□胡艷英

在小學(xué)階段，教師應(yīng)設(shè)法讓學(xué)生提出自己的觀點并進行佐證，有理有據(jù)地說出自己的想法、做法，得出相對應(yīng)的結(jié)論。這樣的訓(xùn)練可以促使學(xué)生的思維更加嚴(yán)謹(jǐn)，有深度。

一、臆測教學(xué)的啟示

臺灣清華大學(xué)林碧珍教授倡導(dǎo)的小學(xué)數(shù)學(xué)臆測教學(xué)，其基本理念就是“有多少證據(jù)說多少話”。學(xué)生在學(xué)習(xí)新知識時，會在教師的引導(dǎo)下經(jīng)歷“造例—提猜想—效化—一般化—證明”這一系列學(xué)習(xí)過程，積累豐富的學(xué)習(xí)經(jīng)驗。

（一）案例再現(xiàn)：“圓的面積計算”

關(guān)于圓面積公式的推導(dǎo)，林碧珍團隊的教師花了四節(jié)課的時間進行實踐。執(zhí)教教師為學(xué)生提供了等分成不同份數(shù)的圓形紙片，供學(xué)生選擇進行探索造例，用已學(xué)過的平行四邊形、梯形、三角形的舊知來計算出圓的面積。

圓形紙片等分的情況有如下幾種：3等分，4等分，5 等分，6 等分，7 等分，8 等分，9 等分，10 等分，13等分，16等分。

學(xué)生選擇上述一種進行剪拼研究，拼成已學(xué)過的圖形，嘗試計算出圓的面積，然后在小組內(nèi)進行交流。

學(xué)生作品呈現(xiàn)剪拼類型拼成圖形 學(xué)生造例 推導(dǎo)演算常規(guī)類選擇偶數(shù)等分的，可以剪拼成類平行四邊形如：8 等分的圓可以剪拼成下面這樣的類平行四邊形images/BZ_40_1373_2127_1616_2218.pngS=ah=（1 2×2πr）×r=πr2挑戰(zhàn)類選擇奇數(shù)等分的，可以剪拼成類梯形如：5 等分的圓可以剪拼成下面這樣的類梯形images/BZ_40_1642_2098_1907_2197.pngS=（a+b）h÷2=（2 5×2πr +3 5×2πr）×r÷2=2πr×r÷2=πr2創(chuàng)想類選擇4 等分、9等 分、16 等 分的，可以剪拼成類三角形如：9 等分的圓可以剪拼成下面這樣的類三角形images/BZ_40_1936_2098_2166_2246.pngS=ah÷2=（3 9×2πr）×3r÷2=2πr×r÷2=πr2

小組派代表將猜測的結(jié)論在全班同學(xué)面前闡述。最后，教師對每一種猜想進行引導(dǎo)剖析。學(xué)生發(fā)現(xiàn)每一種情況最終都會用“半徑×半徑×3.14”來計算，從而得出圓面積的計算公式。研究到此并未結(jié)束，教師接著拋出問題：什么時候可以拼成大三角形來計算，有個數(shù)限制嗎？個數(shù)有什么特征？引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，只有當(dāng)一個圓平均分成完全平方數(shù)的個數(shù)時，大三角形才可拼成。

（二）觀課啟示

從“學(xué)習(xí)效果”的角度看，學(xué)生完全投入新課的學(xué)習(xí)之中，每個人都有自己的想法和收獲，在分享自己觀點的同時也吸納別人的不同方法，學(xué)習(xí)這件事情在每個學(xué)生身上真實地發(fā)生。雖然學(xué)習(xí)過程看起來緩慢，但學(xué)生親歷其中，人人思考，參與猜想，見證了知識的形成。在這節(jié)課中深深體會到學(xué)生是探索的主體，教師是“顧問”和“引路人”。

從“學(xué)習(xí)方法”的角度看，每個學(xué)生都有自己的選擇權(quán)，選擇自己喜歡的學(xué)習(xí)材料，剪拼成自己喜歡的熟悉的圖形來探究，沒有強制性規(guī)定，沒有單一式灌輸。在學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生有豐富的想象空間，他們按自己的想法剪拼成類平行四邊形、類梯形和類三角形，都近似地計算出圓的面積。最后歸納導(dǎo)出圓的面積計算公式是“S=πr2”。

