陶小會，李國龍，徐 凱，李傳珍

（重慶大學(xué)機械傳動國家重點實驗室，重慶400044）

隨著制造業(yè)的快速發(fā)展，對數(shù)控機床加工精度的要求越來越高。影響數(shù)控機床加工精度的因素包括幾何誤差、熱誤差、力誤差和伺服誤差等，其中幾何誤差所占比例較高。提高數(shù)控機床加工精度的方法有精度設(shè)計和誤差補償［1］，但蝸桿砂輪磨齒機等機床的結(jié)構(gòu)復(fù)雜，誤差種類多，盲目進行精度設(shè)計和誤差補償?shù)某杀靖摺⑿实颓译y以取得較好的效果。因此，通過建立機床幾何誤差模型，識別影響機床空間精度的關(guān)鍵幾何誤差項，對機床精度設(shè)計和誤差補償有理論指導(dǎo)意義。

常用的機床幾何誤差建模理論包括多體系統(tǒng)理論［2-4］、剛體運動學(xué)理論［5］和齊次坐標變換理論［6-8］等，但基于上述理論的幾何誤差建模過程較復(fù)雜，需要在每個運動軸上建立局部坐標系。旋量理論［9-10］可以在全局坐標系下描述剛體運動，簡化了建模過程，被廣泛應(yīng)用于機器人領(lǐng)域，但較少用于機床運動學(xué)建模。對于幾何誤差的敏感度分析，國內(nèi)外許多學(xué)者進行了研究，例如：黃強等［11］對影響滾齒機加工精度的關(guān)鍵誤差源進行了識別；程強等［12］利用矩陣微分法識別出機床的關(guān)鍵幾何誤差；Chen等［13］利用矩陣微分法對五軸數(shù)控機床的37個幾何誤差進行了敏感度分析；Cheng等［14］基于Sobol法識別了立式加工中心的關(guān)鍵幾何誤差；Zou 等［15］采用基于方差的敏感度分析方法，研究了三軸金剛石車床中每個誤差源對加工誤差的影響；廖琳［16］利用敏感度分析理論分析了影響機床姿態(tài)誤差的主要幾何誤差；Guo等［17］通過擴展傅里葉振幅敏感度測試（extended Fourier amplitude sensitivity test，EFAST）法確定了每個幾何誤差對機床空間精度的影響；Cheng等［18］提出了一種基于指數(shù)螺旋理論和Morris 法的誤差敏感度分析方法，并將它用于機床加工精度全局敏感度分析；夏長久等［19］建立了幾何誤差-齒面誤差模型，并基于Morris法識別了影響磨齒機精度的關(guān)鍵幾何誤差。綜上所述，目前幾何誤差敏感度研究主要針對通用機床，而較少關(guān)注蝸桿砂輪磨齒機。

為此，筆者提出一種基于旋量理論和Sobol法的蝸桿砂輪磨齒機幾何誤差敏感度分析方法。首先，基于旋量理論建立蝸桿砂輪磨齒機幾何誤差模型；然后，采用Sobol法對蝸桿砂輪磨齒機磨削過程進行幾何誤差敏感度分析；最后，修正蝸桿砂輪齒磨機的關(guān)鍵幾何誤差項，通過仿真分析對比修正前后機床的空間誤差分量和3種測量模式下球桿儀的桿長，以驗證敏感度分析結(jié)果的正確性和有效性。

1 蝸桿砂輪磨齒機幾何誤差建模

1.1 旋量理論

根據(jù)Chasles定理，任意剛體的運動都可以通過繞某一軸的轉(zhuǎn)動加上沿該軸的移動來實現(xiàn)，該組合運動稱為旋量運動。假設(shè)運動旋量，其中為旋轉(zhuǎn)方向的單位向量為移動方向的單位向量，運動位移為θ，則剛體運動變換矩陣可以用運動旋量的指數(shù)表示：

