，

(1. 桂林電子科技大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，廣西桂林541004；2. 四川省廣元市職業(yè)高級(jí)中學(xué)校，四川廣元628017)

平面向量場的分支問題是常微分方程定性理論研究中一個(gè)十分重要的內(nèi)容。 對(duì)于平面向量場中的分支理論，人們最為關(guān)注的是極限環(huán)分支，也就是研究當(dāng)系統(tǒng)的參數(shù)發(fā)生微小變化時(shí)，極限環(huán)的產(chǎn)生與消失問題。

數(shù)學(xué)大師龐加萊曾預(yù)言極限環(huán)在微分方程定性理論中將扮演“一個(gè)重要的角色”。經(jīng)過100多年的蓬勃發(fā)展，它已經(jīng)成為從事許多學(xué)科和尖端技術(shù)研究的不可缺少的數(shù)學(xué)工具，它的思想和技巧已經(jīng)滲透到數(shù)學(xué)以及其它許多分支，包括自動(dòng)控制理論[1-4]、航天技術(shù)[5-6]、生物學(xué)[7-10]、醫(yī)學(xué)[11-12]、經(jīng)濟(jì)學(xué)[13-15]等，近期的一些研究成果見文獻(xiàn)[16-17]。

目前，Lienard系統(tǒng)極限環(huán)的研究已經(jīng)取得了大量的成果，如張芷芬等[18]極限環(huán)的唯一性定理等，更多研究見文獻(xiàn)[19-20]。對(duì)一般系統(tǒng)極限環(huán)的存在性及個(gè)數(shù)問題還有待于進(jìn)一步研究。

重述李雅普諾夫分支定理[19]：考慮系統(tǒng)

(1)

其中P與Q是關(guān)于(x,y,λ)的解析函數(shù)。設(shè)參數(shù)λ=0時(shí)，系統(tǒng) (1) 以(0, 0)為中心型穩(wěn)定(不穩(wěn)定)焦點(diǎn)；參數(shù)λ>0且λ→0時(shí)，系統(tǒng) (1) 以(0, 0)為不穩(wěn)定(穩(wěn)定)焦點(diǎn)。 則對(duì)充分小的λ>0，系統(tǒng) (1) 在(0, 0)附近至少有一個(gè)穩(wěn)定(不穩(wěn)定)的極限環(huán)。

記系統(tǒng) (1) 在λ=0時(shí)對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)為

(2)

本文得到以下結(jié)果。

定理1考慮系統(tǒng) (1)，其中P與Q是關(guān)于(x,y,λ)的解析函數(shù)。系統(tǒng) (2) 以(0, 0)為中心型穩(wěn)定(不穩(wěn)定)焦點(diǎn)，λm>λm-1>…>λ2>λ1，且滿足

參數(shù)λ→λi(1≤i≤m)時(shí)，系統(tǒng) (1) 以(0, 0)為不穩(wěn)定(穩(wěn)定)焦點(diǎn)，則對(duì)充分接近λi的λ，系統(tǒng) (1)在(0, 0)附近至少有一個(gè)穩(wěn)定(不穩(wěn)定)的極限環(huán)。

注1λ→λi(1≤i≤m)包含λ→(λi)+和λ→(λi)-2個(gè)方面，這意味著對(duì)系統(tǒng) (1) 作變換λ=γ+λi時(shí)，定理中的條件轉(zhuǎn)化為γ→0+與γ→0-，顯然該條件比李雅普諾夫分支定理中的條件λ>0且λ→0稍微弱化一些，這也說明了不能僅僅通過一個(gè)簡單的變換λ=γ+λi得到定理的結(jié)論。

定理2考慮系統(tǒng) (1)，其中P與Q是關(guān)于(x,y,λ)的解析函數(shù)。系統(tǒng)(2) 以(0, 0)為中心型穩(wěn)定(不穩(wěn)定)焦點(diǎn)，在xoy平面任意有界范圍內(nèi)有關(guān)于λ的一致收斂

且當(dāng)參數(shù)λ→+∞時(shí)，系統(tǒng) (1) 以(0, 0)為不穩(wěn)定(穩(wěn)定)焦點(diǎn)，則存在M>0，使得當(dāng)λ>M時(shí)，系統(tǒng) (1) 在(0, 0)附近至少有一個(gè)穩(wěn)定(不穩(wěn)定)的極限環(huán)。

