宋建新 熊俊芬 劉海橋

摘? ?要：BF-TOPSIS算法結(jié)合置信方程和TOPSIS算法，能夠有效處理多屬性決策問題。加權(quán)BF-TOPSIS（WBF-TOPSIS）算法是對BF-TOPSIS算法的有效推廣，保留了BF-TOPSIS算法的優(yōu)越性。文章首先對BF-TOPSIS算法的歸一化問題進(jìn)行詳細(xì)推理分析，并給出BBAs構(gòu)造的一種新的證明。通過分析BF-TOPSIS算法BBAs構(gòu)造的實(shí)際意義，提出WBF-TOPSIS算法，并給出加權(quán)系數(shù)的最優(yōu)化表達(dá)式。BF-TOPSIS算法是WBF-TOPSIS算法的一種特殊情況。相比于BF-TOPSIS算法，WBF-TOPSIS算法能夠做出更優(yōu)的決策結(jié)果;最后算例分析驗(yàn)證了所提算法處理多屬性決策問題的優(yōu)越性性。

關(guān)鍵詞：多屬性決策;置信方程;TOPSIS;信息融合

1? ? 算法介紹

多屬性決策（Multiple Criteria Decision Making，MCDM）[1-2]是在一定數(shù)量的備選方案上進(jìn)行偏好決策，已廣泛應(yīng)用于安全性分析、風(fēng)險評估、故障診斷等不同領(lǐng)域[3-6]。傳統(tǒng)的多屬性決策方法有層次分析法[7-9]（Analytical Hierarchy Process，AHP）、[10-12]（Technique Order Preference by Similarity to Ideal Solution，TOPSIS）方法、評價排序向量法[13]（Estimator Ranking Vector，ERV）、有序加權(quán)平均算子[14]（Ordered Weighted Averaging，OWA）等方法。

MCDM雖然易于表達(dá)，但是處理實(shí)際問題時，并不利于問題的解決，因?yàn)樵趯?shí)際工程應(yīng)用中，屬性值量綱不同、標(biāo)準(zhǔn)不同，甚至不同的信源之間的屬性值存在沖突。因此，有必要對常規(guī)的MCDM方法進(jìn)行改進(jìn)，其中，模糊Dempster MCDM方法[15]是Deng教授基于不確定環(huán)境下MCDM問題提出的，結(jié)合了模糊集理論（FST）和證據(jù)理論（DST），有效地處理了供應(yīng)商選擇問題。Shaverdi[16]利用Fuzzy AHP和Fuzzy TOPSIS提出一種新的業(yè)績評估方法，通過分析發(fā)現(xiàn)，在不確定的環(huán)境下，模糊MCDM決策方法比傳統(tǒng)的MCDM決策方法更合適、有效。Zhang[17]針對經(jīng)典TOPSIS的可比性問題，提出一種新的基于加權(quán)灰色關(guān)聯(lián)系數(shù)的改進(jìn)TOPSIS方法，將經(jīng)典TOPSIS和灰色關(guān)聯(lián)分析的優(yōu)勢集成在數(shù)據(jù)序列處理中的曲線位置和曲線趨勢上，從而得到更能滿足評估精度和穩(wěn)定性的要求。Dezert[18]基于置信方程[19-21]提出新的BF-TOPSIS方法，BF-TOPSIS算法能夠有效避免數(shù)據(jù)歸一化處理，并且不存在排序反轉(zhuǎn)現(xiàn)象。

本文將研究不確定信息的多屬性決策，考慮到置信方程（即證據(jù)理論）在不確定信息表征、不確定推理方面的研究較為成熟，并且BF-TOPSIS方法很好地解決了TOPSIS反轉(zhuǎn)現(xiàn)象。所以，本文將基于BF-TOPSIS對不確定信息的多屬性決策問題進(jìn)行研究，但是BF-TOPSIS在構(gòu)造置信概率賦值（BPA）時，不確定區(qū)間較大，不利于后續(xù)的融合決策，鑒于此，本文基于BF-TOPSIS提出加權(quán)BF-TOPSIS（WBF-TOPSIS）。