由此可見，對于小學(xué)中高段學(xué)生，教師可以進行猜想—驗證教學(xué)。

二、教學(xué)嘗試：讓學(xué)生在猜想—驗證中獲取數(shù)學(xué)思想

認(rèn)知心理學(xué)派強調(diào)，學(xué)習(xí)中要學(xué)會質(zhì)疑。教師要引導(dǎo)學(xué)生在探索中提出問題，從而加深對知識的理解，提高學(xué)習(xí)能力。為此，在教學(xué)中，教師應(yīng)鼓勵學(xué)生大膽質(zhì)疑。

（一）操作證偽：“難成平行四邊形”

浙教版六年級下冊數(shù)學(xué)《作業(yè)本》“圓柱的側(cè)面積“練習(xí)三第1題是這樣的：

有學(xué)生在解答時提出：圖②這條虛線這么直是不科學(xué)的。

教師追問：為什么這么說？

學(xué)生上臺邊演示邊說明：我們用軟三角尺貼住側(cè)面，假設(shè)這是那條線，您看，這條線畫在平面上不可能是直的，軟尺在曲面上，這條線必定有弧度。

（說明：三角尺太硬了，用長方形紙條來圍，它薄一點更能貼牢，這條邊的弧度更加明顯。）

生：如果非要做這道題，沿圖上的直直的虛線來剪，那我只能填近似的平行四邊形了。

這是一次課后練習(xí)中發(fā)生的小插曲，學(xué)生證偽成功，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的自信瞬間提升。

（二）計算驗證：“格點法可用于多邊形面積計算”

學(xué)生一旦有了證明（驗證）的意識，思考問題的方式就會跟著發(fā)生改變。學(xué)生有了強烈的質(zhì)疑和求證的意識，其日常的學(xué)習(xí)會變得很不一樣，思維就會慢慢走向高階。

如教學(xué)人教版五年級上冊第六單元“多邊形的面積”時，在完成基本教學(xué)任務(wù)的前提下，教師讓學(xué)生思考驗證“格點法是否可以解決多邊形面積計算”（格點多邊形面積=內(nèi)格點數(shù)+邊格點數(shù)÷2-1）。學(xué)生帶著疑問開始學(xué)習(xí)。

學(xué)生小組合作，驗證過程如下：

圖形類別三角形長方形平行四邊形梯形任意多邊形具體圖形（每兩點之間距離為同一個長度單位）images/BZ_41_1411_1953_1526_2026.pngimages/BZ_41_1411_2085_1519_2167.pngimages/BZ_41_1411_2232_1527_2291.pngimages/BZ_41_1411_2360_1520_2436.pngimages/BZ_41_1411_2497_1509_2570.png常規(guī)計算（公式代入）S=ah÷2=5×2÷2=5 S=ah=4×3=12 S=ah=4×2=8 S=（a+b）h÷2=（3+6）×3÷2=13.5 S=三個圖形之和=1+1.5+7.5=10格點算法（內(nèi)格點數(shù)+邊格點數(shù)÷2-1）images/BZ_41_1804_1955_1919_2024.pngimages/BZ_41_1804_2086_1911_2165.pngimages/BZ_41_1804_2236_1905_2288.pngimages/BZ_41_1804_2366_1916_2429.pngimages/BZ_41_1804_2495_1901_2572.png2+8÷2-1=5 6+14÷2-1=12 4+10÷2-1=8 9+11÷2-1=13.5 7+8÷2-1=10結(jié)論 可以 可以 可以 可以 可以

經(jīng)過驗證，小組討論得到結(jié)論：格點法可以解決多邊形面積計算的問題。（注：多邊形應(yīng)為格點多邊形）

（三）圖解揭秘：“首同尾合十”的兩位數(shù)乘法巧算原理

乘法125×8 可以巧算，還有一些也可以巧算。比如23×27，可以用“頭×（頭+1）”也就是20×30+“尾×尾”也就是3×7 來計算等于621，這就是“首同尾合十”的兩位數(shù)乘兩位數(shù)的巧算。為什么呢？教師可以提供相應(yīng)的學(xué)習(xí)材料讓學(xué)生操作思考。

