王光宇

摘? ?要：FIR與IIR頻率選擇濾波器的設(shè)計(jì)，被廣泛應(yīng)用于數(shù)字信號(hào)處理領(lǐng)域之中。文章以雷達(dá)回波信號(hào)的數(shù)字處理為例，首先分別設(shè)計(jì)FIR，IIR濾波器完成了對(duì)信號(hào)特定頻率分量的濾除。進(jìn)而，針對(duì)IIR濾波器的非線性相位，基于最優(yōu)化設(shè)計(jì)全通系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)了相位補(bǔ)償，并對(duì)FIR，IIR濾波器進(jìn)行了綜合比較。

關(guān)鍵詞：無限沖激響應(yīng)數(shù)字濾波器;有限沖激響應(yīng)數(shù)字濾波器;全通系統(tǒng);相位補(bǔ)償

根據(jù)沖激響應(yīng)的長度是否有限，可以將數(shù)字濾波器劃分為無限沖激響應(yīng)（Infinite Impulse Response，IIR）濾波器和有限沖激響應(yīng)（Finite Impulse Response，F(xiàn)IR）濾波器。根據(jù)實(shí)際要求，合理選擇濾波器的類別，在實(shí)現(xiàn)預(yù)期效果的同時(shí)盡可能降低成本，具有重要現(xiàn)實(shí)意義。

1? ? 雷達(dá)回波信號(hào)的模擬

假設(shè)雷達(dá)回波信號(hào)包含載頻50 MHz，帶寬10 MHz，時(shí)寬10 μs的線性調(diào)頻脈沖信號(hào)和20 MHz，80 MHz的正弦波，即：

2? ? 數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)的基本理論

根據(jù)廣義線性相位系統(tǒng)的充分條件[1]知，h[n]為有限長偶對(duì)稱序列，因此FIR數(shù)字濾波器具有線性相位、恒定群延遲，不會(huì)造成信號(hào)的相位失真。

對(duì)于頻率選擇性IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)，通常是根據(jù)經(jīng)典模擬濾波器原型，采用雙線性變換法[2]實(shí)現(xiàn)，且模擬頻率Ω與數(shù)字頻率ω之間的映射關(guān)系為：

3.2? 求解最優(yōu)全通補(bǔ)償系統(tǒng)的算法描述

在式（6）所示規(guī)劃問題時(shí)，設(shè)計(jì)不同階數(shù)的全通系統(tǒng)（即在一定范圍內(nèi)遍歷N的取值），并在每一固定階數(shù)下求解關(guān)于損失函數(shù)最小的無約束最優(yōu)化問題，然后權(quán)衡系統(tǒng)階數(shù)、極點(diǎn)分布情況對(duì)初代最優(yōu)解進(jìn)行篩選，得到最優(yōu)補(bǔ)償系統(tǒng)設(shè)計(jì)。具體步驟如下。

Algorithm 1：最優(yōu)相位補(bǔ)償系統(tǒng)設(shè)計(jì)算法。

Step 1：初始化系統(tǒng)階數(shù)N。

Step 2：在當(dāng)前N下，初始化系統(tǒng)函數(shù)（對(duì)應(yīng)于式（4））的各階系數(shù){ak|k=1，2，…，N}。

Step 3：計(jì)算由當(dāng)前N、{ak|k=1，2，…， N}決定的補(bǔ)償系統(tǒng)損失函數(shù)FCost，若優(yōu)化算法收斂，輸出系統(tǒng)階數(shù)N、各階系數(shù){ak|k=1，2，…，N}、損失函數(shù)FCost及相關(guān)量化指標(biāo);否則，基于算法搜索原則，更新各階系數(shù)。

Step 4：重復(fù)Step 3，直至算法收斂，記錄相關(guān)參數(shù)與結(jié)果。

Step 5：更新網(wǎng)絡(luò)階數(shù)N，重復(fù)Step 2～Step 4，得到多組階數(shù)N下的損失函數(shù)FCost及各階系數(shù){ak|k=1，2，…，N}。

