廣東省中山市濠頭中學(xué) (528437) 閆 偉

1.試題呈現(xiàn)

例1 (2019年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽四川預(yù)賽試題)設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,3)，點(diǎn)B,C為圓O:x2+y2=25上的兩動(dòng)點(diǎn)，滿足∠BAC=90°，求ΔABC面積的最大值．

分析：本賽題以圓為背景，考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)、不等式等知識(shí)以及轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想，突出考查學(xué)生對(duì)數(shù)量關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化與運(yùn)算能力以及推理論證能力，對(duì)考生的思維水平和數(shù)學(xué)素養(yǎng)有較高的要求；試題平中見奇，內(nèi)涵豐富，解法多樣，是一道值得探究的好題.

2.解法探究

解法1：如圖1所示，設(shè)B(x1,y1),C(x2,y2),P(x,y)為線段BC的中點(diǎn)，則有

圖1

評(píng)注：本解法是參考答案提供的，在解決過程中先利用B,C點(diǎn)坐標(biāo)確定線段BC中點(diǎn)P的軌跡，再根據(jù)點(diǎn)P的軌跡計(jì)算中線長AP的范圍，然后利用均值不等式將直角三角形的面積轉(zhuǎn)化成關(guān)于三角形斜邊中線的表達(dá)式，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想及坐標(biāo)法的運(yùn)用.

圖2

評(píng)注：解法2從三角函數(shù)的視角解題，引入角∠OAB作為參變量，根據(jù)定長OA計(jì)算點(diǎn)O到兩直角邊的距離，然后根據(jù)勾股定理用角∠OAB表示兩直角邊AB,AC從而得出面積關(guān)于參變量的表達(dá)式，再利用柯西不等式和三角恒等變換解決面積最大值；相比較解法1，雖然運(yùn)算量不少，但利用函數(shù)和不等式的思想方法是解決幾何中最值的常用方法，這種通性通法在數(shù)學(xué)解題中起著至關(guān)重要的作用，在平時(shí)的解題教學(xué)中要注重這種通性通法，重視知識(shí)的生成過程，培養(yǎng)學(xué)生分析、解決問題的能力.

圖3

先給出矩形的一個(gè)性質(zhì)：如圖3，已知P為矩形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，則|PA|2+|PC|2=|PB|2+|PD|2.

證明：以AB,AD所在直線為x,y軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)A(0,0),B(a,0),C(a,b),D(0,b)，另設(shè)P(x,y)，則有|PA|2+|PC|2=x2+y2+(x-a)2+(y-b)2,|PB|2+|PD|2=(x-a)2+y2+x2+(y-b)2,顯然有|PA|2+|PC|2=|PB|2+|PD|2.下面用此結(jié)論解決上面的賽題.

圖4

評(píng)注：解法3借助了平面幾何中矩形的一個(gè)優(yōu)美結(jié)論，先通過直角構(gòu)造矩形，利用矩形結(jié)論確定OD長度和矩形對(duì)角線AD，再引入∠CAD作為參變量表示三角形的面積，結(jié)合三角形的邊與邊關(guān)系建立面積的不等式，從而計(jì)算面積最大值；本解法相比較前2種解法，純粹從平面幾何的角度思考，巧借矩形結(jié)論，簡化了推理和運(yùn)算過程，具有直觀、簡潔的特點(diǎn)，方法新穎獨(dú)到.在各類試題中具有隱性矩形的問題可以參考此法.

