顧 旭，魏 爽，李 莉，蘇 穎

（上海師范大學(xué)信息與機(jī)電工程學(xué)院，上海201418）

0 引 言

在多輸入多輸出（MIMO）雷達(dá)、雙（多）基地和組網(wǎng)雷達(dá)等應(yīng)用領(lǐng)域中，目標(biāo)空域中信號密集分布的情況越來越多［1-2］.由于電子干擾設(shè)備數(shù)目的急劇增加，陣列接收到的信號高度密集，如何估計空域中密集分布信號的波達(dá)方向（DOA）參數(shù)是一個研究課題.壓縮感知理論的提出為提高密集信號估計的精確度提供了一種有效的求解途徑［3-4］.為了確保壓縮感知得到精確的估計值，設(shè)計的過完備字典需要包含與真實DOA 匹配的網(wǎng)格［5］，但是真實的DOA 值未必是整數(shù)，實現(xiàn)網(wǎng)格匹配的難度很高，通常會造成未知的DOA參數(shù)具有離格特性.

為了解決離格參數(shù)的估計問題，研究者們已提出了一系列離格類壓縮感知方法.例如ZHU等［6］提出了稀疏最小二乘（STLS）方法，用泰勒展開式建立導(dǎo)向矢量模型；YANG 等［7］提出了離格稀疏貝葉斯（OGSBI-SVD）方法，使用奇異值分解（SVD）方法進(jìn)行降維，并利用最大期望（EM）算法來迭代計算超參數(shù)；吳曉歡［8］提出了基于Cholesky 協(xié)方差分解（OGL1CCD）方法，聯(lián)合稀疏性進(jìn)行參數(shù)估計.但離格類壓縮感知方法建立在網(wǎng)格劃分的基礎(chǔ)之上，造成較高的相關(guān)性以及龐大的計算量，制約了算法的性能及實際應(yīng)用［9］.如何從根本上解決網(wǎng)格劃分所帶來的影響，是當(dāng)前用壓縮感知算法解決陣列信號處理問題的一個前沿方向.

無網(wǎng)格類壓縮感知方法無需網(wǎng)格劃分，可以直接在連續(xù)域中進(jìn)行DOA 估計.BHASKAR 等［10］提出了基于原子范數(shù)法（ANM）的線性譜估計方法；XU 等［11］提出了基于Hankel 矩陣的核范數(shù)法（nuclear norm）進(jìn)行疏信號恢復(fù)；YANG 等［12］提出無網(wǎng)格基于稀疏迭代協(xié)方差的估計（SPICE）方法，使用功率譜密度（PSD）構(gòu)建的托普利茨矩陣進(jìn)行參數(shù)估計；YANG 等［13］提出基于協(xié)方差擬合準(zhǔn)則的稀疏參數(shù)法（SPA），采用后處理方式使得參數(shù)估計唯一化，基于原子范數(shù)理論的連續(xù)壓縮傳感（CCS）算法［14-15］，利用多個測量矢量之間的聯(lián)合稀疏性進(jìn)行參數(shù)估計.

本文作者針對DOA 密集分布、低信噪比的非理想情況，分別采用SPA 和CCS算法，設(shè)計了無網(wǎng)格的壓縮感知密集DOA 估計方法，并和l1-SVD 方法［12］及離格類方法進(jìn)行對比，以期提高密集DOA 的估計精度，降低計算復(fù)雜度.

1 系統(tǒng)模型

考慮K 個遠(yuǎn)場窄帶信號源xk'k=1'2'…'K，將其入射到線性陣列，陣元接收到的目標(biāo)信號的DOA 角為θk，觀測模型為：

將式（1）轉(zhuǎn)換為矢量模型：

其中，Y ∈CM×K'Ψ ∈CM×N'S ∈CN×K'E ∈CM×K，這樣就可以用稀疏系數(shù)矩陣S來表示觀測矩陣Y.

