北京航空航天大學(xué) 電子信息工程學(xué)院, 北京 100191

由于深空通信的距離遠(yuǎn)，通信目標(biāo)運(yùn)動(dòng)速度快，接收信號(hào)具有極低的載噪比和較高的多普勒動(dòng)態(tài)[1], 載波跟蹤是信號(hào)接收的重難點(diǎn)問題。傳統(tǒng)二階鎖頻環(huán)輔助三階鎖相環(huán)[2](FLL-PLL)環(huán)路帶寬固定，因此方法在深空通信環(huán)境中受到限制。為此現(xiàn)代學(xué)者提出兩種方法：

1)根據(jù)載波跟蹤結(jié)果實(shí)時(shí)控制環(huán)路濾波器參數(shù)，達(dá)到變帶寬目的[3]。其優(yōu)點(diǎn)是易于實(shí)現(xiàn)，多應(yīng)用于近距離衛(wèi)星通信，導(dǎo)航接收機(jī)當(dāng)中。但其本質(zhì)仍是低信噪高動(dòng)態(tài)的折中選擇，無法同時(shí)滿足二者需求。

2)使用現(xiàn)代濾波方法。區(qū)別于傳統(tǒng)濾波方法，現(xiàn)代濾波本質(zhì)上使用數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)規(guī)律對(duì)狀態(tài)量進(jìn)行某種條件下的最優(yōu)估計(jì)，例如傳統(tǒng)卡爾曼濾波(KF)[4]、擴(kuò)展卡爾曼濾波(EKF)[5]，也有少量探討了無跡卡爾曼濾波(UKF)[6]、容積卡爾曼濾波(CKF)在跟蹤環(huán)路中的應(yīng)用。但鮮有學(xué)者從眾多濾波方法的原理上進(jìn)行對(duì)比分析。

本文從理論上分析了這些方法并在此基礎(chǔ)上提出了新型載波環(huán)路，通過計(jì)算判別結(jié)構(gòu)控制環(huán)路輸出，同時(shí)完成了野值剔除功能。

1 載波跟蹤環(huán)路結(jié)構(gòu)

設(shè)載波跟蹤環(huán)路中的輸入信號(hào)為BPSK調(diào)制信號(hào)：

s(n)=Ab(n)cos (ωinTs+θi)

(1)

式中：A為信號(hào)幅度；b(n)為信息比特；Ts為采樣間隔；ωi和θi分別為輸入信號(hào)的中頻頻率和初始相位。 輸入信號(hào)與本地?cái)?shù)控振蕩器(NCO)復(fù)現(xiàn)頻率相乘后濾除高頻分量，經(jīng)T=NTs時(shí)間的相干積分，可得兩路正交信號(hào)：

(2)

(3)

式中：Δω和Δθ分別為輸入信號(hào)與NCO的頻率、相位差；tk-1為前一積分時(shí)刻。

在載波跟蹤中使用鎖頻環(huán)是必要的，目的是更快地進(jìn)行頻率牽引，為后續(xù)環(huán)路尤其是迭代濾波提供有效的狀態(tài)初值，常用自動(dòng)頻率牽引(AFC)算法[7]。點(diǎn)積Pdot，叉積Pcross的定義如下：

Pdot=I(k-1)I(k)+Q(k-1)Q(k)

(4)

Pcross=I(k-1)Q(k)-Q(k-1)I(k)

(5)

利用四象限反正切函數(shù)可得鑒頻，鑒相誤差：

Δω=arctan 2(Pcross/Pdot)/T

(6)

Δθ=arctan [(Q(k)/I(k)]

(7)

本文提出的新型載波環(huán)路如圖1所示，在通常的低信噪比高動(dòng)態(tài)環(huán)境下，使用強(qiáng)跟蹤KF算法進(jìn)行跟蹤，KF算法解決了動(dòng)態(tài)性和跟蹤精度的矛盾問題，強(qiáng)跟蹤算法在一定程度上修正了算法模型的不準(zhǔn)確，增強(qiáng)算法的魯棒性。而在更低的信噪比下使用非線性濾波即強(qiáng)跟蹤UKF算法。FLL為環(huán)路提供初牽引。三者的切換由計(jì)算判別結(jié)構(gòu)控制，該結(jié)構(gòu)控制著環(huán)路輸出，使開關(guān)平滑，提高了精度，同時(shí)在不浪費(fèi)計(jì)算力的情況下剔除野值，加快了環(huán)路收斂速度，增強(qiáng)了環(huán)路穩(wěn)定性。

圖1 載波跟蹤環(huán)路結(jié)構(gòu)Fig.1 Carrier tracking loop structure

2 濾波方法的分析與設(shè)計(jì)

2.1 濾波模型理論分析與選擇

載波跟蹤環(huán)路基本的非線性模型如下：

(8)