式中：

對于平動軸，當w = 0時，有：

對于旋轉(zhuǎn)軸，當w ≠0時，有：

運動鏈中的剛體經(jīng)過一定轉(zhuǎn)動和移動之后，第n個剛體相對于基座標系的運動變換矩陣可表示為：

式中：gbn(0)為初始位置時第n 個剛體相對于基座標系 的 運 動 變 換 矩 陣；ξi(i = 1，2，…，n) 和θi(i =1，2，…，n)分別表示第i 個剛體的運動旋量和運動位移。

1.2 蝸桿砂輪磨齒機幾何誤差分析

YW7232 型蝸桿砂輪磨齒機如圖1 所示。由于制造缺陷和裝配誤差，蝸桿砂輪磨齒機工作時會產(chǎn)生幾何誤差，這些幾何誤差可分為位置相關(guān)幾何誤差和位置無關(guān)幾何誤差。蝸桿砂輪磨齒機有3個直線軸（X 軸、Y 軸、Z 軸）和3 個旋轉(zhuǎn)軸（A 軸、B 軸、C 軸），其中：B軸為電主軸，精度高，可忽略其幾何誤差；其余每軸運動時均會產(chǎn)生6 項位置相關(guān)幾何誤差。以X軸為例，X 軸運動時會產(chǎn)生沿X 方向的定位誤差δx(x)，滾轉(zhuǎn)誤差εx(x)，沿Y、Z 方向的直線度誤差δy(x)、δz(x)，俯仰誤差εy(x) 以及偏轉(zhuǎn)誤差εz(x)。同時，蝸桿砂輪磨齒機還存在11項位置無關(guān)幾何誤差，包括直線軸間的3項垂直度誤差（φzy、φxy、φxz）以及旋轉(zhuǎn)軸的8項安裝誤差（δya、δza、φya、φza、δxc、δyc、φxc、φyc）。綜上，蝸桿砂輪磨齒機共有41項幾何誤差，具體誤差項及對應(yīng)編號如表1所示。

1.3 基于旋量理論的幾何誤差建模

蝸桿砂輪磨齒機的拓撲結(jié)構(gòu)如圖2所示，主要由2 個分支組成：刀具分支和工件分支。其中，刀具分支由機床床身、X軸、Z軸、A軸、Y軸、B軸和刀具組成；工件分支由機床床身、C軸和工件組成。

蝸桿砂輪磨齒機有3個移動軸和3個旋轉(zhuǎn)軸，理想情況下，機床的旋量運動為沿X軸移動x、沿Y軸移動y、沿Z 軸移動z、繞A 軸轉(zhuǎn)動角度a、繞B 軸轉(zhuǎn)動角度b、繞C軸轉(zhuǎn)動角度c。以A軸為例分析誤差運動旋量，A軸的位置無關(guān)幾何誤差運動可以用2組旋量運動表示：沿Y軸移動δya，繞Y軸轉(zhuǎn)動角度φya，記為ξeya；沿Z 軸移動δza，繞Z 軸轉(zhuǎn)動角度φza，記為ξeza。A 軸的位置相關(guān)幾何誤差運動可以用3組旋量運動表示：沿X 軸移動δx(a)，繞X 軸轉(zhuǎn)動角度εx(a)，記為ξex(a)；沿Y軸移動δy(a)，繞Y 軸轉(zhuǎn)動角度εy(a)，記為ξey(a)；沿Z 軸移動δz(a)，繞Z軸轉(zhuǎn)動角度εz(a)，記為ξez(a)。蝸桿砂輪磨齒機各軸的理想運動旋量ξij和誤差運動旋量ξej如表2所示，其中j = x，y，z，a，b，c。

圖1 YW7232型蝸桿砂輪磨齒機示意圖Fig. 1 Schematic diagram of YW7232 worm wheel gear grinding machine

表1 蝸桿砂輪磨齒機幾何誤差及對應(yīng)編號Table 1 Geometric errors and corresponding numbers of worm wheel gear grinding machine