過程模型呈現(xiàn)立論驗證嘗試應(yīng)用探究數(shù)形結(jié)合舉例23×27=20×30+3×7=621①39×31=30×40+9×1=1209 √②54×56=50×60+4×6=3024 √③43×57=40×60+3×7=2421×④27×26=20×30+6×7=642 ×①39×31=30×40+9×1=1209images/BZ_42_423_1615_667_1808.pngimages/BZ_42_676_1614_874_1808.pngimages/BZ_42_491_1821_816_2026.png③43×57=40×60+3×7=2421images/BZ_42_425_2449_657_2623.pngimages/BZ_42_667_2449_881_2623.pngimages/BZ_42_465_2635_842_2864.png形成觀點可以用“頭×（頭+1）”也就是2×3作積的前兩位，“尾×尾”作積的末兩位計算發(fā)現(xiàn)①②的結(jié)果是正確的，③④的結(jié)果是錯誤的。說明并不是所有的兩位數(shù)乘兩位數(shù)都可以這樣來計算①②符合“首同尾合十”，從拼組的過程中可以看出，左下角的一塊拼到了圖形的右邊，長方形的長就正好多了10 個單位，寬不變，面積正好是“頭×（頭+1）”，此時，還剩下右下角的一個小長方形，長和寬分別為原算式中的個位上的數(shù)，也就是“尾×尾”，兩個長方形面積之和，就是原長方形的面積與上同樣操作，發(fā)現(xiàn)“頭×（頭+1）”40×60 可以實現(xiàn)，“尾×尾”3×7 出現(xiàn)，但是此時的圖形面積并不止是這兩部分之和，還多了右下角圓圈中的一部分。這種情況與“首同尾合十”算法不符，因此不能用相同的算法計算

學(xué)生利用圖形，證明理解了巧算的原理，體驗了成功的喜悅，同時使觀察、質(zhì)疑、推理、歸納、應(yīng)用等高階思維能力得到了鍛煉。

三、數(shù)學(xué)教學(xué)要指向高階思維的培養(yǎng)：在猜想驗證中從“是什么”走向“為什么”

所謂高階思維，是指發(fā)生在較高認(rèn)知水平層次上的心智活動或認(rèn)知能力，主要指創(chuàng)新能力、問題求解能力、決策力和批判性思維能力。

對小學(xué)生來說，經(jīng)歷歸納、猜想、證明（驗證）等過程是培養(yǎng)高階思維能力的有效舉措。教師授課不但要讓學(xué)生明白“是什么”，而且要讓他們明白“為什么”。

如人教版三年級下冊P65，P75 分別有兩道練習(xí)題，一道是周長相等畫不同的長方形，另一道是面積相等畫不同的長方形。兩題均有讓學(xué)生思考的要求“你能發(fā)現(xiàn)什么”。這類練習(xí)課，教師都會直指規(guī)律，那就是“周長相等時，長與寬越接近，面積越大；面積相等時，長與寬越接近，周長越小”，讓學(xué)生初步感知這個規(guī)律。如果教學(xué)止步于此，學(xué)生腦海中留下的僅僅是問題的結(jié)論。教師不妨放手讓學(xué)生進一步探索證明“為什么會這樣”，引導(dǎo)學(xué)生的思維趨向高階。

教師出示改編后的學(xué)習(xí)材料供學(xué)生探索。

1.下面每個小正方形的邊長為1 厘米。在方格紙上，畫出周長為24 厘米的長方形，你能畫幾個？（1）獨立在方格紙上畫一畫。（2）小組合作，在記錄表中有序理一理。（3）思考：周長不變時，面積怎么變？為什么？

2.三（1）班要設(shè)計一面長方形笑臉墻，現(xiàn)有1平方分米的正方形照片20 張，有多少種不同的擺法？如果給照片墻配上邊框，怎樣最節(jié)省材料，為什么？

教師引導(dǎo)學(xué)生在圖形對比、數(shù)據(jù)對比中層層深入，不斷挖掘知識的內(nèi)涵，讓學(xué)生不斷經(jīng)歷變與不變的歸納推理證明（驗證）過程，促進學(xué)生高階思維能力的提升。