式中：xk和zk分別為第k時(shí)刻的狀態(tài)向量和觀測(cè)向量；h為量測(cè)方程；f為狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程；W為高斯?fàn)顟B(tài)轉(zhuǎn)移噪聲向量，其協(xié)方差矩陣為Q；V為高斯觀測(cè)噪聲向量，其協(xié)方差為R。

(1)狀態(tài)模型

顯而易見宇航器的完整的非線性運(yùn)動(dòng)方程f未知，其概率分布密度也不可預(yù)測(cè)。因此最大似然估計(jì)、EKF、UKF、CKF、粒子濾波(PF)等非線性濾波方法皆無法對(duì)未知的非線性狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程使用，為此只能近似化狀態(tài)方程[8]。設(shè)在載波跟蹤中的n維載波狀態(tài)量為：

x=[Δθ,Δθ(1),Δθ(2),…,Δθ(n-1)]T

(9)

式中：Δθ為相位差；Δθ(1)為相位1階導(dǎo)，即頻率差Δω，相位n-1階導(dǎo)Δθ(n-1)即頻率Δω(速度信息)的n-2階導(dǎo)。在T時(shí)間內(nèi)做泰勒展開并舍棄n-1以后的高階項(xiàng)有：

(10)

因?yàn)樯釛壐唠A項(xiàng)，最高項(xiàng)Δθ(n-1)無法隨時(shí)間實(shí)時(shí)更新，默認(rèn)Δθ(n-1)前后時(shí)刻不變，即：

(11)

式(10) (11)聯(lián)立，有：

(12)

觀察式(12)，狀態(tài)方程模型此時(shí)為線性，在兩方面引入了誤差：一是Δθ的等式舍棄了n-1階后的高階項(xiàng)，二是在n-1階處，k時(shí)刻與k-1時(shí)刻前后相等。這意味著在極端條件下，如火星的進(jìn)入下降和著陸(EDL)過程，宇航器運(yùn)動(dòng)變化極其劇烈，Δθ不再準(zhǔn)確，Δθ(n-1)不能及時(shí)更新，有可能使環(huán)路發(fā)散。這是以有窮列舉無窮所導(dǎo)致的必然?，F(xiàn)給出如下推論。

推論1：在高信噪比及系統(tǒng)模型、噪聲模型準(zhǔn)確的情況下，狀態(tài)量維數(shù)n決定了在高動(dòng)態(tài)條件下的載波跟蹤能力。圖6佐證了這一點(diǎn)?，F(xiàn)代濾波使用的一大掣肘即是量測(cè)方程固定，即式(12)框架上。

(2)量測(cè)模型

載波跟蹤中量測(cè)方程與環(huán)路結(jié)構(gòu)有關(guān)，當(dāng)環(huán)路中存在鑒相器時(shí)，觀測(cè)變量只有1維為鑒相結(jié)果θerr(T)，在T內(nèi)的平均鑒相結(jié)果有：

(13)

觀察式(13)，此時(shí)量測(cè)方程為線性。當(dāng)環(huán)路不存在鑒相器時(shí)，直接觀測(cè)I(k)，Q(k)。由于Δω近似為0，有：

(14)

為去除數(shù)據(jù)位b(k)取±1的影響，通常使用平方法或比特翻轉(zhuǎn)法[9]，可統(tǒng)一表達(dá)為 :

(15)

式中：K1，K2為消除b(k)后的常系數(shù)，由于對(duì)稱性一般二者相等；L1，L2為線性函數(shù)，考慮到式(14)的對(duì)稱性，一般二者相等。此時(shí)的量測(cè)方程h(x)為非線性。鑒相計(jì)算是一種非線性計(jì)算(如乘法，反正切法)，直接觀測(cè)避免了鑒相引入的非線性噪聲誤差，同時(shí)較完整地直接地描述了含噪聲的非線性量測(cè)方程，所以給出下面的推論。

推論2：非線性濾波的使用只針對(duì)量測(cè)方程的非線性，與狀態(tài)方程的非線性無關(guān)。在相同狀態(tài)模型、噪聲模型下，量測(cè)方程的選擇影響在低信噪比情況下的載波跟蹤能力。

2.2 算法選擇與具體設(shè)計(jì)

考慮到推論1，非線性濾波計(jì)算量大，KF方法在工程上已經(jīng)得到較好的應(yīng)用，本文在較高信噪比的情況下使用KF。在低信噪比時(shí)，考慮到UKF在計(jì)算量與準(zhǔn)確性上較EKF優(yōu)越，與UKF相比，CKF在低維時(shí)無明顯優(yōu)勢(shì)，PF計(jì)算量巨大且存在粒子退化現(xiàn)象，本文在低信噪比的情況下使用UKF。