圖2 蝸桿砂輪磨齒機拓撲結(jié)構(gòu)Fig. 2 Topology structure of worm wheel gear grinding machine

由旋量理論可知，工件相對于機床的運動變換矩陣可表示為：

刀具相對于機床的運動變換矩陣可表示為：

則刀具相對于工件的運動變換矩陣為：

理想情況下，刀具相對于工件的運動變換矩陣為：

式中：θji表示理想情況下j軸的運動位移表示理想情況下j軸的運動變換矩陣。

實際情況下，刀具相對于工件的運動變換矩陣為：

式中：θjr表示實際情況下j軸的運動位移；eξ^jrθjr表示實際情況下j軸的運動變換矩陣，以A軸為例，實際情況下A軸的運動變換矩陣

則誤差矩陣E可表示為：

表2 蝸桿砂輪磨齒機各軸的運動旋量Table 2 Motion screw of each axis of worm wheel gear grinding machine

基于六自由度理論和小誤差假設(shè)理論，E又可表示為：

式中：Δx、Δy、Δz，Δα、Δβ、Δγ 分別表示刀具相對于工件沿X、Y、Z方向的位置誤差分量和角度誤差分量，統(tǒng)稱為空間誤差分量。

2 蝸桿砂輪磨齒機幾何誤差敏感度系數(shù)計算

2.1 Sobol法

Sobol法是基于方差分解的改進蒙特卡洛方法。采用Sobol 法對模型Y =f (x)進行敏感度分析，其中x=(x1，x2，…，xl)表示l個輸入?yún)?shù)。在蝸桿砂輪磨齒機幾何誤差敏感度分析中，以X方向的位置誤差分量Δx為例進行分析，Δx與幾何誤差的關(guān)系可表示為：

式中：e = (e1，e2，…，e41)，表示輸入的41項幾何誤差。

根據(jù)Sobol 法的基本原理，對式（12）進行分解，可得：

式中：Δx0是基于輸入量的X方向的位置誤差分量Δx的期望值，為常數(shù)；Δxp(ep)表示輸入量ep作用下對應(yīng)的X方向的位置誤差分量；Δxp，q(ep，eq)表示輸入量ep和eq共同作用下對應(yīng)的X方向的位置誤差分量，其余高階項以此類推。

式（12）所示模型輸出項的總方差和偏方差分別為：

式中：1≤s ≤41。

總方差可分解為：

令：

式（16）左右兩邊同時除以Dx，可得：

式中：Sxp是輸入量ep對X 方向位置誤差分量的一階敏感度系數(shù)，表示單個幾何誤差對X方向位置誤差分量的影響；Sxp，q是輸入量ep和eq對X方向位置誤差分量的二階敏感度系數(shù)，表示ep和eq共同作用對X位置誤差分量的影響；其余高階項同理。

在進行蝸桿砂輪磨齒機幾何誤差敏感度分析時，通常只分析其一階敏感度和全局敏感度，則輸入量ep對X方向位置誤差分量的一階敏感度系數(shù)可表示為：

輸入量ep對X方向位置誤差分量的全局敏感度系數(shù)可表示為：

其中：

2.2 蒙特卡洛估算

在計算蝸桿砂輪磨齒機幾何誤差對空間誤差分量的敏感度系數(shù)前，需通過蒙特卡洛采樣方法對輸入?yún)?shù)進行采樣，生成2個相對獨立的采樣矩陣。仍以X方向的位置誤差分量Δx為例進行分析，其期望值、方差、偏方差、D～xp的估算公式為：

式中：k代表每個輸入量的采樣個數(shù)；上標(1)，(2)表示2個采樣矩陣的編號；Gm表示從采樣空間取得的第m個采樣集；gpm表示采樣點集中第m個采樣點的第p個幾何誤差的值。