Step 6：結(jié)合量化指標(biāo)及對(duì)相位曲線擬合度的直觀判斷，得到最優(yōu)階數(shù)N與最優(yōu)系統(tǒng)各階系數(shù){ak|k=1，2，…，N}，完成最優(yōu)相位補(bǔ)償系統(tǒng)設(shè)計(jì)。

在實(shí)際有限精度計(jì)算中，需要對(duì)系統(tǒng)頻率響應(yīng)進(jìn)行抽樣分析，本次實(shí)驗(yàn)中選取抽樣點(diǎn)數(shù)η=256。

4? ? 設(shè)計(jì)結(jié)果與分析

4.1? 濾波器效果的評(píng)價(jià)指標(biāo)

考慮以均方誤差MSE、平均絕對(duì)誤差MAE作為量化指標(biāo)，衡量處理后信號(hào)時(shí)域波形與線性調(diào)頻脈沖時(shí)域波形的吻合程度，定義如下：

4.2? 相位補(bǔ)償效果的評(píng)價(jià)指標(biāo)

為量化評(píng)估全通系統(tǒng)相頻響應(yīng)與理想補(bǔ)償相位的逼近程度，引入歸一化均方根誤差LNRMS、最大絕對(duì)誤差eθmax兩項(xiàng)指標(biāo)，定義如下：

4.3? 設(shè)計(jì)結(jié)果與分析

表1為Butterworth IIR、Kaiser FIR濾波器的設(shè)計(jì)結(jié)果，圖2繪制了雷達(dá)信號(hào)經(jīng)兩種濾波器濾波后的幅度譜?？梢?，在相同技術(shù)指標(biāo)下，Butterworth IIR，Kaiser FIR均完成了對(duì)原信號(hào)中正弦波成分的濾除;由MSE，MAE知，濾波后信號(hào)波形與線性調(diào)頻脈沖信號(hào)逼近良好。由于IIR濾波器采用遞歸結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)，如不考慮相位的失真效應(yīng)，在相同技術(shù)指標(biāo)下，設(shè)計(jì)Butterworth IIR濾波器僅需要8階，而設(shè)計(jì)Kaiser FIR濾波器需要30階[3]。

表2列出了Butterworth IIR濾波器的最優(yōu)相位補(bǔ)償參數(shù)，對(duì)于8階Butterworth IIR濾波器，在不嚴(yán)格給定相位誤差限制的前提下，按照3.2節(jié)算法得到的最優(yōu)全通系統(tǒng)需要10階。圖3繪制了Butterworth IIR濾波器相位補(bǔ)償前后的相頻響應(yīng)與群延遲，通過級(jí)聯(lián)全通系統(tǒng)相位補(bǔ)償后，濾波器相位線性程度顯著提高，群延遲的變化幅度減小。通過級(jí)聯(lián)全通系統(tǒng)加以相位補(bǔ)償，可以明顯改善信號(hào)的相位失真問題，但將大大提高濾波器系統(tǒng)復(fù)雜程度[4]。

5? ? 結(jié)語

對(duì)于頻率選擇性濾波器，IIR濾波器以較低階數(shù)即可獲得可觀的頻選特性，系統(tǒng)結(jié)構(gòu)復(fù)雜度低、經(jīng)濟(jì)高效。但若要避免信號(hào)相位的失真，必須級(jí)聯(lián)全通系統(tǒng)加以相位補(bǔ)償，使整個(gè)系統(tǒng)的階數(shù)、復(fù)雜性、計(jì)算工作量大大提高。FIR濾波器本身具有線性相位，但要獲得較高頻選特性，需采用較高階數(shù)進(jìn)行設(shè)計(jì)，從而增加結(jié)構(gòu)復(fù)雜度與信號(hào)延遲。因此，IIR和FIR濾波器各有所長，在實(shí)際中應(yīng)統(tǒng)籌考慮各方面因素進(jìn)行選擇。

[參考文獻(xiàn)]

[1]PROAKIS J，MANOLAKIS D.Digital signal processing[M].Third edition.London：Pearson Education，2005.

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[3]趙淑清.隨機(jī)信號(hào)分析[M].3版.哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，1996.

[4]DENG T.Minimax design of low-complexity allpass variable fractional-delay digital fifilters[J].IEEE Trans.Circuits Syst.I，2010（8）：2075-2086.