使用KF時(shí)代入方程(12)(13)，在T內(nèi)有狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程與觀測(cè)方程：

(16)

(17)

(18)

(19)

式中：n為矩陣維度，本文即4；α為比例縮放因子，決定了 sigma 點(diǎn)到均值的距離，取值范圍在(10-4,1)；k為第二比例系數(shù)，影響二階以后的高階矩帶來的偏差，本文取0；β與狀態(tài)先驗(yàn)分布有關(guān)，影響協(xié)方差精度，在高斯分布下β=2最優(yōu)。

(20)

(21)

(22)

為增強(qiáng)算法魯棒性，消除線性化狀態(tài)方程及噪聲模型不準(zhǔn)確帶來的誤差，必須引入強(qiáng)跟蹤算法(STF)。強(qiáng)跟蹤算法的核心思想是利用KF的正交性原理[12]，即：

(23)

式中：ηk為新息序列，理想情況下卡爾曼濾波新息序列正交；λk為漸消因子，嵌入一步預(yù)測(cè)誤差協(xié)方差矩陣Pk/k-1，從而調(diào)整增益矩陣Kk，強(qiáng)迫新息正交[13]。

在KF中有：

(24)

Pk/k-1得到修正：

Pk/k-1=λkAPkAT+Qk-1

(25)

在UKF中有：

(26)

(27)

至此,卡爾曼濾波輔助的鎖相環(huán)(KAPLL)算法構(gòu)建完畢。

3 環(huán)路的3種工作模式與切換條件

設(shè)定FLL工作時(shí)為狀態(tài)A，KF工作時(shí)為狀態(tài)B，UKF工作狀態(tài)為C。整個(gè)環(huán)路模式切換如2圖所示。

圖2 工作模式示意Fig.2 Working mode switching

本文提出的新型環(huán)路增加了一個(gè)計(jì)算判別模塊控制3種模式轉(zhuǎn)換，考慮到復(fù)雜度與環(huán)路鎖定速度，該模塊內(nèi)的算法應(yīng)盡量簡(jiǎn)單，以求和運(yùn)算、條件判斷為主，盡量避免出現(xiàn)乘法、指數(shù)運(yùn)算及循環(huán)。計(jì)算判別模塊有3大功能：存儲(chǔ)，計(jì)算，判別。該模塊存儲(chǔ)FLL的鑒頻輸出與 KAPLL的鑒相輸出。求出FLL與 KAPLL最近L，M個(gè)輸出均值：

(28)

L是鑒頻誤差累加個(gè)數(shù)。

(29)

M是鑒相誤差累加個(gè)數(shù)。本文仿真中，L，M都取20。K小于L，M時(shí)，不進(jìn)行計(jì)算與判別。

3.1 工作狀態(tài)切換

當(dāng)

m(k)

(30)

且

abs{[a·n(k)-m(k)]/m(k)}

(31)

式中：P為閾值；a為NCO的相位-頻率轉(zhuǎn)換系數(shù)；p本文取20%。式(30) (31)目的是為了消除開關(guān)硬切換時(shí)的峰值，當(dāng)m(k)與n(k)控制的NCO本地頻率相差較近A向B或C轉(zhuǎn)換。

當(dāng)

n(k)>Q

(32)

說明鑒相誤差高于閾值Q，B或C向A切換。

UKF與KF迭代框架相同，都是以協(xié)方差矩陣調(diào)整增益矩陣的卡爾曼形式，因此B，C之間硬切換平滑，其切換門限由輸入信號(hào)的載噪比CNR決定。CNR信息是衛(wèi)星通信中的重要輔助信息，其工程應(yīng)用成熟，一般在相干積分過程中即可完成估計(jì)，常用的方法是方差和方法(VSM)與功率比方法(PRM)[14]。

3.2 野值剔除

為了不浪費(fèi)式(27) (28)的計(jì)算結(jié)果，可通過添加簡(jiǎn)單的判別，有效地剔除野值。若鑒頻誤差Δω(k)突然變得極大，是上一時(shí)刻FLL鑒頻誤差均值m(k-1)的q倍時(shí)，即可認(rèn)定該值為野值，并修正為Δωnew(k),即

Δω(k)>q·m(k-1)

(33)

Δωnew(k)=m(k-1)

(34)

需要注意的是，當(dāng)上一時(shí)刻為修正值Δωnew(k-1)時(shí)，當(dāng)前時(shí)刻鑒頻誤差Δω(k)禁止修正，以防錯(cuò)誤蔓延。

野值剔除通常應(yīng)用于FLL與KF當(dāng)中，因?yàn)閁KF中野值與失鎖時(shí)的值較難區(qū)分。剔除野值的好處有兩點(diǎn)，一是加快環(huán)路鎖定速度，二是保證環(huán)路的穩(wěn)定性。