本文所給出的算法WBP-TOPSIS是對BF-TOPSIS算法的有效拓展。通過分析算法BBAs的構(gòu)造可以看出，WBF-TOPSIS算法中的BBAs構(gòu)造是BF-TOPSIS算法和數(shù)據(jù)歸一化處理的有效綜合。通過改變WBF-TOPSIS算法中參數(shù)α的值，可以有效控制構(gòu)造出的BBAs中模糊區(qū)間大小。本文通過分析，給出加權(quán)系數(shù)的最優(yōu)化表達(dá)式。

本文首先介紹了BF-TOPSIS的4種算法;其次，分析了BF-TOPSIS的歸一化問題，并給出BF-TOPSIS算法BBAs構(gòu)造的一種新的證明;再次，給出WBF-TOPSIS算法的定義并進(jìn)行相關(guān)分析，推導(dǎo)出加權(quán)系數(shù)的最優(yōu)化表達(dá)式;從次，結(jié)合BF-TOPSIS和WBF-TOPSIS算法進(jìn)行單屬性決策和多屬性決策算例分析;最后做出總結(jié)。

2? ? 理論基礎(chǔ)

BF-TOPSIS是結(jié)合置信方程和TOPSIS的多屬性決策算法，記多屬性決策中的決策矩陣為S=[Sij]M×N，其中，M>1表示目標(biāo)Ai個數(shù)，N≥1表示屬性Cj個數(shù)，第j列，表示Cj對目標(biāo)作出的決策。記多屬性決策結(jié)果為置信函數(shù)理論中的識別框架，對于命題，記：

3? ? ?BF-TOPSIS相關(guān)問題分析

3.1? BF-TOPSIS的歸一化問題

所以BF-TOPSIS算法在構(gòu)造BBAs時必須要滿足不等式（2），Dezert等給出不等式（2）的詳細(xì)證明過程，本文將給出BF-TOPSIS算法BBAs構(gòu)造的一種新的解釋。

如圖1所示，將傳感器Cj的決策向量從小到大排序，并表示成柱狀圖的形式，橫坐標(biāo)表示決策目標(biāo)Ai，縱坐標(biāo)表示傳感器Cj對目標(biāo)Ai的決策量Sij，曲線表示排序后決策量Sij的包絡(luò)。一般地，考慮傳感器Cj對目標(biāo)Ak的BBAs構(gòu)造過程，虛線l表示決策量Skj，結(jié)合公式（1）可以得到，積極證據(jù)支持度就等于虛線l下方淺綠色區(qū)域決策量之和，即：

4? ? 加權(quán)BF-TOPSIS

4.1? 新的加權(quán)BF-TOPSIS方法

Dezert基于置信方程提出的新的BF-TOPSIS方法很好地解決了TOPSIS反轉(zhuǎn)現(xiàn)象。BF-TOPSIS在構(gòu)造置信概率賦值（BPA）時，不確定區(qū)間較大（在后續(xù)的算例中有所體現(xiàn)），不利于后續(xù)的融合決策，鑒于此，本文基于BF-TOPSIS提出加權(quán)BF-TOPSIS（WBF-TOPSIS）。

置信區(qū)間的區(qū)間長度表示不確定度，通過分析式（5—7）及圖1可以發(fā)現(xiàn)，構(gòu)造出的BBAs不確定度主要是由圖1中②④兩塊區(qū)域的置信度決定，即S∑2，S∑4決定了不確定度，其中：

當(dāng)α=1時，WBF-TOPSIS的BBAs構(gòu)造公式退化為歸一化公式，此時的BBAsm（·）只與相關(guān)，丟失了部分信息量，但是，不確定度為0，問題退化為概率問題。

當(dāng)α∈（0，1）時，如圖2所示，紅線表示W(wǎng)BF-TOPSIS中BBAs構(gòu)造的，藍(lán)線表示W(wǎng)BF-TOPSIS中BBAs構(gòu)造的，陰影部分表示不確定區(qū)間，隨著α從0→1變化時，不確定區(qū)間長度線性減少。

對WBF-TOPSIS中構(gòu)造出來的BBAs相應(yīng)的有4種處理方式，處理方式與BF-TOPSIS算法一樣。

4.2? 加權(quán)系數(shù)α的最優(yōu)化

加權(quán)系數(shù)α可以取[0，1]中的任何一個值，不同的α取值，影響著BPA的生成，從而影響最終的決策效果。在此將對加權(quán)系數(shù)α進(jìn)行分析，研究得到最優(yōu)的加權(quán)系數(shù)。

