李海濤，宋 鵬，侯 林

(北京航空航天大學(xué) 儀器科學(xué)與光電工程學(xué)院，北京 100191)

1 引 言

雙框架磁懸浮控制力矩陀螺(Double Gimbals Magnetically Suspended Control Moment Gyroscope, DGMSCMG) 具有輸出力矩大、精度高、能輸出兩個自由度的陀螺力矩等優(yōu)點(diǎn)，因此對空間站和衛(wèi)星姿態(tài)控制系統(tǒng)非常有吸引力[1]。DGMSCMG主要由磁懸浮高速轉(zhuǎn)子系統(tǒng)和框架系統(tǒng)組成，它的輸出力矩可以表示為M=H×ω，其中H是高速轉(zhuǎn)子角動量，ω為框架系統(tǒng)角速度，M是輸出陀螺力矩[2]?？梢钥闯鲈诟咚俎D(zhuǎn)子角動量H恒定時，框架系統(tǒng)的角速度ω直接影響陀螺輸出轉(zhuǎn)矩M的精度[3]。此外，由于輸出陀螺轉(zhuǎn)矩的精度影響航天器的穩(wěn)定性和姿態(tài)控制精度，因此實(shí)現(xiàn)框架系統(tǒng)的高精度角速度跟蹤控制至關(guān)重要。

框架系統(tǒng)是一個超低速的機(jī)械伺服系統(tǒng)，內(nèi)外框架產(chǎn)生的非線性耦合力矩[4]、非線性的摩擦力矩[5]和未建模動態(tài)[6]是影響框架系統(tǒng)角速率精度的主要因素。近年來，各種控制方法已被用于處理DGMSCMG框架系統(tǒng)中的干擾問題。文獻(xiàn)[6]設(shè)計了狀態(tài)反饋線性化控制器來解決高速轉(zhuǎn)子與框架系統(tǒng)之間的耦合轉(zhuǎn)矩問題，通過在自適應(yīng)滑?？刂破髦幸敕答佈a(bǔ)償，對線性化后的耦合力矩進(jìn)行抑制。考慮到框架系統(tǒng)與陀螺房中高速轉(zhuǎn)子之間的耦合力矩以及外部干擾問題，文獻(xiàn)[7]提出了一種自適應(yīng)逆控制方法來抑制擾動，提高了系統(tǒng)性能。上述方法通過引入反饋補(bǔ)償來抑制干擾。然而，大多數(shù)干擾不能用傳感器來測量，這使得干擾估計成為一種廣泛使用的方法。在過去的幾十年里，由韓京清教授提出的擴(kuò)張狀態(tài)觀測器(Extend State Observer, ESO)得到了充分的發(fā)展[7-9]。在ESO理論中，將系統(tǒng)內(nèi)部動態(tài)和外部干擾認(rèn)為是“集總干擾”，進(jìn)而擴(kuò)展為系統(tǒng)的新狀態(tài)[10]，對于m階系統(tǒng)，需要建立m+1階ESO，配置m+1個參數(shù)[11]。通過ESO對集總擾動進(jìn)行估計，同時結(jié)合合適的控制方法如滑?？刂坪虷控制等傳統(tǒng)的魯棒反饋控制方法，可以補(bǔ)償和消除干擾。作為一種自抗擾控制方法，基于ESO的控制方法已經(jīng)廣泛應(yīng)用于電機(jī)[12]、MEMS系統(tǒng)[13]等工程實(shí)踐中[14]。

文獻(xiàn)[15]提出了一種基于三階ESO振動抑制的控制方法來解決DGMSCMG框架系統(tǒng)中存在較低頻率諧振點(diǎn)的問題。然而，限制ESO應(yīng)用的一個因素是，如果系統(tǒng)狀態(tài)方程的階數(shù)大于2，則很難在實(shí)際應(yīng)用中配置滿足系統(tǒng)精度要求的ESO參數(shù)[16]，而針對高階系統(tǒng)ESO參數(shù)配置方法仍在討論中。在文獻(xiàn)[16]中，張榮等人提出了級聯(lián)ESO(Cascade Extended State Observer, CESO)的概念。文獻(xiàn)[17]提出了一種基于狀態(tài)反饋和CESO的復(fù)合控制器，以提高框架角速度的精度，該控制器性能穩(wěn)定，但所使用的是線性CESO，不能在小參數(shù)配置下快速跟蹤系統(tǒng)的狀態(tài)和干擾。