綜合前文所討論計(jì)算判別器的功能，圖3給出了其主程序算法流程。

圖3 主程序算法流程Fig.3 Main program algorithm flow chart

4 仿真校驗(yàn)

載波頻率為GPS的L1，f=1 575.42 MHz，中頻頻率不影響仿真，設(shè)信號(hào)中頻為1 MHz采樣頻率為8 MHz，積分時(shí)間T為1 ms。傳統(tǒng)3階鎖相環(huán)環(huán)路帶寬取47 Hz，信號(hào)載噪比很低時(shí)取25 dB·Hz，高時(shí)取50 dB·Hz。根據(jù)美國(guó)噴氣推進(jìn)實(shí)驗(yàn)室(JPL) 設(shè)計(jì)的高動(dòng)態(tài)模型[15]，初始速度v=100 m/s，加速度為25gn，加加速度為100gn/s，可得多普勒頻率，多普勒加速度，多普勒加加速度為：

(35)

式中：gn=9.8 m/s2;c=299 792 458 m/s。

傳統(tǒng)的3階鎖相環(huán)無法跟蹤載噪比為25 dB·Hz的高動(dòng)態(tài)模型。在500 ms處突然加入-25gn/s的加加速度。如圖4所示，在四維狀態(tài)模型下，加加速度無法實(shí)時(shí)精確跟蹤，明顯觀察到KF已然發(fā)散，強(qiáng)跟蹤UKF能最快回歸收斂。

圖4 低載噪比高動(dòng)態(tài)信號(hào)載波跟蹤曲線Fig.4 Low CNR high dynamic signal carrier tracking

為對(duì)比在低信噪比時(shí)的性能，令輸入信號(hào)載噪比為25 dB·Hz，排除高動(dòng)態(tài)的影響，跟蹤目標(biāo)只存在恒定速度。其跟蹤頻率誤差如圖5所示，圖5(b)由圖5(a)去除最差方法后得到，更加直觀?？梢缘贸?，在低載噪比情況下，F(xiàn)LL-PLL明顯最差，誤差最高，KF次之，KAPLL與EKF明顯較好，且KAPLL稍優(yōu)于EKF。

圖5 低載噪比信號(hào)載波跟蹤誤差Fig.5 Low CNR signal carrier tracking error

為對(duì)比算法在高動(dòng)態(tài)時(shí)的跟蹤性能，排除低信噪比的影響，令輸入信號(hào)載噪比為50 dB·Hz，跟蹤目標(biāo)有加速度與恒定加加速度。其跟蹤誤差頻率如圖6所示，圖6(b)由圖6(a)去除最差方法得到，更加直觀?？梢缘贸?，傳統(tǒng)方法與FLL-PLL算法的鑒頻誤差隨多普勒頻移的增大而明顯增大，其他3種算法在高載噪比時(shí)誤差幾乎相當(dāng)，從側(cè)面印證了推論1。

圖6 高動(dòng)態(tài)信號(hào)載波跟蹤誤差Fig.6 High dynamic signal carrier tracking error

圖7表明了傳統(tǒng)開關(guān)切換時(shí)的頻率階躍現(xiàn)象，以及本新型環(huán)路在模式切換上的改進(jìn)。圖8表明了野值的危害以及計(jì)算判別結(jié)構(gòu)能夠去除野值。

圖7 頻率階躍現(xiàn)象的改善Fig.7 Improvement of frequency step phenomenon

圖8 野值剔除前后對(duì)比Fig.8 Comparison before and after rejection of wild values

5 結(jié)束語

分析了濾波算法在跟蹤環(huán)路中的作用，提出了兩個(gè)推論，設(shè)計(jì)了新型載波跟蹤環(huán)。

1) 算法可實(shí)現(xiàn)低載噪比下，滿足JPL高動(dòng)態(tài)模型(速度為100 m/s，加速度為25gn，加加速度為100gn/s)的載波跟蹤。

2) 無論是低載噪比還是高動(dòng)態(tài)信號(hào)，本文提出的FLL-KAPLL算法都明顯優(yōu)于傳統(tǒng)方法，與其他新型算法相比亦占有優(yōu)勢(shì)。

3) 計(jì)算判別結(jié)構(gòu)能夠有效地消除開關(guān)切換時(shí)的頻率階躍現(xiàn)象，同時(shí)也能有效的剔除野值。

4) 關(guān)于本文提出的兩個(gè)推論從濾波建模原理出發(fā)，對(duì)照了仿真結(jié)果定性得出的，并沒有進(jìn)行嚴(yán)格的數(shù)學(xué)推導(dǎo)與數(shù)學(xué)推論，這是筆者接下來要繼續(xù)深化研究的方向。