李政 楊龍才 周新 趙磊 金浩

（1.同濟大學道路與交通工程教育部重點實驗室，上海 201804；2.上海市軌道交通結(jié)構(gòu)耐久與系統(tǒng)安全重點實驗室，上海 201804；3.中國鐵道科學研究院集團有限公司鐵道建筑研究所，北京 100081）

為降低城市軌道交通環(huán)境振動給居民生活、古建筑和精密儀器等帶來的影響，往往采取使用減振扣件、減振軌道等措施［1］。調(diào)頻式鋼軌阻尼器是一種應用于振源處的軌道減振降噪措施，能夠顯著增加鋼軌阻尼，達到減振降噪目的，目前被廣泛應用。

Thompson［2］通 過 現(xiàn) 場 測 試 發(fā) 現(xiàn) ，鋼 軌 的 一 階Pinned?pinned（PP）共振是引起鋼軌輻射噪聲和鋼軌波磨的主要原因，可采用鋼軌阻尼器控制鋼軌的一階PP共振。Maes等［3］研究發(fā)現(xiàn)雙調(diào)諧軌道阻尼器能夠加強PP共振頻率范圍內(nèi)的衰減率。通過研究總結(jié)鋼軌振動特性，Croft等［4］研發(fā)出調(diào)頻式鋼軌阻尼器（Tuned Rail Damper，TRD）。此后，各種TRD被應用于軌道結(jié)構(gòu)的減振降噪中。

文獻［5］通過參數(shù)分析研究了TRD的質(zhì)量、調(diào)諧頻率、列車運行速度等參數(shù)對軌道結(jié)構(gòu)振動的影響。文獻［6］通過有限元計算和理論推導分析TRD對鋼軌振動的影響，發(fā)現(xiàn)當TRD相對較長時，其一階彎曲共振可能會影響軌道的振動特性。文獻［7］發(fā)現(xiàn)TRD的剛體運動會導致軌道振動的能量耗散，因此彈簧質(zhì)量模型能夠滿足分析要求。文獻［8］基于傅里葉變換方法，研究了軌道結(jié)構(gòu)動力學特性受鋼軌阻尼器參數(shù)的影響。

文獻［9］通過試驗對約束型阻尼鋼軌的振動進行分析，發(fā)現(xiàn)安裝約束型阻尼器后鋼軌高頻范圍內(nèi)的振動衰減率明顯大于未安裝約束型阻尼器的振動衰減率。文獻［10］利用室內(nèi)消聲測試方法對安裝有迷宮式約束阻尼鋼軌的振動和噪聲特性進行了研究。文獻［11］對安裝TRD的鋼軌振動衰減率進行了測試，認為TRD大大提高了鋼軌特定頻段內(nèi)的振動衰減率。

既有TRD對振動衰減率影響的研究主要集中在TRD參數(shù)選取方面，而關(guān)于TRD安裝位置對振動衰減率影響的研究較少。本文基于譜元法，建立計算模型，結(jié)合譜傳遞矩陣得出鋼軌振動衰減率，研究調(diào)頻式鋼軌阻尼器安裝位置對鋼軌振動衰減率的影響。

1 計算方法

1.1 簡化模型

鋼軌用Timoshenko梁模擬，扣件視為彈簧-質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)［12］，TRD被簡化為懸掛在鋼軌單元節(jié)點處的質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)，計算模型見圖1。其中：Ku，Kd分別為軌下墊板、減振器的剛度，kN/mm；Cu，Cd分別為軌下墊板、減振器的阻尼；ms為鐵墊板質(zhì)量，kg；K1，K2，K3為阻尼器剛度，kN/mm；m1，m2為阻尼器質(zhì)量，kg。

圖1 計算模型

1.2 譜傳遞矩陣

材料均勻一致的等截面自由振動的Timoshenko梁運動方程為

式中：v為梁橫向位移，m；φ為梁截面轉(zhuǎn)角，rad；E為楊氏彈性模量，GPa；I為截面慣性矩，m4；G為剪切模量，GPa；A為梁橫截面面積，m2；ρ為梁密度，kg/m3；κ為剪切矯正因子，無量綱。