3.拓展應(yīng)用

上述解法是借助矩形的性質(zhì)巧妙解決了與面積相關(guān)的線段長度問題，進(jìn)而達(dá)到解決面積最值這一目標(biāo)；解析幾何通常用代數(shù)的工具解決幾何問題，平常解題中我們注重解幾的代數(shù)運(yùn)算，輕視了幾何推理；實(shí)質(zhì)上解析幾何問題的本質(zhì)是幾何問題，它們本身包含一些重要的幾何性質(zhì)，若能挖掘出題目中蘊(yùn)含的平面幾何元素，充分利用平面幾何知識(shí)，則可以避開繁瑣的運(yùn)算，使解題過程簡化，方法簡潔優(yōu)美，更好的揭示這類問題的幾何性質(zhì).因此，解析幾何問題應(yīng)該將解析法與平面幾何方法相結(jié)合，通過深思引領(lǐng)運(yùn)算，從而得到解題的最優(yōu)方法，這不僅是解決幾何問題減少運(yùn)算的法寶，還可以更好的提高解題能力 .下面就這一性質(zhì)的應(yīng)用做些拓展研究，能快速有效的解決這一類問題，可謂是“小結(jié)論，大用途”.

圖5

圖6

例3 如圖6，在平面坐標(biāo)系xOy中，已知B,C為圓x2+y2=4上兩點(diǎn)，點(diǎn)A(1,1)，且AB⊥AC,則線段BC的長度的取值范圍是.

評(píng)注：通過直角關(guān)系構(gòu)造矩形,結(jié)合矩形性質(zhì)確定動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程，再將線段BC的長度轉(zhuǎn)化成動(dòng)點(diǎn)P與兩定點(diǎn)O、A的距離的關(guān)系從而得出結(jié)果，解題過程直觀、簡潔.

圖7

解：如圖7,設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)為F1,F2,設(shè)PA,PB與橢圓相切(切點(diǎn)為A,B)，且PA⊥PB.作F1關(guān)于PA,PB的對(duì)稱點(diǎn)分別為F1′,F1″，連接F1F1′,F1F1″分別于PA,PB交于M,N兩點(diǎn).由橢圓的光學(xué)性質(zhì)可知：F1,A,F2三點(diǎn)共線，F(xiàn)1″,B,F2三點(diǎn)共線.因?yàn)閨F2F1′|=|AF1|+|AF2|=2a,所以得|OM|=a；同理|F2F1″|=

|BF1|+|BF2|=2a,得|ON|=a，由于F1MPN為矩形，于是有|OF1|2+|OP|2=|OM|2+|ON|2,所以|OP|2+c2=2a2，又c2=a2-b2，故|OP|2=a2+b2,從而點(diǎn)P的軌跡方程為x2+y2=a2+b2.

評(píng)注：上述結(jié)論中的點(diǎn)P的軌跡就是著名的蒙日?qǐng)A,借助矩形的性質(zhì)和橢圓的光學(xué)性質(zhì)可以快速的得到結(jié)論，相比較傳統(tǒng)的方法利用切線的斜率作為參量，聯(lián)立直線與橢圓計(jì)算而言，極大的減少運(yùn)算和推理論證過程，充分體現(xiàn)了妙用平面幾何性質(zhì)巧解解析幾何問題的思想方法.

5.結(jié)語

數(shù)學(xué)家波利亞曾說過：“掌握數(shù)學(xué)就意味著善于解題” .引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)解題是數(shù)學(xué)新課標(biāo)教學(xué)的重要組成部分；數(shù)學(xué)問題的解決僅僅是一個(gè)開端，更重要的是解題后的反思與回顧；遇到一道經(jīng)典題目，需要從多角度、深層次探求其解法，從不同的思維角度分析同一道試題，可以得到不同的解法，從數(shù)學(xué)知識(shí)本身的角度看，可以發(fā)現(xiàn)知識(shí)之間的相互聯(lián)系，體會(huì)轉(zhuǎn)化的過程，還可以構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)體系，從而學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中不僅掌握了基本的解題技能，還培養(yǎng)了思維的廣闊性、深刻性、靈活性以及創(chuàng)新性，讓學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)內(nèi)容有一個(gè)整體認(rèn)識(shí)，并將知識(shí)融會(huì)貫通，舉一反三，開闊視野，活躍思維，才能實(shí)現(xiàn)解題研究價(jià)值的最大化.