本文研究了基于非線性級聯(lián)擴(kuò)張狀態(tài)觀測器(Nonlinear Cascade Extended State Observer,NCESO)和滑模控制的復(fù)合控制器，以抑制DGMSCMG框架角速率伺服控制系統(tǒng)中存在干擾的問題。該方法主要有兩個顯著特點(diǎn)。首先，使用NCESO對集總干擾進(jìn)行估計，既解決了傳統(tǒng)ESO階數(shù)較高時參數(shù)難以配置的問題，同時也提高了線性CESO的估計精度。其次，通過結(jié)合滑?？刂破骺梢杂行б种瓶蚣芟到y(tǒng)的干擾，而滑?？刂破鞯拈_關(guān)增益只需要設(shè)計的比干擾估計誤差的界限大而不是比干擾大，就可以緩解抖振問題。通過仿真和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了所提方法對框架系統(tǒng)進(jìn)行干擾抑制的有效性。

2 DGMSCMG框架伺服系統(tǒng)的數(shù)學(xué)建模及干擾分析

(1)

圖1 DGMSCMG坐標(biāo)定義Fig.1 Coordinate definition of DGMSCMG

(2)

其中：ux和uy是框架力矩電機(jī)的控制電壓，Rx和Ry是力矩電機(jī)的定子電阻，Lx和Ly是電感，Cex和Cey是反電動勢系數(shù)。

(3)

(4)

在實(shí)際系統(tǒng)中，框架角速度是有界可微的，因此總干擾f是有界的。

3 基于NCESO的復(fù)合控制器設(shè)計及系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

3.1 傳統(tǒng)非線性ESO設(shè)計

根據(jù)文獻(xiàn)[9]可構(gòu)建如下傳統(tǒng)非線性ESO：

(5)

(6)

從式(5)和式(6)可知，如果使用傳統(tǒng)的非線性ESO，需要配置4個參數(shù)，但在實(shí)際工程應(yīng)用中配置4個參數(shù)來滿足優(yōu)良的系統(tǒng)性能是很困難的，且非線性ESO的穩(wěn)定性很難證明。相比之下，二階ESO的理論、參數(shù)配置方法以及穩(wěn)定性證明相對成熟[20]。文獻(xiàn)[16]提出二階ESO級聯(lián)的概念，能充分使用二階ESO的理論和參數(shù)配置方法。級聯(lián)ESO將具有相同參數(shù)的3個相似二階ESO級聯(lián)取代以上4階ESO，從而將ESO中4個參數(shù)的調(diào)整簡化為兩個參數(shù)的調(diào)整。

3.2 基于NCESO和滑?？刂频膹?fù)合控制器設(shè)計

根據(jù)文獻(xiàn)[16]，三階系統(tǒng)需要構(gòu)建由3個二階ESO組成的級聯(lián)ESO。將非線性CESO的狀態(tài)變量定義為z=[z1,z2,z3,z4,z5,z6]T，其中z1，z2，z4，z6分別用于估計v1,v2,v3,f。z3和z5是中間變量。NCESO的狀態(tài)方程描述如下：

(7)

其中：β1和β2是NCESO的參數(shù)；ei(i= 1，…，6)為估計誤差，定義為e1=z1-v1,e2=z2-v2,e3=z3-z2,e4=z4-v3,e5=z5-z4,e6=z6-f。

NCESO的非線性誤差函數(shù)如下：

(8)

其中i=1,3,5。NCESO的結(jié)構(gòu)如圖2所示。

圖2 NCESO結(jié)構(gòu)簡圖Fig.2 Structure diagram of NCESO

從式(7)中減去式(4)，得到誤差方程如下:

(9)

(10)

