余平洋

(開封大學信息工程學院，河南 開封 475004)

一類非線性系統(tǒng)可以很好的描述應(yīng)用數(shù)學、物理學和力學中的許多控制問題，隨著控制理論技術(shù)的發(fā)展，需要通過穩(wěn)定性的非線性系統(tǒng)控制，結(jié)合模糊自適應(yīng)控制算法[1]，通過高次方程的優(yōu)化求解，與其它專家系統(tǒng)項結(jié)合，推動人工智能和信息化技術(shù)的發(fā)展。一類由對合Cauchy-Hadamard型微分方程構(gòu)成的非線性系統(tǒng)在實現(xiàn)計算智能和人工智能中具有較高的應(yīng)用價值[2-3]，通過研究非線性系統(tǒng)的平穩(wěn)周期穩(wěn)定解，構(gòu)建穩(wěn)定性的非線性控制模型，分析具有平穩(wěn)周期穩(wěn)定解的收斂性和穩(wěn)定性條件，為智能控制提供數(shù)學理論基礎(chǔ)。

1 一類非線性系統(tǒng)微分方程分析

采用對合Cauchy-Hadamard型微分方程進行一類非線性系統(tǒng)擬合和泛函性分析[4]，非線性對合Cauchy-Hadamard型微分控制方程定義為：

(1)

其中u:I×IRd→IR是是灰色離散性微分邊界函數(shù)，d≥4，0∈I?IR是邊界方程的離散域區(qū)間。討論對合Cauchy-Hadamard型微分方程的平衡點的穩(wěn)定性，設(shè)：

(2)

則映射u|→uλ將Cauchy-Hadamard型微分方程的平衡點的一個解映射為(1)的另一個解，在方程的邊界性約束條件下，滿足：

(3)

(4)

微分方程的解具有對合性特征，當sc>1(即d≥4)時，sc滿足雙邊界函數(shù)條件。

u(t)=w(t)(u0,u1)+

(5)

其中，F(xiàn)(u)=|u|4u。

定義微分方程正多解f:→R的α>0階的Laplace時空分叉微分為：

(6)

若α>0，u∈C(0,1)∩L(0,1) 采用Bochner-Riesz矩陣進行緊時間區(qū)間的變分結(jié)構(gòu)分解，滿足約束變量：

(7)

構(gòu)建Lyapunov泛函：

(8)

約束條件為ck=-c-k，若取q=4，b2=b-2=1,b1=b-1=2,b0=0，對任意的Bernoulli空間中的對合Cauchy-Hadamard型微分方程非線性系統(tǒng)，存在唯一的格林正多解：

u(t)=c1tα-1+c2tα-2+…+cNtα-N

(9)

其中：N為隨機穩(wěn)定凸時間序列的長度，取值要求為大于或等于α的整數(shù)。

如果穩(wěn)定點u∈C(0,1)∩L(0,1)，α>0，并且強尼凸函數(shù)的微分邊界條件滿足：

(10)

那么：

(11)

其中：ci∈R,i=1,2…N。

2 平穩(wěn)周期穩(wěn)定解微分逼近分析

在采用對合Cauchy-Hadamard型微分方程進行一類非線性系統(tǒng)的擬合和建模的基礎(chǔ)上，在齊次Sobolev空間中采用能量超臨界波動的廣義偽隨機特征分析方法進行非線性系統(tǒng)平穩(wěn)周期穩(wěn)定解的微分逼近[6]。

設(shè)I是緊時間區(qū)間，u:I×IRd→IR是下面波動方程

(12)

對合Cauchy-Hadamard型微分方程的二階矩波動算子為w(t)(u0,u1)=cos(t||)它表示的是平衡性邊界條件下線性波動條件為(u0,u1)時的平穩(wěn)周期穩(wěn)定解。在能量臨界情況下，采用灰色離散性邊界約束，判斷平衡點的Riesz基函數(shù)utt-Δu+|u|pu=0,(p>4)在IR3的規(guī)范正交基[7]，采用逐次逼近法求解Bergmann核，得到該類非線性系統(tǒng)在0<η≤η0緊時間區(qū)間內(nèi)的連續(xù)函數(shù)為：

(13)

(14)

