鐘金標, 方 興, 王 花

(安慶師范大學 數(shù)學與計算科學學院,安徽 安慶 246133)

0 引 言

源于流體力學與固體力學等物理問題建立的多調(diào)和方程邊值問題一直是偏微分方程領域重要研究問題之一。文獻[1]利用Schaude-Tychonoff不動點定理證明了一類R2上奇異非線性雙調(diào)和方程正徑向解的存在定理,并討論了解的部分性質(zhì);文獻[2]利用變分方法研究了一類帶有雙臨界指數(shù)的雙調(diào)和方程邊值問題的非平凡解;文獻[3]通過建立一個嵌入定理,結(jié)合山路引理證明了一類漸近線性雙調(diào)和問題非平凡解的存在性;文獻[4]利用Schaefer不動點定理證明了半線性雙調(diào)和問題解的存在性與唯一性,該問題為:

文獻[5]利用上下解方法、不動點定理在洞型區(qū)域內(nèi)研究了一類雙調(diào)和方程邊值問題弱解的存在性,該問題為:

其中,Γ1、Γ2為區(qū)域Ω的內(nèi)、外邊界。

文獻[1-5]分別對雙調(diào)和方程的不同類型探討了解的存在性;文獻[6]討論了半線性橢圓型方程組邊值問題解的存在性、唯一性,該問題為:

本文考察雙調(diào)和邊值問題:

(1)

其中,B為球心在坐標原點的單位球,B∈Rn。

本文通過變量代換將雙調(diào)和邊值問題(1)式轉(zhuǎn)換為橢圓型方程組邊值問題,再利用不動點定理討論正徑向有界解的存在性。文獻[1]中研究的問題是在R2區(qū)域上進行的;本文是在Rn區(qū)域中球心在原點的單位球上討論的。本文問題(1)中非線性項函數(shù)與文獻[1]中問題的非線性項滿足的條件不同,2個問題所屬類型不同,證明相應定理使用的方法也不同;與文獻[2-5]所研究的方法、所證解的類型及非線性項范圍也不同。

在(1)式中，令-Δu=v，則(1)式轉(zhuǎn)化為方程組問題:

(2)

(2)式的徑向形式為:

(3)

給定如下假設條件H1、H2。

H1：f(s,t)關于s與t是連續(xù)單增的,且f(s,t)≥0。

1 解的存在性

定理1 若H1成立,則若(2)式有解,必是正解。

證明因為f(u,v)≥0,x∈B,所以有:

-Δv≥0,x∈B。

由上調(diào)和函數(shù)極值原理可知:v≥0,x∈B。

又因為-Δu=v≥0,再利用上調(diào)和函數(shù)極值原理知u≥0,從而(2)式的解為正解。

定理2 假定H1、H2成立,則(3)式的解必有界。

證明由(3)式中方程可得:

則有:

(4)

由H1知v′(r)≤0,因此v(r)單減。因為

所以u(r)單減。

因此

rv(r)≤-nu′(r)。

因為u′(0)=0,u′(r)連續(xù),所以存在r1∈(0,1),使得:

|nu′(r)|<1,r∈(0,r1]

(5)

由(3)式有:

因為v′(0)=0,v′(r)連續(xù),所以存在r2∈(0,1]，使得:

|nv′(r)|≤1，r∈(0,r2]

(6)

取r0=min{r1,r2}，則當r∈(0,r0]時,(5)式、(6)式同時成立,即

|rf(u(r),v(r))|<1,

|rv(r)|<1，r∈(0,r0]。

因為

所以

v(0)=v(r0)+

故v(0)有限。又因為

所以u(0)有限。

由u(r)與v(r)的單減性,結(jié)合定理1可知,(3)式若有解必為有界正解。

引理1[7](不動點定理) 設X是一個Banach空間,B是X的一個閉凸子集。若T是B到B的一個緊映射,R為一個正常數(shù),使對滿足‖V‖=R的任意V∈B,有V≠tT(V)(0≤t≤1),則T有1個不動點V∈B且‖V‖≤R。

定理3 設H1、H2成立,則(3)式存在1個有界的正徑向解。

(7)

設B={(u,v)|(u,v)∈X且u(1)=v(1)=0,u′(0)=v′(0)=0},則B是X的一個閉凸子集,且T:B→B是全連續(xù)的[8]。取常數(shù)R=τ>0充分小。

下面證明對滿足‖(u,v)‖∞=R=τ>0的任意(u,v)∈B,有(u,v)≠tT(u,v)(0≤t≤1),并且有：

‖(u,v)‖∞=max{‖u‖∞,‖v‖∞}，

假設存在(u,v)∈B,使得(u,v)=tT(u,v),則有:

從而有:

(1) 若‖(u,v)‖∞=τ=‖u‖∞，則有:

矛盾。

(2) 若‖(u,v)‖∞=τ=‖v‖∞,則由H2知，當τ充分小時,有

τ=‖v‖∞=

矛盾。

因此,由引理1知，T有1個不動點且有界,該不動點即為(3)式的有界正徑向解。

例1 考察問題:

(8)

即

因此，f(s,t)滿足H1、H2。由定理3知，(8)式存在1個有界正徑向解。

2 解的唯一性

一般雙調(diào)和方程邊值問題或非線性方程組解的唯一性不易得到,通常需要在保證解存在性條件下,通過附加適當條件得到解的唯一性。

給定以下假設條件H3。

定理4 若H3成立,則(2)式的解唯一。

證明設(u1,v1)、(u2,v2)為(2)式的2組解,則有:

從而有:

-Δ(u1-u2)=v1-v2

(9)

-Δ(v1-v2)=f(u1,v1)-f(u2,v2)

(10)

在(9)式兩邊乘以(u1-u2)、(10)式兩邊乘以(v1-v2)后在Ω內(nèi)積分,并利用Green恒等式與Poincare不等式可得:

(11)

(12)

(11)式、(12)式相加可得:

u1=u2,v1=v2。

因此,(2)式解唯一。