimensional Analysis and Theory of Models [M]. New York： John Wiley and Sons. 1951.

[28]

LIN F B， FLOOD A E. MELESHKO S V. Exact solutions of population balance equation EJl . Communications in Nonlinear Science &eNumerical Simulation. 2016， 36： 378-390.

[29] LIN F B， MELESHKO S V， FLOOD A E. Symmetries of population balance equations for aggregation. breakage and growthprocesses EJl. Applied Mathematics and Computation， 2017， 307： 193-203. DOI： 10.1016/j.amc.2017.02.048.

[30]

LIN F B. MELESHKO S V. FLOOD A E. Exact solutions of the population balance equation including particle transport， using groupanalysis EJl. Communications in Nonlinear Science & Numerical Simulation， 2018， 59： 255-271.