廣州大學附屬中學(510006) 朱驚濤

數(shù)學問題有好的問題和不好的問題之分,好的數(shù)學問題應有利于學生鞏固數(shù)學核心知識,訓練數(shù)學基本方法,領(lǐng)悟數(shù)學基本思想,激活數(shù)學直覺思維和邏輯思維[1].教師應有意識的選擇或提出好的數(shù)學問題作為學生探究的對象,不僅可以發(fā)展學生的核心素養(yǎng),也能夠提高自身的專業(yè)水平.以下是筆者在高三教學中遇到的一道有趣的題,并圍繞它,師生共同開展探究的歷程.

1 由一道題引起的推廣、證明及猜想

在一次套卷練習中,師生遇到這樣一道題:

問題1(河南省洛陽市2017 屆高三第三次統(tǒng)一考試數(shù)學文科) 如圖1,四邊形ABCD為直角梯形,∠ABC=90°,AD//BC,AB=,AD=10,BC=20 若AB邊上存在一點P,使得∠DPC最大,則AP=______.

圖1

其解法之一如下：以A為坐標原點,直線AB為x軸,直線AD為y軸建立直角坐標系,設(shè)點則因為所以∠DPC ∈(0,90°],當時,∠DPC=90°達到最大,所以

筆者反思此題的設(shè)計十分湊巧,若∠DPC可以是鈍角,又該如何解決?有感此問題的有趣,筆者對問題1 進行了推廣研究,把條件簡單改變后得到以下問題：

問題2如圖2,四邊形ABCD為直角梯形,∠ABC=90°,AD//BC,AD=1,BC=2,AB=3,若AB邊上存在一點P,使得∠DPC最大,則AP=______.

圖2

以下是筆者對該題的初步思考：

解由問題1,用同樣方法建系,設(shè)P(x,0),0≤x ≤3,則①.易知當x=1 或x=2 時,cos ∠DPC=0,∠DPC=90°;1＜ x＜2時,cos ∠DPC＜0,∠DPC為鈍角,故為使∠DPC最大,x應在1 到2 之間.但要求①式的最值不容易,例如用求導法就過于復雜.

考慮到此題頗有意義且會對學生構(gòu)成挑戰(zhàn),筆者在班上開展了一次有獎征答活動,宣布對第一個解出來的同學獎勵10 元,第二到第五個獎勵5 元,于是同學們躍躍欲試.讓我沒想到的是,第二天就有4 個同學做出答案,解法各有可觀,令筆者頗是驚喜.

其中有3 人的解法皆邏輯嚴謹,能自圓其說.另一名同學則是通過一個猜想意外獲得了答案.筆者讓4 位同學分別上臺講解自己的做法.試將各人想法摘錄如下：

甲:設(shè)AP=x,則PB=3-x,設(shè)∠APD=α,∠CPB=β,則tan ∠DPC=tan[π-(α+β)]=-tan(α+β),此時求∠DPC最大值可以轉(zhuǎn)化為求tan(α+β)的最小值.而如前所述,∠DPC最大為鈍角,則α+β為銳角,故tan(α+β)＞0,故1＜x＜2,②式取倒數(shù)則顯然當時③式有最大值,從而②式有最小值,解之即得又因為1＜x＜2,故

點評該生巧妙地利用正切函數(shù),把求∠DPC的最大值轉(zhuǎn)化為求tan(∠DPA+∠CPB) 的最小值,從而得到②式,再求最值就簡單了.

乙:如前所述建立直角坐標系,設(shè)點P(m,0),0≤m ≤3,則設(shè)∠DPC=θ,可得而又m2-3m+2,即(0≤m ≤3),θ最大時為鈍角,此時tanθ＜0,故1＜m＜2,以下步驟同甲相似,略.

點評該生方法雖無甲簡練,卻能綜合運用多個知識點,特別是用了數(shù)量積的兩種表達方式(定義表達與坐標表達)的等價性,成功地把問題轉(zhuǎn)化為易求解問題.

丙:如前所述建系后設(shè)P(m,0),設(shè)∠DPC=θ,則利用平面兩直線的夾角公式原理,則以下步驟同甲乙相似,略.

點評該生利用的平面兩直線的夾角公式已非現(xiàn)在教材上的內(nèi)容,筆者曾經(jīng)在課堂上補充過一次而已,但這位學生不僅記住了,而且學會了活用.事實上,該公式證明理解起來并不困難.我們作為教師,不能書上有的才講,書上沒有的就不講.丁:該生沒有能給出嚴謹?shù)慕夥?但她憑著對問題的滿腔熱情,經(jīng)過一整晚的鉆研,發(fā)現(xiàn)了一個可貴的猜想.

如圖3所示：分別延長CD和BA交于點E,則當∠DPC達到最大時,猜想有∠EDP=∠EPC,即ΔEDP∽ΔEPC.利用該猜想,設(shè)AP=x,易得EA=3,EP=3+x,ED=CD=由ΔEDP∽ΔEPC.即得即解之即得

圖3

該生用同樣方法去解問題1,答案也是正確的,但該生卻沒能嚴格證明該猜想的合理性,雖然如此,但這個猜想確實很難得,而且很可能是正確的.

