葉煒 郭迎? 夏瑩 鐘海 張歡 丁建枝 胡利云?

1) (中南大學計算機學院, 長沙 410083)

2) (江西師范大學量子科學與技術(shù)中心, 南昌 330022)

(2019 年 11 月 4 日收到; 2019 年 11 月 30 日收到修改稿)

相比于離散變量量子密鑰分發(fā), 連續(xù)變量量子密鑰分發(fā)雖然具備更高的安全碼率等優(yōu)勢, 但是在安全傳輸距離上卻略有不足. 盡管量子催化的運用對高斯調(diào)制連續(xù)變量量子密鑰分發(fā)協(xié)議的性能, 尤其在安全傳輸距離方面有著顯著的提升, 然而能否用來改善離散調(diào)制協(xié)議的性能卻仍然未知. 鑒于上述分析, 本文提出了一種基于量子催化的離散調(diào)制協(xié)議的方案, 試圖在安全密鑰率、安全傳輸距離和最大可容忍過噪聲方面進一步提升協(xié)議性能. 研究結(jié)果表明, 在相同參數(shù)下, 當優(yōu)化量子催化引入的透射率T, 相比于原始四態(tài)調(diào)制協(xié)議,所提方案能夠有效地提升量子密鑰分發(fā)的性能. 特別是, 對于可容忍過噪聲為0.002, 量子催化可將安全通信距離突破 300 km, 密鑰率為 10–8 bits/pulse, 而過大的可容忍噪聲會抑制量子催化對協(xié)議性能的改善效果. 此外, 為了彰顯量子催化的優(yōu)勢, 本文給出了點對點量子通信的最終極限Pirandola-Laurenza-Ottaviani-Banchi邊界, 仿真結(jié)果表明, 雖然原始方案與所提方案都未能突破這種邊界, 但是相比于前者, 后者能夠在遠距離通信上逼近于這種邊界, 這為實現(xiàn)全球量子安全通信的最終目標提供理論依據(jù).

1 引 言

量子密鑰分發(fā)[1?4]旨在通過不安全信道建立起合法通信雙方的密鑰, 它的無條件安全源于海森伯不確定性關(guān)系和不可克隆原理, 使得它在商業(yè)金融、國防軍事、外交通信等安全領(lǐng)域發(fā)揮著重要作用. 近幾十年來, 量子密鑰分發(fā)在量子信息領(lǐng)域中蓬勃發(fā)展, 它主要分為兩大類: 離散變量量子密鑰分發(fā)[1,2]和連續(xù)變量量子密鑰分發(fā)[3,4]. 對于離散變量量子密鑰分發(fā), 單光子極化被常用來傳輸密鑰比特信息, 使得它具有長距離安全通信的特征. 但是單光子探測器的使用造成了離散變量量子密鑰分發(fā)的密鑰率相對較低. 不同于前者, 在連續(xù)變量量子密鑰分發(fā)中, 信息被發(fā)送端Alice編碼到相干態(tài)或壓縮態(tài)的正則坐標和正則動量上, 經(jīng)信道傳輸后, 接收端Bob通過相干探測進行信息的解碼. 雖然連續(xù)變量量子密鑰分發(fā)具有高密鑰率和易與傳統(tǒng)光纖技術(shù)相容等優(yōu)勢, 但它的通信距離仍然存在局限性. 例如, 2002 年 Grosshans 和 Grangier[5]提出的高斯調(diào)制“GG02”協(xié)議. 該協(xié)議雖然采用常見的相干態(tài)進行信息的編碼, 使得它具有很好的實用價值, 但是其傳輸距離不超過 15 km. 同年, Silberhorn等[6]采用的逆向協(xié)商協(xié)議打破了這種安全距離的局限性, 進一步提升了該協(xié)議的實用性. 2007年, Lodewyck等[7]實驗上報道了在全光纖連續(xù)變量系統(tǒng)下, 量子密鑰在25 km的分布情況. 因此,如何有效地提升量子密鑰分發(fā)性能, 尤其是安全通信距離, 成為了連續(xù)變量量子通信的前沿熱點之一.