通過上述分析可以得到，當(dāng)α=0時，WBF-TOPSIS退化為BF-TOPSIS，而當(dāng)α=1時，WBF-TOPSIS的BBAs構(gòu)造公式退化為歸一化公式。所以，α的取值取決于多屬性的決策數(shù)據(jù)的性質(zhì)。如果原始數(shù)據(jù)利用BF-TOPSIS更有利于決策，則α就變小，相反，如果原始數(shù)據(jù)利用歸一化更有利于決策，則α就變大。

分析原始數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)決策數(shù)據(jù)中，較優(yōu)的決策值很少，而差的決策值相對較多時，決策的不確定性較小，如圖3（a）所示，此時適合直接歸一化得到BPA賦值，從而降低BPA的不確定區(qū)間的長度，此時的加權(quán)系數(shù)α應(yīng)該偏大。而當(dāng)決策值相對均勻分布時，如圖3（b）所示，此時適合利用BF-TOPSIS方法得到BPA賦值，利用證據(jù)理論的優(yōu)點(diǎn)，對不確定證據(jù)進(jìn)行決策，此時的加權(quán)系數(shù)α應(yīng)該偏小。

從決策可以看出，信源傾向于對命題A4作出決策，其余命題的信度都較差。而從表1中的數(shù)據(jù)可以看出，通過BF-TOPSIS構(gòu)造出的BPA將較多的信度賦予了全集Ai∪ _Ai），而通過WBF-TOPSIS構(gòu)造出來的BPA將較多的信度賦予了命題的非 _Ai，從而可以看出，在加權(quán)系數(shù)aj的優(yōu)化下，WBF-TOPSIS得到了更優(yōu)的BPA賦值。

5? ? 基于WBF-TOPSIS的多屬性決策算例分析

5.1? 單屬性算例分析

考慮單個屬性C1。假設(shè)目標(biāo)可能決策結(jié)果為Ai（i=1，…，7），相應(yīng)地給出C1的決策向量（收益向量，值越大越優(yōu)）S1=[90，50，80，30，70，100，50]，如果對決策向量直接排序，可以得到?jīng)Q策結(jié)果：

結(jié)果表明，WBF-TOPSIS可以有效地處理單屬性目標(biāo)決策問題。文章在此通過算例介紹了WBF-TOPSIS算法的一般步驟，并論證了算法的有效性，下面將具體結(jié)合案例，分析WBF-TOPSIS在多屬性決策中的應(yīng)用。

5.2? 多屬性算例分析

分別用BF-TOPSIS1-3和WBP-TOPSIS1-3對上述問題進(jìn)行處理，其中WBP-TOPSIS1-3中參數(shù)a分別取0.1～0.9，步長為0.1，計算得到關(guān)聯(lián)度C，結(jié)果如圖4—6所示。

當(dāng)a取0時，WBF-TOPSIS與BF-TOPSIS計算出來的關(guān)聯(lián)度C相同，隨著a的不斷增大，WBF-TOPSIS的運(yùn)行結(jié)果明顯優(yōu)于BF-TOPSIS的結(jié)果，很好地驗(yàn)證了算法的優(yōu)越性。

6? ? 結(jié)語

本文對BF-TOPSIS算法進(jìn)行推廣，提出WBF-TOPSIS算法。WBF-TOPSIS繼承了BF-TOPSIS算法優(yōu)點(diǎn)—避免了對數(shù)據(jù)歸一化處理以及有效解決了排序反轉(zhuǎn)現(xiàn)象。通過對BF-TOPSIS算法的歸一化問題進(jìn)行詳細(xì)的推理論證，可以得到BF-TOPSIS算法在構(gòu)造BBAs過程中蘊(yùn)含了歸一化過程;給出BF-TOPSIS算法的BBAs構(gòu)造的新的證明，并在此基礎(chǔ)上，引出WBF-TOPSIS算法，通過對所提算法的分析，可以發(fā)現(xiàn)：WBF-TOPSIS算法是BF-TOPSIS算法與直接歸一化處理手段的有效綜合。最后，文章給出了WBF-TOPSIS1-3算法的一般步驟，算例結(jié)果驗(yàn)證了所提算法的有效性。

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