其中θref，ωref分別是參考角位置和參考角速度，c1，c2是增益系數(shù)，滿足c1>0，c2>0。

滑?？刂坡稍O(shè)計為:

ux=-bx-1{ksgn(s)+c1(z2-ωref)+

(11)

其中k是轉(zhuǎn)換增益。

綜上，基于NCESO和滑?？刂频腄GMSCMG框架系統(tǒng)控制結(jié)構(gòu)圖如圖3所示。

圖3 框架系統(tǒng)控制結(jié)構(gòu)圖Fig.3 Control block diagram of gimbal system

3.3 框架系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

滑模面s的導(dǎo)數(shù)為:

(12)

選取李雅普諾夫函數(shù)為:

(13)

其導(dǎo)數(shù)為:

(14)

4 仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果

4.1 仿真和實(shí)驗(yàn)設(shè)置

為了驗(yàn)證本文提出方法的有效性和優(yōu)越性，將它與文獻(xiàn)[17]中使用的基于LCESO的復(fù)合控制方法進(jìn)行了對比。本研究的平臺是一個DGMSCMG系統(tǒng)，如圖4所示，框架電機(jī)參數(shù)如表1所示。

圖4 DGMSCMG實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)Fig.4 Experimental system of DGMSCMG

表1 框架電機(jī)參數(shù)

Tab.1 Design parameters of gimbal motor

參數(shù)參考值內(nèi)框架等效轉(zhuǎn)動慣量Jx/(kg·m-2)0.141外框架等效轉(zhuǎn)動慣量Jy/(kg·m-2)0.173內(nèi)框架反電動勢系數(shù)Cex/(V·rad-1·s-1)1.2外框架反電動勢系數(shù)Cey/(V·rad-1·s-1)1.22內(nèi)框架扭矩系數(shù)Kx/(N·m·A-1)1.73外框架扭矩系數(shù)Ky/(N·m·A-1)2.22內(nèi)框架電機(jī)定子電阻Rx/Ω5外框架電機(jī)定子電阻Ry/Ω6內(nèi)框架電機(jī)定子電感Lx/mh7.5外框架電機(jī)定子電感Ly/mh9轉(zhuǎn)子軸向轉(zhuǎn)動慣量Hz/(N·m·s)1.22

從式(7)和式(11)可以看出，系統(tǒng)中有5個參數(shù)需要設(shè)計，即NCESO的參數(shù)β1,β2和控制器參數(shù)c1，c2，k。控制器參數(shù)和觀測器參數(shù)分別與控制器帶寬ωc和觀測器帶寬ω0有關(guān)，可以參照文獻(xiàn)[21]進(jìn)行配置。其中，控制器帶寬ωc與框架角速度帶寬有關(guān)，觀測器帶寬ω0應(yīng)該滿足ω0=(2～5)ωc。參數(shù)設(shè)置如表2所示。

表2 控制器和觀測器參數(shù)

將內(nèi)外框架設(shè)置為初始正交且靜止，在這種情況下耦合力矩達(dá)到最大。此外，在仿真中使用Stribeck摩擦模型(工程中最常用的摩擦模型之一)來模擬框架系統(tǒng)中非線性摩擦的影響。

4.2 干擾估計和抑制性能仿真

分別在t=1 s和t=3 s時給內(nèi)外框架5(°)/s的階躍信號，在NCESO和LCESO兩種方法下，內(nèi)框架系統(tǒng)的速度狀態(tài)x2和集總干擾f及其估計值、估計誤差的對比仿真分別如圖5和圖6所示。

圖5表明，使用兩種方法都可以準(zhǔn)確地估計出速度狀態(tài)x2，而本文提出的方法估計精度更高，估計誤差降低了一個數(shù)量級。

圖5 速度狀態(tài)估計效果對比Fig.5 Comparison of speed estimation effects

圖6表明使用兩種方法都可以準(zhǔn)確地估計出“集總干擾”f。此外，可以看出NCESO的穩(wěn)態(tài)觀測誤差被限制在一個非常小的值上，這已經(jīng)在式(9)中解釋了。內(nèi)外框架的階躍角速度響應(yīng)曲線的對比仿真如圖7所示。

