黃小燕,陳鳳德

(福州大學數(shù)學與計算機科學學院,福建 福州 350108)

0 引言

在自然界中有許多物種都需要經歷不同的生命階段,從幼年到成年,從不成熟到成熟等.物種在不同階段有不同的特征,為了更貼切實際情況,學者們提出了階段結構單種群模型.文獻[1]的研究結果表明階段結構單種群模型當幼年種群的出生率足夠小時,種群最終會絕滅,反之種群會長久生存.Allee效應是當前研究的熱點，很多學者在各種生物模型上進一步考慮Allee效應的影響[2-12].文獻[2]提出了出生率具有Allee效應和非線性轉化率的階段結構蚊子模型,探討了正平衡點存在性以及局部穩(wěn)定性，但沒有研究平衡點的全局穩(wěn)定性及其分支現(xiàn)象.由于文獻[2]沒有考慮到成年種群的密度制約項,導致系統(tǒng)的平衡點存在條件和局部穩(wěn)定性探討相對簡單.有鑒于此，本研究將在單種群階段結構模型的基礎上,在出生率中考慮了Allee效應,研究其動力學行為.

1 模型

本研究在文獻[1]模型的基礎上進一步考慮幼年種群出生率具有Allee效應的階段結構單種群模型:

(1)

這一模型與文獻[2]中模型相比較,表面上未考慮幼年種群的非線性轉化率等,但進一步考慮了成年種群的密度制約作用,這使得系統(tǒng)會產生與文獻[2]中不一樣的新的動力學行為.

2 平衡點的存在性

無論系統(tǒng)(1)的參數(shù)如何變化,其總是存在唯一一個邊界平衡點E0(0,0).接下來,討論系統(tǒng)(1)正平衡點的存在情況.

定理1Ⅰ) 當α<α2時,系統(tǒng)(1)沒有正平衡點;

Ⅱ)當α=α2時,系統(tǒng)(1)只有唯一一個正平衡點E*(x*，y*);

(2)

2) 當Δ=0時,得到α=α1或α=α2. 若α=α1,系統(tǒng)(1)不存在正平衡點; 若α=α2,系統(tǒng)(1)存在唯一一個正平衡點E*(x*,y*),其中x*,y*見方程(2).

3 平衡點的穩(wěn)定性

系統(tǒng)(1)在E0(0,0)處的雅可比矩陣為:

所以其有兩個特征值分別為λ1=-(β+δ1)<0,λ2=-δ2<0.則E0(0,0)是局部漸近穩(wěn)定的.

證明 構造Lyapnov函數(shù)V(x,y)=(σγ+δ2)x+αy.顯然,V(x,y)是定義在x>0,y>0上的連續(xù)正定函數(shù),V(x,y)沿著系統(tǒng)(1)的導數(shù)為:

正平衡點的雅可比矩陣的跡trJ=-(β+δ1+δ2+2γy)<0.正平衡點的雅可比矩陣的行列式為

首先,本研究先通過變換(X,Y)=(x-x*,y-y*)將E*平移到原點處,并在原點作冪級數(shù)展開,系統(tǒng)(1)變?yōu)椋?/p>

(3)

其中:P1(X,Y)是包含項XiYj(i+j≥6)的冪級數(shù).

然后再做變換

則系統(tǒng)(3)變?yōu)?/p>

(4)

其中:P2(u,v),P3(u,v)都是包含項uivj(i+j≥6)的冪級數(shù).

最后令dτ=(a1+b2)dt,系統(tǒng)(4)變成

4 分支

定理3系統(tǒng)參數(shù)滿足臨界條件

系統(tǒng)(1)存在一個鞍結分支,此時

且α作為分支參數(shù).

證明 系統(tǒng)(1)在平衡點E*處雅可比矩陣的行列式為0,所以J(E*,αSN)有一個零特征值,不妨記為λ.令V和W分別為矩陣J(E*,αSN)和J(E*,αSN)T的屬于特征值λ的特征向量,則

WTFα(E*;αSN)≠0,WT[D2F(E*;αSN)(V,V)]≠0

由文獻[4]中的Sotomayor’s定理知系統(tǒng)(1)在E*處有一個鞍結分支.證畢.

5 數(shù)值模擬

2) 設置參數(shù)α=0.4,β=0.2,δ1=0.3,δ2=0.1,γ=0.2.① 取σ=0.5,此時E0(0,0)全局穩(wěn)定,見圖3,紅黃藍綠分別表示初值為(0.7,0.3),(0.9,1.2),(1.7,2.1),(2.8,1).② 取初值(0.7,0.3),紅黃藍綠分別表示σ=0.5,0.9,1.2,2.5,E0(0,0)全局穩(wěn)定,見圖4,相同初值,σ越大則解趨于(0,0)的時間越短.

圖3 E0全局穩(wěn)定Fig.3 Global stability of E0

圖4 Allee效應對E0趨于平衡的速度影響Fig.4 The effect of the Allee effect on the speed at which E0 tends to balance

6 結論