式（1）的解寫成譜分量形式為

式中：N為時域采樣點數(shù)；ωn為圓頻率；t為時間。

將式（2）代入式（1），得

式（3）的一般解為

式中：v0，φ0為系數(shù)；k(ωn)為波數(shù)。

為方便表達，用k指代k(ωn)，用ω指代ωn。

將式（4）代入式（3），可得Timoshenko梁自由振動時的特征值問題，即

令式（5）中矩陣的行列式等于0，得頻散關(guān)系

解式（6）可得波數(shù)k的4個解

由式（5）可得v0和φ0幅值比

綜上，式（3）的解為

式中：B1，B2，B3，B4為待定系數(shù)項；kt=k1=-k2，含 kt的項表示往右傳播的波；ke=k3=-k4，含ke的項表示往左傳播的波。

根據(jù)譜元法，將相鄰軌枕間的鋼軌劃分為1個Timoshenko梁單元，梁單元長為P，鋼軌梁兩端軌枕節(jié)點相當于梁單元的邊界。譜節(jié)點位移向量和荷載向量分別為

對于自由振動的Timoshenko梁單元，梁內(nèi)部橫向剪切力V和彎矩M表達式分別為V= κGA(?v/?x- φ)，M=EI?φ/?x。

綜上，譜元法鋼軌單元的節(jié)點位移和結(jié)點力的關(guān)系為

式中：D（ω）為譜元法鋼軌單元的譜剛度矩陣；d為譜單元節(jié)點的廣義位移向量；f（ω）為廣義力向量。

為方便推導，將梁單元的所有節(jié)點自由度分成3部分：左端（L）、內(nèi)部（Z）和右端（R）。下文中下標中的L，R分別代表左端、右端。

譜剛度矩陣D（ω）可以表示為

由于梁單元內(nèi)部自由度不受外力，故f（Z）=0。

式中：Ti1為第i個元胞的譜傳遞矩陣；，分別為第i個元胞中鋼軌左、右兩邊的狀態(tài)向量。

綜上，可得鋼軌單元的譜傳遞矩陣為

利用上述關(guān)系，可以得到鋼軌元胞模型左右兩端狀態(tài)向量的傳遞矩陣為

考慮到TRD的穩(wěn)態(tài)動力學特性可用附加動剛度來描述，TRD單元對鋼軌梁的附加動剛度Dr表達式為

考慮附加質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)僅與鋼軌單元的垂向位移自由度耦合，所以其譜單元剛度矩陣為

此時，鋼軌單元的動態(tài)運動方程為

在譜元法中，軌下支承單元的譜傳遞矩陣的推導方法與鋼軌單元譜傳遞矩陣的推導方法類似。

1.3 振動衰減率計算方法

作為鋼軌的動態(tài)參數(shù)，振動衰減率指鋼軌振動沿鋼軌前進方向能量（振幅）傳遞的變化率，單位為dB/m。如果在某一頻率范圍軌道衰減率較小，表示此頻率范圍內(nèi)軌道系統(tǒng)的動態(tài)阻尼較低，鋼軌振動不能得到有效抑制。

由BLOCH定理，把式（16）轉(zhuǎn)換成標準矩陣特征值問題，即

式中：I為2階單位矩陣；kx為一維BLOCH波矢。

對于圖1所示的懸掛有TRD系統(tǒng)的軌道結(jié)構(gòu)，T的表達式為

式中：TF為軌下支承的譜傳遞矩陣；TR1，TR2分別為TRD安裝在右、左節(jié)點的鋼軌單元譜傳遞矩陣。

對復波數(shù)k=kr+iki（ki為負數(shù)）的一個單波，每傳播1 m，振幅減少exp（ki），衰減率可表示為Δ=-20lg[exp(ki)]=-8.686ki，即衰減率為波矢虛部的-8.686倍。因此求得波矢kx與頻率ω的關(guān)系后，可通過Δ=-8.686Im(kx)求得鋼軌振動衰減率。

本模型中，BLOCH波矢的解總以±kx的形式成對出現(xiàn)，分別反映同一種波沿相反方向的傳播特性。

2 TRD對振動衰減率的影響

計算模型中各部件振動衰減率參數(shù)見表1。

表1 振動衰減率參數(shù)