為了實現(xiàn)長距離安全通信的目標, 人們提出了兩種解決方案. 一種解決方案是通過引入非高斯操作[8?10]來提高量子態(tài)的抗噪能力, 使得信息保持穩(wěn)定傳輸; 另一種方案則是采用離散調(diào)制協(xié)議[11?14],如四態(tài)協(xié)議、八態(tài)協(xié)議等. 例如, 2013年Huang等[15]將光子扣除操作運用到連續(xù)變量量子密鑰分發(fā)系統(tǒng). 研究表明, 這種操作的使用能夠顯著地提高安全傳輸距離和最大可容忍過噪聲. 尤其是, 單光子扣除情況對協(xié)議性能改善最為明顯. 不幸的是, 光子扣除操作需要多光子探測器, 加大了實驗操作的復雜性. 為了解決這個問題, 2016 年 Li等[16]指出了光子扣除操作可等效于一種虛擬后處理方案. 此外, 除了單路協(xié)議外, 光子扣除操作在雙路協(xié)議[17]、測量設(shè)備無關(guān)協(xié)議[18]發(fā)揮著顯著的性能優(yōu)勢. 另一方面, 由于存在一種對離散值甚至低信噪比都具有高效率的糾錯碼, 離散調(diào)制協(xié)議可以極大地提高安全距離[11,12]. 在安全性分析方面, 該協(xié)議也對應于低調(diào)制方差的高斯調(diào)制的連續(xù)變量量子密鑰分發(fā)協(xié)議[13,14]. 最近, Liao 等[19]將光子扣除操作運用于四態(tài)離散調(diào)制協(xié)議進一步提升量子密鑰分發(fā)的性能. 盡管光子扣除有上述優(yōu)勢, 但是在優(yōu)化調(diào)制方差的情況下, 執(zhí)行減光子操作的成功概率卻低于0.25, 這使得它在提升量子密鑰分發(fā)性能方面也存在某種缺陷[20]. 為了克服這種缺陷, 量子催化操作[21,22]是一種可行的和較為成功的方案. 在催化過程中, 輔助模的光子似乎看起來沒有變化, 但是卻能夠促進主通道模之間的量子態(tài)轉(zhuǎn)換, 從而避免了通信雙方的信息量丟失. 最近, 這種量子催化被應用于傳統(tǒng)的高斯調(diào)制協(xié)議[20,23]. 特別是, 在零光子催化的情況下, 它不僅能展現(xiàn)出較高的成功概率, 還能在連續(xù)變量量子密鑰分發(fā)性能上優(yōu)于光子扣除操作的情況.

基于量子催化的使用優(yōu)勢, 本文提出了一種離散調(diào)制連續(xù)變量量子密鑰分發(fā)方案, 主要關(guān)注量子催化用來改善離散調(diào)制協(xié)議的性能. 具體安排如下: 第2節(jié)闡述離散調(diào)制協(xié)議和量子催化, 其一是簡要回顧離散調(diào)制協(xié)議的糾纏模型, 同時給出四態(tài)協(xié)議在集體攻擊下的漸近密鑰率, 其二是將量子催化運用于離散調(diào)制協(xié)議中, 導出零光子催化對輸入-輸出量子態(tài)之間的作用; 第3節(jié)詳細地討論和分析不同參數(shù)下量子催化對離散調(diào)制協(xié)議的性能影響; 最后, 第4節(jié)是本文的主要結(jié)論.

2 離散調(diào)制協(xié)議和量子催化

首先從糾纏型的視角來回顧離散調(diào)制協(xié)議, 尤其是傳統(tǒng)的四態(tài)調(diào)制協(xié)議, 同時給出該協(xié)議在集體攻擊下的漸近密鑰率計算. 隨后, 將量子催化運用于離散調(diào)制協(xié)議中, 具體地分析零光子催化對信息載體的貢獻, 并導出量子態(tài)輸入-輸出的關(guān)系.