將式（21）至（24）代入式（19）、（20）中，即可計算出蝸桿砂輪磨齒機幾何誤差對X方向位置誤差分量的一階敏感度系數(shù)和全局敏感度系數(shù)。

3 蝸桿砂輪磨齒機幾何誤差敏感度分析實例

3.1 指令位置分析及幾何誤差采樣

蝸桿砂輪磨齒機為專用機床，磨削齒輪時其運動軌跡單一。以YW7232型蝸桿砂輪磨齒機為研究對象，分析其磨削過程中各幾何誤差對空間誤差分量的敏感度。

蝸桿砂輪磨齒機磨削齒輪時，齒輪參數(shù)和蝸桿砂輪參數(shù)如表3所示，其中，齒輪和砂輪的旋向均為右旋。蝸桿砂輪磨削運動包括4個運動過程：砂輪和齒輪的旋轉(zhuǎn)運動、砂輪徑向進給運動、砂輪軸向沖程運動和砂輪竄刀運動。在磨削之前，蝸桿砂輪磨齒機B軸和C軸的初始角度為0°，A軸旋轉(zhuǎn)角度由齒輪和砂輪的螺旋角確定；在磨削過程中，X軸進給到指定位置后保持靜止，Y 軸和A 軸靜止不動，由B 軸、C 軸和Z軸聯(lián)動完成磨削過程。B軸、C軸的轉(zhuǎn)動角度以及Z軸的位置都與時間t有關(guān)：

表3 齒輪和蝸桿砂輪參數(shù)Table 3 Parameters of gear and worm wheel

根據(jù)經(jīng)驗，取x = 260 mm，z0= 280 mm，假定Y軸在單次磨削過程中保持靜止，但為了保證砂輪能在整個刀具長度方向被充分利用，在多次磨削后砂輪會發(fā)生沿Y 軸的竄刀運動，因此分別對y =-60，- 20，20，60 mm，t = 0，4，8，12，16，20 s 時對應(yīng)的24個機床指令位置處的幾何誤差項對空間誤差分量的敏感度進行分析。

使用Renishaw XL-80激光干涉儀和QC20-W球桿儀對蝸桿砂輪磨齒機進行多次重復(fù)實驗，測得機床的幾何誤差范圍，對該范圍進行合理縮放后得到：位置誤差范圍為0～20 μm，角度誤差范圍為0''～10''，且?guī)缀握`差元素符合正態(tài)分布。

3.2 敏感度分析結(jié)果

分別計算24個指令位置處各幾何誤差項對Δx、Δy、Δz、Δα、Δβ、Δγ 的一階敏感度系數(shù)和全局敏感度系數(shù)，再通過式（25）和式（26）對24 個指令位置處的敏感度系數(shù)求平均數(shù)，可以得到機床磨削過程中各幾何誤差項對空間誤差分量的敏感度系數(shù)，結(jié)果如圖3至圖8所示。

式中：Sp和STp分別表示第p項幾何誤差的一階敏感度和全局敏感度系數(shù)，Shp和SThp分別表示第p項幾何誤差在位置h處的一階敏感度系數(shù)和全局敏感度系數(shù)。

圖3 YW7232型蝸桿砂輪磨齒機幾何誤差對X 方向位置誤差分量的敏感度系數(shù)Fig. 3 Sensitivity coefficient of geometric errors to X-direction position error component of YW7232 worm wheel gear grinding machine

圖4 YW7232 型蝸桿砂輪磨齒機幾何誤差對Y 方向位置誤差分量的敏感度系數(shù)Fig. 4 Sensitivity coefficient of geometric errors to Y-direction position error component of YW7232 worm wheel gear grinding machine

基于以上一階敏感度系數(shù)以及全局敏感度系數(shù)計算結(jié)果，可以得出如下結(jié)論：

1）將敏感度系數(shù)大于0.05的幾何誤差項作為關(guān)鍵幾何誤差項，根據(jù)圖3至圖8可得蝸桿砂輪磨齒機磨削過程中對Δx、Δy、Δz、Δα、Δβ、Δγ影響較大的關(guān)鍵幾何誤差項，如表4所示。

