重慶市潼南中學(xué) (402660) 彭思銳

數(shù)學(xué)探究是高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中要求的內(nèi)容之一，在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中如何進(jìn)行數(shù)學(xué)探究，是每一位數(shù)學(xué)教師都值得思考的問(wèn)題，本文通過(guò)對(duì)一道不等式題的探究過(guò)程的揭示，對(duì)數(shù)學(xué)探究的途徑作一探討.

(數(shù)學(xué)通訊2018第7期問(wèn)題征解364題)

不等式(1)結(jié)構(gòu)對(duì)稱，證明方法多樣[1]，對(duì)不等式的探究除證明方法的多樣外，還需關(guān)注與不等式(1)相關(guān)的一些問(wèn)題.為此利用柯西不等式和基本不等式給出不等式(1)的一種簡(jiǎn)捷的證明，并通過(guò)對(duì)證明過(guò)程的分析，來(lái)探究與不等式(1)結(jié)構(gòu)類似的不等式和(1)的推廣.

1.不等式(1)的證明

記不等式(1)的左端為M，整理得

分析:從證明過(guò)程可以看出，利用柯西不等式變形整理后的(2)式的左端的分子，分母分別為不等式(1)的左端的分子分母相應(yīng)的項(xiàng)的和構(gòu)成，顯然，只要(2)式右端的分子，分母的結(jié)構(gòu)不變，其證明過(guò)程也完全相同，因此，如果將不等式(1)的分子或分母的項(xiàng)進(jìn)行適當(dāng)?shù)闹亟M，擴(kuò)充，或變式，將會(huì)得到許多與(1)結(jié)構(gòu)類似的不等式.

2.不等式(1)的類似不等式

2.1 交換分子或分母的順序

若注意到(2)式右端的分子與分母分別是(1)式左端各分式的分子與分母的和，因此，只要(1)式左端分子，分母的和不變，其結(jié)論都是成立的，因此，將(1)式各分子或分母的順序交換可得新的不等式.

2.2 若將(1)各分式的分母的項(xiàng)擴(kuò)充.相應(yīng)的不等式(2)的分母的和發(fā)生變化，但其證明思路不變，從而可得結(jié)構(gòu)與(1)類似的不等式.

不等式2 已知正數(shù)ai(i=1,2,…,n)，2≤n∈N+，滿足：a1a2…an=1，求證：

不等式3 已知正數(shù)ai(i=1,2,…,n)，2≤n∈N+，滿足：a1a2…an=1，求證：

2.3 若將(1)式左端分母中的根式里面的項(xiàng)擴(kuò)充，可得結(jié)構(gòu)與(1)類似的不等式.

2.4 若將(1)式左端分母中的根式里面的項(xiàng)添加系數(shù)，可得結(jié)構(gòu)與(1)類似的不等式.

2.5 若將(1)式左端分子疊加，可得結(jié)構(gòu)與(1)類似的不等式.

不等式13 已知正數(shù)ai(i=1,2,…,n)，2≤n∈N+，滿足：a1a2…an=1，λ,μ>0，求證：

顯然，不等式(1)的左端的分子，分母的項(xiàng)的變式以及相應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)的搭配不止上述幾種，因此還可以得到許多新的不等式.

3.不等式(1)的推廣

與不等式(1)的證明類似，可以將不等式(1)左端分子的次數(shù)進(jìn)行推廣，有：

記不等式(3)的左端為N，整理得

特別地，當(dāng)T=1時(shí)有：

同不等式(1)的討論一樣，對(duì)不等式(3)和(4)的進(jìn)行變式，可得到許多結(jié)構(gòu)與(3)和(4)類似的不等式，在此不再贅述，有興趣的讀者不妨一試.