圖6 干擾估計效果對比Fig.6 Comparison of disturbances estimation effects

從圖7中可以看出，當(dāng)給定參考信號時，外框架和內(nèi)框架分別在t=1 s和t=3 s時受到耦合力矩和非線性摩擦力矩的影響。在t=3 s時，由于耦合力矩的作用，內(nèi)框架角速度有一定的波動，LCESO方法下角速度從5 (°)/s波動到4.88 (°)/s，而在NCESO方法下角速率從5 (°)/s僅波動到4.95(°)/s，波動幅度從0.22 (°)/s降低到0.05 (°)/s。同理，在t=1 s時，與LCESO方法相比，采用本文提出的方法時外框架的角速度波動從0.4 (°)/s降低到0.04 (°)/s。而且，階躍響應(yīng)的超調(diào)量減小，調(diào)節(jié)時間也縮短。內(nèi)外框架的角速度波動較小表明NCESO具有更好的抗干擾能力，這也從系統(tǒng)輸出上驗(yàn)證了圖5和圖6中NCESO對速度狀態(tài)以及干擾的估計性能。

為了進(jìn)一步在時域方面驗(yàn)證NCESO的有效性，在t=0 s時給外框架幅值為5(°)/s，頻率為3 Hz的正弦參考角速度信號，內(nèi)框架為零速率鎖定狀態(tài)。外框架系統(tǒng)在NCESO和LCESO方法下的干擾估計波形如圖8所示。

圖8 外框架系統(tǒng)的觀測器干擾估計對比Fig.8 Comparison of disturbances estimates for observer of outer gimbal

從圖8中可以看出，當(dāng)外框架被給定上述正弦參考角速度信號而內(nèi)框架被零速率鎖定時，外框架受到正弦周期性擾動的影響，兩種方法下z6都可以很好地估計正弦周期集總干擾f，穩(wěn)態(tài)估計誤差不超過2%，其中NCESO的穩(wěn)態(tài)估計誤差更小。外框架在圖8所示的正弦周期擾動作用下的正弦角速度跟蹤曲線如圖9所示。從圖9中可以看出，采用LCESO方法時外框架的速度跟蹤性能較差，跟蹤誤差為1.05 (°)/s，相位滯后為6°，而使用NCESO方法時外框架具有較好的追蹤性能，速度跟蹤誤差為0.2 (°)/s，相移為1.1°。

在控制器設(shè)計中，為了補(bǔ)償干擾的影響，在控制器中增加了集總干擾的估計值。為了進(jìn)一步研究干擾補(bǔ)償后殘余干擾對框架系統(tǒng)輸出角速度的影響，以內(nèi)框架在2 s內(nèi)的鎖定狀態(tài)(即參考角速度為0 (°)/ s)為例來分析其角速度波動。圖10為兩種方法下內(nèi)框架輸出角速度波動的對比仿真結(jié)果。

圖9 外框架正弦追蹤曲線Fig.9 Sinusoidal tracking curves of outer gimbal

圖10 內(nèi)框架角速率波動對比Fig.10 Comparison of angular speed fluctuations of inner gimbal

從圖10可以看出，使用本文提出的方法，在控制器中補(bǔ)償了擾動影響后，作用在內(nèi)框架輸出角速率上的殘余擾動相當(dāng)小，速度波動小于0.05 (°)/s，與采用LCESO方法時速度波動為0.25 (°)/s相比，干擾對框架系統(tǒng)輸出角速率的影響受到顯著抑制。

為了證明本文提出的控制方法針對不匹配不確定性擾動，在內(nèi)框架零速率鎖定的情況下，分別給定外框架參考正弦和參考階躍速度信號，此時外框架電機(jī)控制力矩和滑模面波形如圖11所示。從圖11可以看出，當(dāng)我們給定的滑?？刂破髟鲆娲笥诟蓴_估計誤差的界限時，滑模面隨著控制力矩的變化不斷調(diào)整，使得滑?？刂破鞯妮敵鰧ο到y(tǒng)的不匹配不確定性干擾進(jìn)行有效抑制。此時，在系統(tǒng)穩(wěn)定的情況下，滑?？刂破髟鲆嫦鄬Σ凰闾?，從而緩解了抖振的影響。