筆者大力表揚和肯定了丁同學的表現(xiàn).事實上,丁同學的數(shù)學學習成績在班上是中等.但卻對新鮮事物很感興趣(有好奇心),不惜花上一整晚去研究以至耽誤了其他科的作業(yè),最終得到了一個令人耳目一新的猜想.不禁讓筆者感慨,我們的很多優(yōu)秀生解題能力很強,但卻滿足于考試考出好成績,拿高分.缺乏強烈的好奇心,缺乏對問題深入探究的興趣.學生如此,老師如此,這不正是當前高中教學中學生練多悟少的弊病所在嗎？長期以往,學生創(chuàng)造力如何能夠提升？

2 學生猜想的證明

筆者對丁同學的猜想很感興趣,一度讓其他同學嘗試去證明,可惜沒有同學能說明為什么.筆者經(jīng)過研究,發(fā)現(xiàn)問題其實不難證明.

3 學生猜想的推廣和證明

有感于丁同學的猜想能快速簡便地解決這一類問題,筆者對該型問題進行了一般化推廣.

問題3如圖4,四邊形ABCD為直角梯形,∠ABC=90°,CB//DA,CB ＞AD,點P為AB邊上一動點,分別延長CD和BA交于點E,證明：當∠DPC最大時,有△EDP∽ΔEPC.

圖4

筆者對該問題證明如下:

不妨設(shè)AD=a,AB=b,BC=c.設(shè)AP=x,由相似比可得EA=進而ED=又

圖5

為證ΔEDP∽ΔEPC,等價于證,即EP2=ED·EC,即整理得[ab+(c-a)x]2=ac(c-a)2+b2④,

又設(shè)∠APD=α,∠CPB=β.

情形1若∠DPC最大值為鈍角或銳角時,tan(α+β)取到最小值時有意義.tan(α+β)=上式可整理為即形如的形式,當上式為正數(shù)時,為使其值最小,則最大,即最小,當上式為負數(shù)時,為使其值最小,則最大,則最小,同樣是最小,綜上可知當t2=P,即時上式有最小值,即(易證該式恒有唯一正數(shù)解),顯然與④式相符.

情形2若∠DPC最大值為直角,則可知存在唯一的一個點P,恰使∠DPC=90°,此時α+β=90°,故成立且只有唯一解(因為點P唯一),整理得x2-bx+ac=0,所以Δ=b2-4ac=0,且將和b2=4ac代入④式,左邊=[ab+(c-a)x]2=ac(a+c)2=ac[(c-a)2+b2]=右邊,符合④式,命題得證.

圖6

筆者將問題3 拋出,鼓勵有興趣的同學去證明該結(jié)論.第二天,收到一位同學的手寫證明過程,該同學不僅證明基本無誤,他還注意到了一個細節(jié).即當且僅當條件a2b2≤ac[(c-a)2+b2]≤b2c2滿足時,才能使[ab+(c-a)x]2=ac[(c-a)2+b2]④式的解落在區(qū)間[0,b]上,從而才能在線段AB上找到點P使ΔEDP∽ΔEPC(問題3 的條件是點P在線段AB上).經(jīng)過與這位同學的交流和探討,筆者發(fā)現(xiàn)自己問題3 的條件設(shè)計是有漏洞的,事實上,因為筆者在條件中規(guī)定了點P在線段AB上,所以0≤x ≤b,即有ab ≤ab+(c-a)x ≤bc,從而a2b2≤ac[(c-a)2+b2]≤b2c2,也就是學生是正確的！筆者研究發(fā)現(xiàn)該不等式左邊恒成立(因為c ＞a),右邊整理后可以簡化為ac-a2≤b2,即ac ≤a2+b2⑤.

例如,當a=1,c=3,b=1 時不滿足條件⑤,此時④式的解不落在區(qū)間[0,b]上,如圖6,在線段AB上不能找到點P,使得ΔEDP∽ΔEPC,這是因為此時∠EDP為銳角,而∠EDP為鈍角,故∠EDP /=∠EPC.

不過在上述情況下,可以令點P右移取在AB的延長線上,則可以找到一個位置使得∠EDP=∠EPC,進而ΔEDP∽ΔEPC.事實上,∠DPC最大時,即 ④式要成立,條件a2b2≤ac[(c-a)2+b2]≤b2c2是為了保證④式的解符合0≤x ≤b,準確的說,是使得x ≤b,如果不要求x ≤b,則并不需要條件⑤,因為④式可解得唯一正數(shù)解可能小于等于b,也可能大于b,這說明符合ΔEDP∽ΔEPC的點必然存在射線AB上且是唯一的.且當∠DPC最大時必有ΔEDP∽ΔEPC.

至此為使問題3 的結(jié)論無誤,應該增加條件“AD·BC ≤AD2+AB2”,方可在線段上AB存在點P,使得當∠DPC最大時,有ΔEDP∽ΔEPC.又或者不增加條件,即干脆把“點P為邊AB上一動點”改為“點P為射線AB上一動點”即可.

回顧這一題的探究歷程,最讓人感到欣喜的是丁同學的猜想,這啟示我們在教學中應致力于開展好的問題的探究活動,激發(fā)學生的好奇心和求知欲,同時引導學生多悟,多反思,鼓勵堅持不懈、努力專研的探索精神,鼓勵創(chuàng)新和發(fā)現(xiàn),助力學生核心素養(yǎng)的提升.