2.1 四態(tài)調(diào)制協(xié)議

在標準的制備-測量型四態(tài)調(diào)制協(xié)議中, Alice通過采用高斯調(diào)制器制備和調(diào)制出一個四進制的相 干 態(tài)并且通過高斯信道發(fā)送給Bob. 當Bob接收量子態(tài)后, 對其正交分量(x和p)進行零差探測或者外差探測. 最后, 經(jīng)過經(jīng)典后處理,Alice和Bob共享一串密鑰.

雖然制備-測量型協(xié)議易于實際操作, 但是在安全性能分析方面卻顯得無能為力. 為此, Leverrier和Grangier[11]提出了一種糾纏型四態(tài)調(diào)制協(xié)議,正如圖1所示. Alice制備一種雙模糾纏態(tài)對A模進行投影測量則將待發(fā)送的量子態(tài)塌縮到相應的態(tài)上, 經(jīng)高斯信道傳輸給Bob進行零差探測(信道參數(shù): 透射率h和可容忍過噪聲x). 利用 Schmidt分解, Alice所制備的糾纏態(tài)可表示為

其中

圖1 糾纏型的零光子催化四態(tài)調(diào)制協(xié)議原理圖Fig. 1. Schematic diagram of the entanglement-based (EB) model of the four-state modulation protocol using a zero-photon catalysis.

對于任意的量子密鑰分發(fā)協(xié)議, 安全性是衡量其性能優(yōu)越性的重要體現(xiàn). 這種糾纏型四態(tài)調(diào)制協(xié)議通過Alice和Bob未做測量前構(gòu)建的協(xié)方差矩陣為安全性證明提供了便捷. 在上述情況下, Alice所制備糾纏態(tài)的協(xié)方差矩陣可表示為

其中h表示信道的透射率,表示高斯信道引入的過噪聲.

2.2 安全密鑰率

為了獲取四態(tài)調(diào)制協(xié)議的安全碼率, 這里首先假設(shè)敵手Eve采取集體攻擊, 且Alice和Bob使用逆向協(xié)商(協(xié)商效率為b). 因此, 密鑰率可表示為

實際上, Bob采取的零差探測對于密鑰率有著顯著的影響. 由 (5)式可知, 對于零差探測, Alice和Bob之間的Shannon互信息分別表示為

其中

圖2 和 隨調(diào)制方差 V 的變化Fig. 2. Both and as a function of the modulation variance V.

2.3 量子催化的離散調(diào)制協(xié)議

將量子催化(淺綠色框)運用于四態(tài)調(diào)制協(xié)議,如圖1所示. 值得注意的是, 為了減少發(fā)送端Alice的實驗器材成本, 量子催化操作受不可信任方 Charlie操控. 此外, 為了便于安全性分析, 這里假設(shè)Eve意識到Charlie的存在. 量子催化的概念首次被文獻[22]提出. 例如, 對于零光子催化過程,輔助模C的輸入端口注入零光子, 經(jīng)過透射率為T的分束器后, 開關(guān)探測器在輸出端口僅探測零光子. 注意, 開關(guān)光子探測器的無響應意味著探測到零光子. 于是, 輸入的真空態(tài)在輔助模C與模B的待輸入量子態(tài)進行分束器干涉; 隨后, 開關(guān)光子探測器在模C的輸出端進行無響應探測.可見, 盡管在輔助模輸入端輸入真空態(tài), 輸出端探測真空態(tài), 看上去模C沒有變化, 但是這種催化效果確實能夠促進輸入-輸出的量子態(tài)之間的轉(zhuǎn)換.為了表述量子態(tài)輸入-輸出的關(guān)系, 這里引入一種量子催化等效算符:

關(guān)于更詳細的量子催化等效算符的推導可參考文獻 [9, 20, 21, 23]. 因此, 輸入-輸出量子態(tài)的關(guān)系式可表示為

其中

根據(jù)(13)式可知, 經(jīng)過零光子催化后, 量子態(tài)的振幅變化關(guān)系可寫成因此, 只要將2.2節(jié)的符號“a”替換成“特別注意的是, 當T= 1,輸出態(tài)簡化成輸入態(tài)形式, 即這暗示著不存在任何量子催化效應. 此外, 由于執(zhí)行零光子催化是一種概率性事件, 使得相應的密鑰率公式應改寫成:

圖3 對于不同的調(diào)制方差V下量子催化的成功概率隨透射率T的變化(圖中從上往下的虛線分別表示V =1.2, 1.3, 1.4, 1.5)Fig. 3. Success probability of implementing such a zerophoton catalysis as a function of the transmittance T for several different V. The dashed lines from bottom to top correspond to V = 1.2, 1.3, 1.4, 1.5, respectively.

3 性能分析與討論

一般而言, 量子密鑰分發(fā)協(xié)議的性能評估有3個重要指標: 安全密鑰率 (secret key rate)、最大安全傳輸距離(transmission distance)以及最大可容忍過噪聲 (tolerable excess noise). 本文基于以上3個指標對所提的協(xié)議進行性能分析和討論.

由圖2可知, 在離散調(diào)制協(xié)議下, 調(diào)制方差V需控制在范圍內(nèi)該方案才能與高斯調(diào)制的連續(xù)變量量子密鑰分發(fā)協(xié)議等價, 這使得求解 Holevo信息問題大大簡化. 在信道損耗為0.2 dB/km 下, 假設(shè)對于不同的調(diào)制方差V= 1.2, 1.3, 1.4, 當優(yōu)化透射率T,圖4(a)為基于量子催化的四態(tài)協(xié)議在不同距離下的安全碼率. 圖中黑色線為原始四態(tài)協(xié)議(original four-state modulation protocol, original protocol).當調(diào)制方差取某些值(如1.3, 1.4), 本文的零光子催化四態(tài)協(xié)議 (zero-photon catalysis-based fourstate modulation protocol, ZPC protocol)能夠在最大安全傳輸距離及安全密鑰率性能方面優(yōu)于原始四態(tài)協(xié)議. 這是源于零光子催化實際是一種無噪衰減過程, 而無噪聲衰減已在參考文獻[24]證實了可以提升量子密鑰分發(fā)系統(tǒng)的性能. 另一方面, 通過優(yōu)化量子催化引入的透射率T來調(diào)控和獲取最優(yōu)調(diào)制方差, 使得進一步提高量子密鑰分發(fā)協(xié)議的性能. 同時, 這里也給出了透射率T在不同距離下的曲線圖, 如圖4(b)所示. 值得注意的是, 當T= 1時, 不存在任何量子催化效果. 正是如此, 一方面,導致了在短距離安全通信下, 本方案與原始方案的性能保持一致. 另一方面, 如圖4(a)所示, 這也使得對于V= 1.2的所提方案(藍色虛線)與原始方案(黑色實線)的性能曲線重合. 這意味當調(diào)制方差低于某個值, 量子催化不能用來提高離散調(diào)制協(xié)議的性能. 此外, 從圖4(a)可知, 對于原始四態(tài)協(xié)議(黑色線)而言, 調(diào)制方差的減小, 可以提高安全傳輸距離. 有趣的是, 量子催化的引入可進一步提升原始四態(tài)協(xié)議的安全傳輸距離.

圖4 離散調(diào)制量子密鑰分發(fā)系統(tǒng)的性能比較(a) 固定參數(shù) β =0.95,ξ=0.005下, 當優(yōu)化透射率 T 時, 密鑰率在不同調(diào)制方差隨傳輸距離的變化; (b) 對應 (a) 情況下, 透射率T隨傳輸距離的變化Fig. 4. Comparison of the performances between the original protocol and the ZPC-based four-state modulation protocol: (a) At a fixed β =0.95,ξ=0.005 , the secret key rate as a function of the transmission distance with different V = 1.2, 1.3, 1.4, when optimized over the transmittance T; (b) the transmittance T as a function of the transmission distance corresponding to panel (a).