圖5 YW7232 型蝸桿砂輪磨齒機幾何誤差對Z 方向位置誤差分量的敏感度系數(shù)Fig. 5 Sensitivity coefficient of geometric errors to Z-direction position error component of YW7232 worm wheel gear grinding machine

圖6 YW7232型蝸桿砂輪磨齒機幾何誤差對X 方向角度誤差分量的敏感度系數(shù)Fig. 6 Sensitivity coefficient of geometric errors to X-direction angular error component of YW7232 worm wheel gear grinding machine

圖7 YW7232 型蝸桿砂輪磨齒機幾何誤差對Y 方向角度誤差分量的敏感度系數(shù)Fig. 7 Sensitivity coefficient of geometric errors to Y-direction angular error component of YW7232 worm wheel gear grinding machine

圖8 YW7232 型蝸桿砂輪磨齒機幾何誤差對Z 方向角度誤差分量的敏感度系數(shù)Fig. 8 Sensitivity coefficient of geometric errors to Z-direction angular error component of YW7232 worm wheel gear grinding machine

表4 YW7232型蝸桿砂輪磨齒機的關(guān)鍵幾何誤差項Table 4 Key geometric error terms of YW7232 worm wheel gear grinding machine

2）由表4可知，對蝸桿砂輪磨齒機空間誤差分量影響較大的幾何誤差為εx(x)、εy(x)、εz(x)、εx(y)、εy(y)、εz(y)、εx(z)、εy(z)、φxz、φzy、φxy、εx(a)、εy(a)、εz(a)、φza、φya、εx(c)、εy(c)、φxc、φyc，共20項。

3）由圖3至圖8可知，幾何誤差對Δx、Δy、Δz的全局敏感度系數(shù)和一階敏感度系數(shù)大致相同，而對Δα、Δβ、Δγ的全局敏感度系數(shù)和一階敏感度系數(shù)有差別，說明幾何誤差之間的耦合作用對位置誤差分量的影響比對角度誤差分量的影響小。

4）對空間誤差分量影響較大的是角度誤差，而定位誤差和直線度誤差對空間誤差分量的影響較小，與角度誤差相比可以忽略不計，但角度誤差比定位誤差和直線度誤差更難補償，因此，在機床設(shè)計和制造階段識別關(guān)鍵幾何誤差是很有必要的，可以從根本上提高機床的精度。

4 蝸桿砂輪磨齒機幾何誤差敏感度分析結(jié)果驗證與討論

為了驗證蝸桿砂輪磨齒機幾何誤差敏感度分析結(jié)果的正確性，對機床關(guān)鍵幾何誤差進行修正，并對比修正前后機床空間誤差分量以及機床聯(lián)動運動軌跡。首先，對比關(guān)鍵幾何誤差修正前后機床空間誤差分量，把影響某一空間誤差分量的關(guān)鍵幾何誤差項修正為0，其他誤差項保持不變，對比修正前后X、Y、Z三個方向的位置誤差分量和角度誤差分量，修正后空間誤差分量越小，表明修正的幾何誤差對空間誤差分量的影響越大。

以y = 20 mm為例，計算在t =1-20 s時關(guān)鍵幾何誤差修正前后蝸桿砂輪磨齒機的空間誤差分量，結(jié)果如圖9至圖14所示。

圖9 關(guān)鍵幾何誤差修正前后蝸桿砂輪磨齒機X方向位置誤差分量Fig. 9 X-direction position error component of worm wheel gear grinding machine before and after key geometric error correction

圖10 關(guān)鍵幾何誤差修正前后蝸桿砂輪磨齒機Y 方向位置誤差分量Fig. 10 Y-direction position error component of worm wheel gear grinding machine before and after key geometric error correction

