浙江省杭州高級中學(xué) (310021) 張 睿

距離模型是中學(xué)階段常見的模型之一,包括絕對值幾何意義、兩點(diǎn)間距離、點(diǎn)到線的距離及向量中的模長等問題.本文結(jié)合具體實(shí)例談?wù)劯鶕?jù)各類距離模型的特征，通過換元法、配方法等方法將最值問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的距離模型，進(jìn)而利用圖像解決.在解決問題的過程中滲透函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想；同時(shí)也發(fā)展了數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng).

模型一：數(shù)軸上a,b兩點(diǎn)的距離|a-b|

絕對值是指一個數(shù)在數(shù)軸上所對應(yīng)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，用“||”來表示.|a-b|的幾何意義是數(shù)軸上表示a的點(diǎn)和表示b的點(diǎn)的距離.這里的a,b即可以看成常數(shù)，也可以理解為與其他變量相關(guān)的函數(shù).

圖1

分析：本題涉及絕對值差的形式，將|f(t+2)-f(t)|=|2a(3t2+6t+4)-2|，通過換元法，令m=3t2+6t+4，則|2am-2|轉(zhuǎn)化為數(shù)軸上兩點(diǎn)的距離問題.

圖2

模型二：P1(x1,y1),P2(x2,y2)兩點(diǎn)間的距離

圖3

圖4

(Ⅰ)求直線AP斜率的取值范圍；

(Ⅱ)求|PA|·|PQ|的最大值

把兩點(diǎn)看成向量的起點(diǎn)與終點(diǎn)，那么向量的模長就兩點(diǎn)間的距離.而向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算可以得到新的向量，得到新向量的模長，因此距離問題又可以和向量運(yùn)算緊密結(jié)合，滲透化歸思想，數(shù)形結(jié)合思想等數(shù)學(xué)思想.

圖5

圖6

點(diǎn)到直線的距離模型中出現(xiàn)關(guān)于x0,y0的二元一次式套絕對值形式；另外設(shè)Q是直線l上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P0到l的距離可以理解為|P0Q|的最小值.

圖7

圖8

數(shù)學(xué)模型是數(shù)學(xué)抽象的表現(xiàn)形式，通過對具體數(shù)量關(guān)系與空間形式的分析形成反映數(shù)學(xué)本質(zhì)特征的模型.由上可知，若能熟悉各類距離模型的本質(zhì)特征及它的變化特點(diǎn)，可以將函數(shù)中的絕對值問題、解析幾何中的長度問題、向量模長問題轉(zhuǎn)化距離問題形象直觀的解決，從而實(shí)現(xiàn)化繁為簡的目的.