張偉志

高考命題從能力立意轉(zhuǎn)向素養(yǎng)的考查，重點(diǎn)不再是常規(guī)的解題技巧，而是側(cè)重于學(xué)生的探究能力、創(chuàng)新能力和遷移能力.2019年全國(guó)卷Ⅰ第17題看起來(lái)很常規(guī)，入口較易，事實(shí)上卻超凡脫俗、豐富多彩，有較大的探究空間和教學(xué)價(jià)值，下面我們就結(jié)合此題的探究和拓展，談一下核心素養(yǎng)導(dǎo)向下高三復(fù)習(xí)的一點(diǎn)點(diǎn)想法和建議.

2019年高考數(shù)學(xué)試題全國(guó)卷（Ⅰ）第17題為：

△ABC的內(nèi)角A，B，C對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c.設(shè)（sinB-sinC）2=sin2A-sinBsinC.

（Ⅰ）求A;

（Ⅱ）若2a+b=2c，求sinC.

在第（Ⅰ）問(wèn)中，可以考慮特殊情況，當(dāng)A=B=C=π3時(shí)，題設(shè)中的恒等式顯然成立，不難猜出A=π3.具體解法如下：

利用正弦定理可將（sinB-sinC）2=sin2A-sinBsinC化簡(jiǎn)為（b-c）2=a2-bc，整理可得：bc=b2+c2-a2.

由余弦定理知：cosA=b2+c2-a22bc=12，又A∈（0，π），所以A=π3.

點(diǎn)評(píng) 第一問(wèn)入口比較簡(jiǎn)單，大部分同學(xué)都會(huì)運(yùn)用正弦定理，把已知條件轉(zhuǎn)化成邊的關(guān)系，然后結(jié)合余弦定理得出結(jié)果，此解法較為簡(jiǎn)潔流暢.當(dāng)然也可以運(yùn)用三角恒等變形直接得出結(jié)論，但相比上述方法計(jì)算較為繁瑣，此處不再贅述.

（Ⅱ）視角1 代數(shù)法

代數(shù)法研究圖形的幾何運(yùn)算和性質(zhì)是解三角形的本質(zhì).由于已知條件純粹是三角形的邊角關(guān)系，因此，利用三角形內(nèi)角和定理及常規(guī)的三角公式，并巧妙運(yùn)用轉(zhuǎn)化化歸的思想，使問(wèn)題迎刃而解.

方法1 轉(zhuǎn)化的思想

由（Ⅰ）可知sinA=32，cosA=12.

2a+b=2c等價(jià)于：22sinA+12sinB=sinC，

即22sinA+cosAsinB=sin（A+B），整理得22sinA=sinAcosB，由于sinA>0，所以cosB=22，得B=π4.所以sinC=6+24.

點(diǎn)評(píng) 常規(guī)的思路是轉(zhuǎn)化為關(guān)于sinC的一元二次方程，計(jì)算量較大，靈活運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理和特殊角的三角函數(shù)值，轉(zhuǎn)化化歸，先求出B=π4，大大地減少了運(yùn)算量，思路非常巧妙.

方法2 構(gòu)造的思想

同方法一可得：22sinA+12sinB=sinC，轉(zhuǎn)化為：

22×32+12sin（C+π3）=sin[（C+π3）-π3]，即22×32+12sin（C+π3）=12sin（C+π3）-32cos（C+π3），得cos（C+π3）=-22.

由0 所以sinC=6+24.

點(diǎn)評(píng) 構(gòu)造特殊角C+π3，巧妙地繞開(kāi)了關(guān)于非特殊角C的繁雜運(yùn)算，使問(wèn)題得以簡(jiǎn)化，收到了良好的效果.

方法3 向量的思想

由（Ⅰ）可知cosA=12.

令A(yù)B=c， BC=a，AC=b，而2 │a│=2│c│-│b│可化為：2（b-c）2=（2│c│-│b│）2，2│b││c│=2│c│2-│b│2.

將cosA=b2+c2-a22|b||c|=12，代入上式得2a2=3b2.可設(shè)|a|=3k，

|b|=2k，易得|c|=6+22k，由正弦定理得sinC=|c||a|sinA=6+24.

點(diǎn)評(píng) 向量是實(shí)現(xiàn)數(shù)與形完美結(jié)合的有效途徑，是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一把利劍，在解三角形問(wèn)題中巧妙地構(gòu)造向量，往往可以達(dá)到一種 “曲徑通幽”的效果.

視角2 幾何法

本題的背景是幾何三角形問(wèn)題，自然可以采用平面幾何知識(shí)進(jìn)行求解.而學(xué)生往往會(huì)忽略三角形的幾何本質(zhì)，選擇較為復(fù)雜的三角恒等變形知識(shí)來(lái)解決此題.

方法4 數(shù)形結(jié)合的思想（以形助數(shù)）

如圖1，作CD⊥AB，垂足為D.

由題意：c=12b+22a，而AB=AD+DB，AD=b·cosA=12b，則DB=BC·cosB=22a，所以cosB=22，得B=π4，C=5π12，所以sinC=6+24.

點(diǎn)評(píng) 利用平面幾何知識(shí)，構(gòu)造直角三角形，數(shù)形結(jié)合，返璞歸真，潤(rùn)物細(xì)無(wú)聲地實(shí)現(xiàn)了初高中數(shù)學(xué)知識(shí)的銜接.

視角3 坐標(biāo)法

由于利用三角恒等變形解決此問(wèn)題時(shí)，牽扯的公式較多，部分學(xué)生可能出現(xiàn)因遺忘公式而思路受阻的現(xiàn)象，而坐標(biāo)法可以避免這種狀況的發(fā)生，學(xué)生會(huì)有一種柳暗花明又一村的感覺(jué).

方法5 數(shù)形結(jié)合的思想（以數(shù)釋形）

如圖2，以C為原點(diǎn)，以CA所在的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，令CB=1，∠BCA=θ，以點(diǎn)C為圓心作單位圓，作BD⊥CA，垂足為D，則B（cosθ，sinθ），BD=32c=sinθ，AD=12c，CD=cosθ，CD=AC-AD，即cosθ=b-12c.

將b=2c-2代入上式得：cosθ=32c-2.

在RT△BCD中， CD2=BC2-BD2，即cos2θ=1-32c2，可得32c-22=1-32c2，解得c=32±66，由于c=12b+22>22，所以c=32+66，所以 sinθ=32c=6+24，即 sinC=6+24.

點(diǎn)評(píng) 本題以C為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，結(jié)合三角函數(shù)的定義，構(gòu)造出關(guān)于c的一元二次方程，使問(wèn)題得以解決，該做法很好得體現(xiàn)了坐標(biāo)法在解決平面幾何問(wèn)題中的優(yōu)越性.

新考綱區(qū)別于以前的主要表現(xiàn)在從數(shù)學(xué)思想方法、能力以及科學(xué)與人文素養(yǎng)三個(gè)方面提出要求，注重引導(dǎo)一線教師積極更新理念，削弱重知識(shí)輕能力給學(xué)生發(fā)展帶來(lái)的負(fù)面影響.因此，在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生發(fā)揮主觀能動(dòng)性，開(kāi)創(chuàng)性地解決問(wèn)題，尤為重要.