由圖9 至圖14 可知，對影響蝸桿砂輪磨齒機空間誤差分量的關(guān)鍵幾何誤差項進行修正后，蝸桿砂輪磨齒機X、Y、Z方向的位置誤差分量和角度誤差分量都明顯減小，且接近于0，說明修正的幾何誤差項對蝸桿砂輪磨齒機空間誤差分量的影響很大，證明了敏感度分析結(jié)果的正確性。

其次，對比關(guān)鍵幾何誤差修正前后機床聯(lián)動運動軌跡。對20項關(guān)鍵幾何誤差進行修正后，在機床常用的加工區(qū)間內(nèi)通過仿真模擬球桿儀的3種測量模式：X-Y-C 聯(lián)動測量模式、X-Z 聯(lián)動測量模式和Y-Z聯(lián)動測量模式，并對比修正前后的球桿儀的桿長。3種測量模式示意圖及關(guān)鍵幾何誤差修正前后球桿儀的桿長對比如圖15 至圖17 所示。圖中標準圓的半徑為球桿儀的標準長度，記為100 mm，圖中一個刻度代表0.01 mm。

圖11 關(guān)鍵幾何誤差修正前后蝸桿砂輪磨齒機Z 方向位置誤差分量Fig. 11 Z-direction position error component of worm wheel gear grinding machine before and after key geometric error correction

圖12 關(guān)鍵幾何誤差修正前后蝸桿砂輪磨齒機X 方向角度誤差分量Fig. 12 X-direction angular error component of worm wheel gear grinding machine before and after key geometric error correction

圖13 關(guān)鍵幾何誤差修正前后蝸桿砂輪磨齒機Y 方向角度誤差分量Fig. 13 Y-direction angular error component of worm wheel gear grinding machine before and after key geometric error correction

由圖15至圖17可知，對關(guān)鍵幾何誤差進行修正后，蝸桿砂輪磨齒機的聯(lián)動精度明顯改善，這說明通過敏感度分析結(jié)果對機床進行精度設(shè)計和誤差補償，可以高效快速地提高機床空間精度。

圖14 關(guān)鍵幾何誤差修正前后蝸桿砂輪磨齒機Z 方向角度誤差分量Fig. 14 Z-direction angular error component of worm wheel gear grinding machine before and after key geometric error correction

圖15 X-Y-C聯(lián)動測量模式及該模式下球桿儀的桿長Fig. 15 X-Y-C linkage measurement mode and rod length of ballbar in this mode

5 結(jié) 論

本文針對蝸桿砂輪磨齒機結(jié)構(gòu)復(fù)雜、幾何誤差種類多引起的建模困難、幾何誤差測量及補償復(fù)雜的問題，提出了一種基于旋量理論和Sobol法的蝸桿砂輪磨齒機幾何誤差敏感度分析方法。

(b) X-Z聯(lián)動測量模式下的桿長圖16 X-Z聯(lián)動測量模式及該模式下球桿儀的桿長Fig. 16 X-Z linkage measurement mode and rod length of ballbar in this mode

圖17 Y-Z聯(lián)動測量模式及該模式下球桿儀的桿長Fig. 17 Y-Z linkage measurement mode and rod length ofballbar in this mode

1）基于旋量理論，建立了蝸桿砂輪磨齒機幾何誤差模型。

2）基于Sobol法，計算了蝸桿砂輪磨齒機磨削過程中各幾何誤差對空間誤差分量的敏感度系數(shù)，識別出影響機床空間誤差分量的關(guān)鍵幾何誤差項。

3）通過仿真分析，對比了關(guān)鍵幾何誤差修正前后蝸桿砂輪磨齒機的空間誤差分量和3種測量模式下球桿儀的桿長，驗證了敏感度分析結(jié)果的有效性。

4）根據(jù)敏感度分析結(jié)果，對機床進行誤差測量和補償，可高效快速地提高機床空間精度；將敏感度分析結(jié)果用于指導(dǎo)機床設(shè)計與裝配，可從根源上改善機床空間精度。