1 定理1的證明

在證明定理1之前，先證明引理1。

引理1考慮系統(tǒng)(1)，其中P與Q是關(guān)于(x,y,λ)的解析函數(shù)。若系統(tǒng)(2) 以(0, 0)為中心型穩(wěn)定(不穩(wěn)定)焦點(diǎn)，λ1>0且滿足

參數(shù)λ>0且λ→λ1時(shí)，系統(tǒng)(1)以(0, 0)為不穩(wěn)定(穩(wěn)定)焦點(diǎn)，則對(duì)充分接近λ1的λ，系統(tǒng)(1)在(0, 0)附近至少有一個(gè)穩(wěn)定(不穩(wěn)定)的極限環(huán)。

證明因?yàn)?0, 0)是系統(tǒng)(2)的中心型平衡點(diǎn)，所以存在可逆線性變換

可將系統(tǒng)(2)化為以下形式

(3)

經(jīng)過同一個(gè)線性變換，系統(tǒng)(1)化為

(4)

對(duì)系統(tǒng)(4)證明定理1的結(jié)論，這里只證括號(hào)外面的結(jié)論， 括號(hào)內(nèi)的證明類似。因?yàn)?0, 0)是系統(tǒng)(2)的中心型穩(wěn)定焦點(diǎn)，所以(0, 0)也是系統(tǒng)(4)的中心型穩(wěn)定焦點(diǎn)，根據(jù)判斷中心的形式級(jí)數(shù)法，一定存在函數(shù)

F(u,v)=u2+v2+F3(u,v)+…+F2k(u,v)

沿著方程(3)的軌線有

其中o(u,v)表示關(guān)于u、v的高于2k次的項(xiàng)之和, 常數(shù)C0>0。將上式改寫為

(5)

而右端第2項(xiàng)

(6)

總之，當(dāng)|λ-λ1|<λ0時(shí)，在環(huán)形區(qū)域H內(nèi)

注2為了證明的完整性, 本文保留了文獻(xiàn)[9]中李雅普諾夫分支定理的一部分證明過程；對(duì)于定理的括號(hào)內(nèi)的情形可知存在C0<0滿足以上表達(dá)式。

作為引理1的推廣，容易得到定理1的證明，在此略去。

對(duì)于參數(shù)λ，系統(tǒng)以(0, 0)為平衡點(diǎn)。系統(tǒng)右端函數(shù)在(0, 0)處的導(dǎo)算子為

其特征值為

當(dāng)λ>0且λ→1時(shí)，(0, 0)是不穩(wěn)定焦點(diǎn)。當(dāng)λ=0時(shí)，考慮李雅普諾夫函數(shù)F(x,y)=x2+y2。顯然有

而x=0或y=0都不是整條軌線，所以(0, 0)是穩(wěn)定的焦點(diǎn)。由定理1可知，對(duì)充分接近1的λ，系統(tǒng)在(0, 0)附近至少有一個(gè)穩(wěn)定的極限環(huán)。

推論1已知系統(tǒng)

其中m,ki∈Ν+(1≤i≤m)。則對(duì)充分接近j(1≤j≤m)的λ，系統(tǒng)在(0, 0)附近至少有一個(gè)穩(wěn)定極限環(huán)。

2 定理2的證明

總之，當(dāng)λ>M時(shí)，在環(huán)形區(qū)域H內(nèi)

對(duì)于參數(shù)λ，系統(tǒng)以(0, 0)為平衡點(diǎn)。系統(tǒng)右端函數(shù)在(0, 0)處的導(dǎo)算子為

其特征值為

當(dāng)λ?M時(shí)，(0,0)是不穩(wěn)定焦點(diǎn)。當(dāng)λ=0時(shí)，考慮李雅普諾夫函數(shù)F(x,y)=x2+y2。顯然有

而x=0或y=0都不是整條軌線，所以(0, 0)是穩(wěn)定的焦點(diǎn)。由定理2可知，對(duì)充分大的λ，系統(tǒng)在(0, 0)附近至少有一個(gè)穩(wěn)定的極限環(huán)。

3 結(jié)論