內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 (641100) 蔣紅珠 劉成龍

1.問題

試題(2013年湖南卷理科第10題)設(shè)a,b,c∈R，且滿足a+2b+3c=6，則a2+4b2+9c2的最小值為．

2.問題解決

視角1 柯西不等式法

a2+4b2+9c2的最小值為12．(下文不再說明取等條件)

視角2 向量法

視角3 判別法

解法3：令f(x)=3x2+2(a+2b+3c)x+a2+4b2+9c2，則f(x)=(x+a)2+(x+2b)2+(x+3c)2≥0，又因?yàn)?>0，所以Δ=[2(a+2b+3c)]2-4×3(a2+4b2+9c2)≤0，化簡得a2+4b2+9c2≥12，所以a2+4b2+9c2的最小值為12．

視角4 琴生不等式法

解法4：令f(x)=x2，顯然f(x)=x2在(0,+)上是下凸函數(shù)，所以化簡得a2+4b2+9c2≥12，所以a2+4b2+9c2的最小值為12．

視角5 拉格朗日乘數(shù)法

視角6 球坐標(biāo)系法

3.問題推廣

(1)系數(shù)上的推廣

注：運(yùn)用柯西不等式易證推廣1．

(2)元和系數(shù)上的推廣

(3)元、系數(shù)和次數(shù)上的推廣

注：運(yùn)用權(quán)方和不等式易證推廣3．