此外, 可容忍過噪聲是影響性能的另一項重要指標. 為了清晰理解可容忍過噪聲對性能的影響,這里適當選取固定參數(shù)β=0.95,V=1.3 , 當優(yōu)化透射率T時, 對于不同可容忍過噪聲ξ= 0.002,0.005, 0.008, 圖5(a)顯示了安全密鑰率隨傳輸距離的變化. 顯然, 可容忍噪聲過噪聲越低, 量子密鑰分發(fā)協(xié)議的性能越好. 此外, 仿真結(jié)果表明, 量子催化可以用來有效地改善量子密鑰分發(fā)的性能.尤其對于較小的可容忍過噪聲, 改善效果比較明顯. 這正如圖5(a)所示, 對于可容忍過噪聲取0.002(點劃線)和 0.005 (劃線)時, 零光子催化四態(tài)協(xié)議在傳輸距離和安全密鑰率方面都能優(yōu)越于原始方案. 而對于ξ=0.008 的情況, 性能改善不明顯. 這是因為透射率T隨可容忍過噪聲的增加而在安全傳輸距離上縮短(如圖5(b)所示). 同時, 這也暗含著可容忍過噪聲的增加可以抑制量子催化的效果.

圖5 離散調(diào)制量子密鑰分發(fā)系統(tǒng)的性能比較(a) 固定參 數(shù) β =0.95,V=1.3 下, 當 優(yōu) 化 透 射 率 T 時, 密 鑰 率 在不同可容忍過噪聲隨傳輸距離的變化; (b) 對應 (a) 情況下, 透射率T隨傳輸距離的變化曲線Fig. 5. Comparison of the performances between the original protocol and the ZPC-based four-state modulation protocol: (a) At a fixed β =0.95,V=1.3 , the secret key rate as a function of the transmission distance with different ξ=0.002,0.005,0.008, when optimized over the transmittance T; (b) the transmittance T as a function of the transmission distance corresponding to panel (a).

為了進一步研究協(xié)商效率對量子密鑰分發(fā)性能的影響, 這里假定V=1.3,ξ=0.005 , 對于優(yōu)化透射率T的情況下, 圖6(a)表示不同的協(xié)商效率β=0.90,0.95,1.0的安全密鑰率隨傳輸距離的變化.顯然地, 協(xié)商效率越高, 則量子密鑰分發(fā)的性能表現(xiàn)越好. 特別是, 對于更為實際的協(xié)商效率為0.90(點劃線)時, 采用量子催化操作能夠提升原始方案的傳輸距離約至 210 km, 密鑰率為 10–8bits/pulse.圖6(b)給出對應量子催化四態(tài)調(diào)制協(xié)議的透射率T隨傳輸距離的變化. 此外, 比較圖6(a)與圖5(a)可以看出, 可容忍過噪聲對量子密鑰分發(fā)的性能影響程度要大于協(xié)商效率的情況.

圖6 離散調(diào)制量子密鑰分發(fā)系統(tǒng)的性能比較(a) 固定參數(shù)V =1.3,ξ=0.005 下, 當優(yōu)化透射率 T 時, 密鑰率在不同協(xié)商效率隨傳輸距離的變化; (b) 對應 (a) 情況下, 透射率T隨傳輸距離的變化曲線Fig. 6. Comparison of the performances between the original protocol and the ZPC-based four-state modulation protocol: (a) At a fixed V =1.3,ξ=0.005 , the secret key rate as a function of the transmission distance with different β=0.90,0.95,1.0, when optimized over the transmittance T; (b) the transmittance T as a function of the transmission distance corresponding to panel (a).