計算未安裝TRD時振動衰減率，結(jié)果見圖2?？芍壍澜Y(jié)構(gòu)縱向存在2種形式的波。一種波在全頻段都有較高的衰減率，只有在83，450 Hz附近小范圍內(nèi)衰減率低于10 dB/m，說明這種波很難沿著軌道結(jié)構(gòu)縱向傳遞，稱之為衰減波；相反，另一種波只在某些頻段維持較高的衰減率，其余頻段軌道衰減率接近0，稱之為傳播波。鋼軌振動特性主要由傳播波決定。在研究鋼軌振動特性時，只需要考慮傳播波的衰減率。

圖2 未安裝TRD時的振動衰減率

分別計算安裝TRD前后鋼軌的振動衰減率，其對比結(jié)果見圖3。

圖3 安裝TRD前后鋼軌振動衰減率對比

從圖3可知，TRD對振動衰減率影響很大。未安裝TRD時，只有0～83 Hz及450 Hz附近衰減率較高。在1 000 Hz（鋼軌的一階PP共振頻率）附近衰減率雖然也出現(xiàn)峰值，但相對較小，對鋼軌振動的抑制效果不大。彈性波在沿鋼軌縱向傳播的過程中會在特定頻段出現(xiàn)振動衰減率突然增大現(xiàn)象，表示此頻率范圍內(nèi)軌道系統(tǒng)的動態(tài)阻尼較高，鋼軌的振動得到有效抑制，這些特定的頻率范圍稱為帶隙。

安裝TRD后，軌道結(jié)構(gòu)在保持原有帶隙基本不變的同時，在300，1 700 Hz附近均出現(xiàn)新的帶隙。在鋼軌一階PP共振頻率附近的帶隙被大大拓寬，相應的衰減率峰值也得到提高，說明TRD能夠在自身工作頻率范圍內(nèi)有效抑制鋼軌振動。

3 TRD安裝位置偏差對振動衰減率的影響

工程中要求TRD對稱安裝于鋼軌軌腰兩側(cè)。事實上TRD的安裝位置會有一定偏差。為了研究TRD安裝偏差對振動衰減率的影響，分別計算不同l取值下軌道的振動衰減率，見圖4，其中l(wèi)為從鋼軌阻尼器中心到鋼軌跨中距離的2倍。無偏差時l=0。

圖4 不同l取值下軌道的振動衰減率

從圖4（a）可以看出，l=0.001 mm時，曲線與l=0幾乎重合，說明當l取值特別小時l的取值不會對振動衰減率產(chǎn)生影響。增大l的取值，當l=0.01 mm時，振動衰減率在1 400 Hz附近出現(xiàn)新的帶隙，說明此時TRD的安裝位置開始對振動衰減率產(chǎn)生影響。

繼續(xù)增大l的取值，從圖4（b）可以看出，隨著l從0.1 mm增大到0.3 mm，新出現(xiàn)的帶隙被不斷拓寬，同時衰減率峰值也有一定程度增加，但兩側(cè)帶隙變窄。l=0.3 mm時，新出現(xiàn)的帶隙達到最寬，而相應的兩側(cè)帶隙幾乎消失。

從圖4（c）可以看出，增大l至0.4 mm時，軌道衰減率出現(xiàn)了與之前相反的變化趨勢，新出現(xiàn)的帶隙開始變窄，相應的兩側(cè)帶隙變寬。l增大至0.4，0.5 mm，新出現(xiàn)的帶隙寬度持續(xù)減小。

從圖4還可以看出，TRD安裝位置發(fā)生變動時，振動衰減率僅在500 Hz以上有較大變動。

綜上，可以認為TRD的安裝位置偏差會對振動衰減率產(chǎn)生影響，且只體現(xiàn)在500 Hz以上高頻部分，對于500 Hz以內(nèi)的振動衰減率幾乎不會產(chǎn)生影響。

4 結(jié)論

本文基于譜元法，建立了鋼軌、扣件、調(diào)頻式鋼軌阻尼器（TRD）計算模型，結(jié)合譜傳遞矩陣，得出鋼軌振動衰減率，并對TRD安裝位置對鋼軌振動衰減率的影響進行了分析，結(jié)論如下：

1）TRD能大幅度提高在自身工作頻率附近的振動衰減率，合理選擇TRD的參數(shù)能有效控制軌道結(jié)構(gòu)的振動。

2）TRD的安裝偏差會對振動衰減率產(chǎn)生影響，且主要體現(xiàn)在500 Hz以上的高頻部分，對500 Hz以內(nèi)的振動衰減率幾乎不會產(chǎn)生影響。