記IRd上的二次有理逼近函數(shù)為：

(15)

對s≥0,平穩(wěn)周期穩(wěn)定解的微分的Sobolev空間定義為：

(16)

時空范數(shù)定義為:

(17)

設(shè)R(t)為實概率空間(Ω,F,f(x),P)中的有理積分，在正交空間I×IRd上的時空范數(shù)滿足如下邊值條件

(18)

其中：

h:Rn×Rn×S

δ(t):[0,T]→R

v(dt,du)=v(dt,du)-π(du)dt

(19)

對合Cauchy-Hadamard型微分方程有周期性穩(wěn)定解凸優(yōu)化條件組合描述為：

(ⅰ)C([a,b],R)為[a,b]在R中的連續(xù)函數(shù)，且滿足：

-τ<δ(t)

(20)

(ⅱ)初始值空間內(nèi)C([a,b],R)有上下邊界，且：

E|ζ(t)-ζ(s)|2

(21)

(ⅲ)在線性凸函數(shù)條件下，存在離散偏移狀態(tài)微分方程，滿足：

(22)

其中，?x1,x2,y1,y2∈R，通過微分逼近，對合Cauchy-Hadamard型微分方程非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定周期解的樣本軌跡{r,k=0,1,2,…}滿足增長條件：

(23)

同理，?x1,x2,y1,y2∈R，為了實現(xiàn)對Cauchy-Hadamard型微分方程平穩(wěn)周期穩(wěn)定解的微分逼近，引入下面著名的Sobolev不等式。

3 實驗結(jié)果分析

為了進一步驗證改進的穩(wěn)定性分析法在一類非線性系統(tǒng)中的有效性及可行性，進行仿真驗證分析。

在馬爾尼數(shù)鏈中采用五次波動方程進行平穩(wěn)周期穩(wěn)定解的Lyapunove泛函，可以得到：

(26)

(27)

在穩(wěn)定凸函數(shù)控制下的非線性系統(tǒng)平穩(wěn)周期穩(wěn)定解的離散近似解為：

(28)

其中ΔB=B(tn-1)+B(t1);I[u]為馬爾尼數(shù)鏈實整數(shù)，通過二階矩控制進行對合Cauchy-Hadamard型非線性微分方程的二階矩求導，得到

Z(t)=∑Ixy(t)X(kΔ)=

∑Ixy(t)X((kΔ)[δ(k)])

(29)

R(t)=∑∑Ixy(t)X(kΔ)rt

(30)

在非確定條件對合Cauchy-Hadamard型非線性系統(tǒng)的非線性平穩(wěn)周期穩(wěn)定解的最終近似解為：

(31)

求得具有平穩(wěn)周期穩(wěn)定解的收斂性條件，在馬爾尼數(shù)鏈中采用五次波動方程進行平穩(wěn)周期穩(wěn)定解的Lyapunove泛函，得到：

(32)

由于f(x)是對合Cauchy-Hadamard型非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定凸函數(shù)，所以：

(33)

進而得：

(34)

求得具有平穩(wěn)周期穩(wěn)定解的收斂性條件，最后進行了平穩(wěn)周期解的穩(wěn)定性和漸進收斂性證明。

通過以上以計算得到穩(wěn)定凸函數(shù)確定下，對應(yīng)的E[·]，從而利用仿真驗證法繪制出1/E[·]，如圖1所示：

4 結(jié)束語

本文分析一類由對合Cauchy-Hadamard型微分方程構(gòu)成的非線性系統(tǒng)的平穩(wěn)周期穩(wěn)定解，采用對合Cauchy-Hadamard型非線性方程進行非線性系統(tǒng)的模型構(gòu)建，在馬爾尼數(shù)鏈中采用五次波動方程進行平穩(wěn)周期穩(wěn)定解的Lyapunove泛函，求得具有平穩(wěn)周期穩(wěn)定解的收斂性條件，并進行穩(wěn)定性實驗分析，分析結(jié)果對提高非線性控制系統(tǒng)的參數(shù)自整定性和控制穩(wěn)定性具有數(shù)學理論基礎(chǔ)意義，在穩(wěn)定性控制中能有效滿足需求，具有較高的應(yīng)用價值。