周俊東

摘要：設(shè)M是雙曲空間中具有平行平均曲率的完備子流形，φ是M的無跡第二基本形式.本文證明了在子流形任意測地球上|φ|的L2模小于二次增長條件下，supx∈M |φ|2 （x）小于某常數(shù)或者|φ|的Ln模小于某常數(shù)時，M是全臍的，這一結(jié)果推廣了完備極小子流形的相關(guān)結(jié)果.

關(guān)鍵詞：雙曲空間;無跡第二基本形式;第一特征值

中圖分類號：0186.1

文獻標志碼：A

DOI： 10.3969/j.issn.1000-5641.201911009

0 引 言

著名的Bernstein定理指出R3中的完備極小圖一定是平面.Simons[l]，F(xiàn)leming[2]，De Giorgi[3]和Almgren[4]的工作告訴我們在R”（n≤7）中的完備極小圖一定是超平面.進一步，Bombieri，De Giorgi和Giusti[5]在n>7時給出Bernstein定理的反例.do Carmo和Peng[6]，F(xiàn)isher-Colbrie和Schoen[7]分別給出了Bernstein定理的推廣：R3中完備穩(wěn)定的極小曲面一定是平面.在高維的情況下，以上問題一直是懸而未決的.然而，do Carmo和Peng[8]證明了Rn+1中完備穩(wěn)定的極小超曲面在滿足條件模長.以上定理也有許多有趣的推廣，例如Zhu和Shen[9]證明了Rn+1（n≥3）中具有有限總曲率的完備穩(wěn)定極小超曲面一定是超平面.Wang[10]進一步把Zhu-Shen定理推廣到歐氏空間中極小子流形的情形.最近，Xia和Wang[11]研究了截面曲率為常數(shù)1的雙曲空間Hn+m（n≥5）中的完備極小子流形M，證明了在M的測地球上|h|的L2模小于二次增長條件下，supx∈M |h|2（X）小于某常數(shù)或者|h|的Ln模小于某常數(shù)時，M是全測地的.De Oliveira和Xiac[12]繼續(xù)研究了雙曲空間中的完備極小子流形，得出對于某個區(qū)域內(nèi)的常數(shù)d，在M的測地球上lhl的Ld模小于二次增長條件下，supx∈M |h|2（X）小于某常數(shù)或者|h|的Ln模小于某常數(shù)時，M是全測地的.

本文研究雙曲空間Hn+p中具有平行平均曲率的完備非緊子流形，得到此類子流形的一些剛性結(jié)果（定理2.1-2.3），這些結(jié)果是文獻[11]和[12]中相應(yīng)結(jié)果的推廣.

1 預(yù)備知識

我們對指標作如下約定：

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（責任編輯：林磊）