當(dāng)真實DOA 參數(shù)θk之間的間距足夠小時，可以通過增大網(wǎng)格數(shù)N 來達(dá)到預(yù)設(shè)的網(wǎng)格中包含真實值的目的，但這會導(dǎo)致目標(biāo)信號本身相關(guān)性提高，使計算量提升，而且不能準(zhǔn)確估計出DOA 參數(shù)；另一方面，網(wǎng)格間距過小，或者原子范數(shù)集合的相關(guān)性過高，會引起稀疏基矩陣Ψ 內(nèi)原子間的相關(guān)性提高，從而影響恢復(fù)性能.因此，采用無網(wǎng)格壓縮感知算法求解密集DOA估計問題.

2 基于SPA的無網(wǎng)格壓縮感知密集DOA估計方法

基于觀測式（1），假設(shè)數(shù)據(jù)快拍{y(1)'y(2)'…'y(L)}是互不相關(guān)的，并且有協(xié)方差矩陣：

這里考慮和SPICE算法一樣的協(xié)方差擬合準(zhǔn)則：

當(dāng)式（8）中f1的值最小時，樣本協(xié)方差和協(xié)方差的擬合程度最高，θk最準(zhǔn)確.根據(jù)式（7），求解f1最小化的過程是非線性的，為了便于求解(θ'p'σ)，令

其中，C是一個埃爾米特-托普利茨矩陣.令C=T(u)，其中，

其中，u 為托普利茨矩陣的參數(shù).當(dāng)輸出陣列協(xié)方差矩陣滿足托普利茨結(jié)構(gòu)時，該陣列協(xié)方差矩陣可以被唯一分解.又因為DOA參數(shù)信息包含在陣列協(xié)方差矩陣中，信號的來向可以被唯一確定.

結(jié)合式（10），（11）和（7），協(xié)方差矩陣可以表示為：

根據(jù)式（12）中的協(xié)方差矩陣R，最小化式（8）中的f1：

其中，T(u)≥0表示T(u)為半正定矩陣.

在式（13）中的最小化問題可以轉(zhuǎn)化為半正定規(guī)劃（SDP）問題：

求解式（14），得到解(u*'σ*)，那么R的估計值為：

通常T(u)≥0和σ ≥0，僅憑這兩個條件不能從R中得到唯一的u和σ.

將式（15）轉(zhuǎn)換為式（7）的形式：

當(dāng)真實DOA參數(shù)θk密集分布時，直接利用協(xié)方差矩陣求解，并經(jīng)過后處理使解唯一，不需要額外的稀疏基矩陣進(jìn)行信號恢復(fù)，避免了因真實DOA 參數(shù)密集而導(dǎo)致高相關(guān)性，無法用稀疏基進(jìn)行精確求解的問題.

3 基于CCS的無網(wǎng)格壓縮感知密集DOA估計方法

最初原子范數(shù)法利用連續(xù)域的原子集合代替離散域的傅里葉頻域信號，解決了頻率離散化帶來的網(wǎng)格效應(yīng)，從理論上提供了信號頻率精確恢復(fù)的條件［10］.基于原子范數(shù)的觀點，由式（3）得出信號恢復(fù)問題：

其中，Y0表示Y的無噪聲情況.假設(shè)信號Y由一個原子集合中的若干個元素組成，

其中，A是CN上的一些原子構(gòu)成的集合；ci為加權(quán)系數(shù)；ai為A中的原子.定義為Y的原子l0范數(shù)，

考慮到式（22）中的原子l0范數(shù)的維數(shù)是無限的，式（20）的優(yōu)化問題無法計算.考慮采用由功率參數(shù)p和原子a組成的托普利茨矩陣T(u)逼近l0范數(shù)：

其中，u ∈CN；托普利茨矩陣T(u)∈CN×N；pi＞0表示源功率參數(shù).

時，可以發(fā)現(xiàn)T(u)在最優(yōu)解時的秩Q*應(yīng)該小于等于Q.