可容忍過噪聲是影響量子密鑰分發(fā)性能的關(guān)鍵因素. 為了看清量子催化能否提升最大可容忍過噪聲, 對于不同的協(xié)商效率β=0.90,0.95,1.0 , 圖7給出了最大可容忍過噪聲隨傳輸距離的變化. 本方案的性能提升隨著協(xié)商效率的降低而呈現(xiàn)得更為明顯. 例如, 對于給定可容忍過噪聲為ξ=0.003 ,原始協(xié)議的傳輸距離可達到240 km附近; 而相同參數(shù)下, 本方案的傳輸距離大約達到 320 km. 這些研究結(jié)果表明, 零光子催化可提升離散調(diào)制協(xié)議的可容忍過噪聲. 此外, 需要注意的是, 圖中優(yōu)化透射率T指的是在可取范圍T∈[0,1]內(nèi)找到某個透射率使得密鑰率最大(圖4—圖6)或者密鑰率為零(圖7).

圖7 在固定參數(shù)V =1.3下, 當優(yōu)化透射率 T 時, 可容忍過噪聲在不同協(xié)商效率隨傳輸距離的變化Fig. 7. At a fixed V =1.3 , the tolerable excess noise between the original protocol and the ZPC-based four-state modulation protocol as a function of a transmission distance for several different β =0.90,0.95,1.0 , when optimized over T.

為了突出量子催化的優(yōu)勢, 圖4(a)、圖5(a)、圖6(a)均給出了Pirandola-Laurenza-Ottaviani-Banchi (PLOB) 邊界 (bound)[25](品紅實線), 它是點對點量子通信的最終極限, 并為量子中繼器提供了精確和通用的基準. 由圖3(a)和圖5(a)可知,雖然量子催化的離散調(diào)制協(xié)議和原始方案都無法突破 PLOB bound, 但是相比后者, 前者的遠距離傳輸更能接近這種邊界. 這也表明量子催化確實在遠距離安全密鑰通信上發(fā)揮著顯著優(yōu)勢.

4 結(jié)論

本文提出了一種基于量子催化離散調(diào)制協(xié)議的方案, 并給出了零光子催化的等效算符. 研究發(fā)現(xiàn), 這種量子催化實際就是一種無噪聲衰減, 它使得傳輸給Bob的相干態(tài)振幅a衰減成隨后,本文對所提方案進行漸近安全性分析. 研究表明,當固定參數(shù)β=0.95,ξ=0.005 下, 對于不同的調(diào)制方差V= 1.3, 1.4, 本方案能夠進一步提高量子密鑰分發(fā)協(xié)議的性能. 而對于較小的V= 1.2, 本方案在性能改善方面不能顯示出量子催化的優(yōu)勢. 此外, 當適當選取固定參數(shù)β=0.95,V=1.3 , 對于不同可容忍過噪聲ξ=0.002,0.005 , 所提方案在較小的可容忍過噪聲中性能改善比較明顯. 而對于較大可容忍過噪聲ξ=0.008 , 它較與原始四態(tài)協(xié)議方案性能改善不明顯. 而對于不同的協(xié)商效率β=0.90,0.95,1.0, 當給定參數(shù)V=1.3,ξ=0.005 ,協(xié)商效率越高, 則量子密鑰分發(fā)的性能表現(xiàn)越好.特別是, 對于更為實際的協(xié)商效率0.90, 利用量子催化操作能夠進一步提升原始方案的傳輸距離約至 210 km, 密鑰率為 10–8bits/pulse. 值得注意的是, 雖然兩種方案都未能突破點對點量子通信的最終極限PLOB邊界, 但是量子催化的運用確實能夠在遠距離傳輸進一步逼近這種邊界. 因此, 為了試圖突破這種邊界, 在今后的研究工作中, 可將量子催化運用于測量設(shè)備無關(guān)離散調(diào)制協(xié)議[26].