圖11 不同參考輸入下控制力矩和滑模面波形Fig.11 Torque and sliding surface waveforms with different reference inputs

4.3 干擾抑制及動態(tài)性能實(shí)驗(yàn)

4.3.1 干擾抑制

分別在t=1 s和t=3 s時給內(nèi)外框架5 (°)/s的階躍信號，兩種復(fù)合控制方法下的實(shí)驗(yàn)效果如圖12所示。

圖12 階躍信號下框架干擾抑制性能Fig.12 Disturbances suppression performance of gimbal system under step response curves

從圖12可以看出，與LCESO相比，NCESO對于系統(tǒng)的干擾具有更好的抑制效果，內(nèi)框架角速度波動從0.5 (°)/s減小到0.2 (°)/s，外框架角速度波動從0.45 (°)/s減小到0.15 (°)/s。該實(shí)驗(yàn)結(jié)果與仿真圖7相互印證，進(jìn)一步說明本文提出方法具有良好的干擾抑制性能。

4.3.2 動態(tài)性能

框架系統(tǒng)是一個變速伺服系統(tǒng)，速度的動態(tài)跟蹤性能直接影響DGMSCMG的輸出力矩精度。為了驗(yàn)證本文提出的控制方法的動態(tài)響應(yīng)能力，在t=0 s時給外框架幅值為5 (°)/s，頻率為1 Hz的正弦參考角速度信號，之后參考信號變?yōu)榉禐? (°)/s，頻率為3 Hz的正弦信號，框架角速度的跟蹤性能如圖13所示。

圖13 正弦信號下框架動態(tài)響應(yīng)性能Fig.13 Dynamic response performance of gimbal system under sinusoidal response curves

從圖13可以看出，兩種控制方法下，速度誤差和相位延遲都隨著給定參考信號頻率的增加而增加。與LCESO相比，基于NCESO的復(fù)合控制方法具有更好的角速度跟蹤性能。使用LCESO方法時速度最大跟蹤誤差為1.8 (°)/s，相移為8°，而復(fù)合控制方法的速度最大跟蹤誤差為1.2(°)/s，相移為1.3°。該實(shí)驗(yàn)結(jié)果與仿真圖9相互印證，進(jìn)一步說明本文提出方法具有良好的動態(tài)跟蹤性能。

上述實(shí)驗(yàn)結(jié)果與仿真結(jié)果契合，進(jìn)一步證明了本文提出的基于NCESO和滑模控制的復(fù)合控制方法的有效性和優(yōu)越性。

5 結(jié) 論

本文提出了一種基于NCESO和滑模控制的復(fù)合控制方法來解決DGMSCMG框架系統(tǒng)中存在的不匹配干擾問題。針對系統(tǒng)狀態(tài)方程不滿足傳統(tǒng)CESO積分鏈形式的問題，引入坐標(biāo)變換。本文將所有干擾都認(rèn)為是集總干擾并由設(shè)計的NCESO估計，提高了狀態(tài)觀測器的估計精度。通過滑?？刂破?，可以從系統(tǒng)的輸出通道中消除集總干擾的影響，而滑?？刂破髦械拈_關(guān)增益只需比干擾估計誤差的界限大，就可以緩解抖振問題。最后，將本文提出的控制方法與LCESO和狀態(tài)反饋結(jié)合的復(fù)合控制器進(jìn)行了對比仿真和實(shí)驗(yàn)。仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文提出的方法具有更好的干擾抑制性能和動態(tài)響應(yīng)性能，內(nèi)框架角速度波動從0.5 (°)/s減小到0.2 (°)/s，外框架角速度波動從0.45 (°)/s減小到0.15 (°)/s；跟蹤正弦參考信號時，速度跟蹤誤差從1.8 (°)/s減小到1.2 (°)/s，相位滯后從8°減小到1.3°。由于在工程應(yīng)用中廣泛存在著內(nèi)部未建模動態(tài)、參數(shù)攝動以及外部干擾等多種不確定干擾，因此該方法可應(yīng)用于其他實(shí)際工程中。