綜上所述，

因此，‖ Y ‖A'0的最小化等同于式（24）的秩最小化問題：

結(jié)合式（20）可得：

在實際應(yīng)用中，為了避免非凸性，同時利用稀疏性質(zhì)，把式（27）轉(zhuǎn)化為矩陣W 和T(u)的跡最小化問題：

利用SDP求解器進(jìn)行求解，得到解u*，結(jié)合T(u*)的范德蒙分解，可以得到Y(jié)中包含的DOA參數(shù).

4 仿 真

仿真實驗中，通過比較各個方法的DOA 估計值、不同信噪比及快拍數(shù)下的均方根誤差（RMSE）曲線，驗證基于SPA 和CCS 的無網(wǎng)格壓縮感知密集DOA 估計算法的優(yōu)越性，同時分析對比了兩種無網(wǎng)格的壓縮感知密集DOA估計方法之間的不同.

為了讓真實DOA 值盡量靠近，設(shè)兩個信號的真實DOA 值分別為62.52°和63.41°，以達(dá)到空域目標(biāo)密集分布效果，并且DOA 之間的間距小于網(wǎng)格劃分類方法的網(wǎng)格間距，網(wǎng)格間距設(shè)置為1.陣列數(shù)M=20，快拍數(shù)L=200，信噪比為0 dB，信源數(shù)K=2，蒙特卡洛實驗次數(shù)為50，實驗結(jié)果如表1所示.

表1 各類方法的DOA估計值

從表1 中可以看出，基于SPA 的無網(wǎng)格壓縮感知密集DOA 估計方法的估計值最準(zhǔn)確，其次是基于CCS的無網(wǎng)格壓縮感知密集DOA估計方法.

圖1 比較了不同信噪比下各種方法的RMSE 指標(biāo).從圖1 中可以看出，兩種無網(wǎng)格的壓縮感知密集DOA 估計方法，在密集DOA 以及低信噪比的非理想情況下，比其他算法的估計誤差小.FOGL1CCD 是基于Cholesky協(xié)方差分解的離網(wǎng)重構(gòu)（OGL1CCD）算法的快速算法，所以在估計精度上是一致的.基于CCS的無網(wǎng)格壓縮感知密集DOA 估計方法的RMSE 隨著信噪比的增大趨于平緩；而基于SPA 的無網(wǎng)格壓縮感知密集DOA 估計方法的RMSE 隨著信噪比的增大逐漸減小，并且其RMSE 一直低于基于CCS 的無網(wǎng)格壓縮感知密集DOA估計方法.

圖1 不同信噪比下各算法的RMSE對比圖

圖2 比較了不同快拍數(shù)下的RMSE 指標(biāo).從圖2中可以看出，兩種無網(wǎng)格的壓縮感知密集DOA 估計方法，在密集DOA 以及低信噪比的非理想情況下，比其他算法估計誤差小.在單快拍或快拍數(shù)較少的情況下，兩種無網(wǎng)格的壓縮感知密集DOA 估計方法的估計性能明顯下降，隨著快拍數(shù)的增大，當(dāng)快拍數(shù)達(dá)到2以后，兩種算法估計性能遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于其他算法，并且基于SPA的無網(wǎng)格壓縮感知密集DOA估計方法的性能比基于CCS的無網(wǎng)格壓縮感知密集DOA估計方法更好.

圖2 不同快拍數(shù)下個算法的RMSE對比圖

5 結(jié) 論

針對DOA 密集分布、低信噪比的非理想情況，設(shè)計了一種基于SPA 的無網(wǎng)格壓縮感知密集DOA 估計方法，以及一種基于CCS的無網(wǎng)格壓縮感知密集DOA 估計方法.實驗結(jié)果表明：這兩種無網(wǎng)格壓縮感知密集DOA 估計方法的估計效果和傳統(tǒng)的離格類方法以及網(wǎng)格方法相比，密集DOA 的估計精度更高.在下一步的工作中，考慮將所設(shè)計的方法用于密集時延估計，以提高通信領(lǐng)域中的定位精度.