解梟雄，成 博，劉 峰，王俊元

(中北大學(xué)機械工程學(xué)院，山西 太原 030051)

近年來，隨著納米技術(shù)的發(fā)展，基于原子力顯微鏡的單分子力譜由于其高靈敏度和可操作性，已經(jīng)成為納米尺度上測量各種分子內(nèi)、分子間以及界面間相互作用力的有效工具[1-3]。經(jīng)過近20年的發(fā)展，基于單分子力譜的實驗研究方法已經(jīng)廣泛應(yīng)用在各個方面，包括高分子鏈的本征彈性、超分子結(jié)構(gòu)的相互作用力、固-液界面間的解吸附力以及分子馬達的組裝力等[4-8]。尤其在單分子納米力學(xué)研究中，測定單個聚合物鏈的純彈性力學(xué)性能可以被用來揭示其分子的構(gòu)象轉(zhuǎn)變、鏈結(jié)構(gòu)形態(tài)以及聚集態(tài)形態(tài)等諸多行為的內(nèi)在機理[9-12]。與逐漸成熟的單分子實驗研究相比，相應(yīng)的彈性理論模型研究卻進展緩慢，而這對于人們更進一步地理解單分子鏈彈性行為非常重要。到目前為止并沒有一種準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)模型被用來描述單個聚合物分子鏈的理論彈性行為。

之前，基于Flory等[13]的工作，自由結(jié)合鏈(freely jointed chain，F(xiàn)JC)模型、自由旋轉(zhuǎn)鏈(freely rotating chain，F(xiàn)RC)模型和蠕蟲狀鏈(worm-like chain，WLC)模型作為3個基本的彈性理論模型被用來描述高分子的單鏈彈性行為。然而，隨著單分子實驗技術(shù)的發(fā)展，發(fā)現(xiàn)這3種理論模型并不能很好地描述高分子鏈的彈性行為，這是因為該理論模型僅考慮熵彈性對分子鏈彈性的影響，并沒有考慮焓彈性(鍵長和鍵角的改變)對其的影響[14-17]。2005年，Hugel等[16]通過采用基于量子力學(xué)(quantum mechanics)的從頭計算法(ab-initio calculations)對幾種典型高分子的重復(fù)單元進行了理論彈性計算，通過對STO-6G、TZV和MP2/TZV等3種基組算法進行比較，發(fā)現(xiàn)MP2/TZV理論能夠更準(zhǔn)確地描述高分子的焓彈性。結(jié)合MP2/TZV理論的量子力學(xué)計算結(jié)果，Cui等[17]在此基礎(chǔ)上，將焓彈性引入到3種基礎(chǔ)模型中，進而發(fā)展了3種新的模型，即基于量子力學(xué)計算的QM-FJC模型、QM-FRC模型和QM-WLC模型。近年來他們進行了一系列高分子的單分子力譜實驗，結(jié)果已經(jīng)證明這些模型可以很好地描述一些聚合物單個分子鏈的本征彈性，比如含C-C骨架的聚合物、天然纖維素、DNA、蛋白質(zhì)等高分子[8,18-19]。但是，這3種模型對于各類高分子的適用性卻鮮有報道。

1 單分子力譜實驗

材料和樣品準(zhǔn)備：左旋聚乳酸與實驗中所用試劑(分析純)，均購自西格瑪奧德里奇中國公司；蛋白質(zhì)I278是由8個I27(肌聯(lián)蛋白的第27個結(jié)構(gòu)域)聚合而成，購自美國雅典娜環(huán)境科學(xué)公司。在進行單分子力譜實驗之前，首先將樣品(PLLA和I278)溶解于相應(yīng)的溶劑(二氯甲烷和水)中并稀釋，最終配置成濃度為1 μg/ml的稀溶液，然后取少量樣品溶液置于新鮮基底(石英片或金片)上物理吸附0.5 h，最后使用去離子水對其進行沖洗，去掉吸附不牢固的分子，完成制片。

所有的單分子力譜實驗均在原子力顯微鏡(MPF-3D,Asylun Research, CA)上完成。實驗前在原子力顯微鏡針尖與樣品之間加入少許壬烷，以保證針尖處于液相環(huán)境中，當(dāng)針尖壓向基底表面捕捉到樣品分子時，針尖與基底會形成分子橋，接著隨著針尖從基底上遠離，分子鏈被拉伸直至斷裂。在針尖的整個運動過程中，固定針尖的微懸臂與針尖的運動位移被記錄下來并且最終轉(zhuǎn)化為拉伸力與拉伸長度相關(guān)的曲線圖。實驗所使用的針尖為氮化硅針尖，拉伸速率為2 μm/s。

2 結(jié)果與討論

本文選取兩種典型高分子左旋聚乳酸(PLLA)和聚蛋白質(zhì)(I278)作為研究對象，測得其在非極性有機溶劑壬烷中的單分子彈性曲線，再分別利用QM-FRC、QM-FJC以及QM-WLC 3種模型來擬合所得實驗曲線，并且通過計算擬合曲線和實驗曲線之間的平均力值偏差來比較和分析3種模型對于高分子的適用性。

眾所周知，當(dāng)一個高分子鏈處于非極性有機溶劑中時，由于分子鏈與溶劑分子之間除了存在范德華相互作用并無其他特殊的相互作用，這可以用來近似模擬理論計算中的真空環(huán)境，因此高分子鏈在非極性有機溶劑中的單分子力譜通常可以表征其本征彈性[7,14]。

首先筆者利用原子力顯微鏡測得左旋聚乳酸(PLLA)在非極性有機溶劑——壬烷中的單分子力譜。從圖1中可以看到這是一個典型的力-距離拉伸曲線(簡稱力曲線)，當(dāng)分子鏈拉伸超過其輪廓長度之后，開始表現(xiàn)出它的彈性，隨著分子鏈長度的不斷伸長，力隨著拉伸長度也在增加，直到分子鏈與基底或者針尖之間的分子橋斷裂，拉伸力驟減為0。由于每次拉伸實驗過程中不同分子鏈的拉伸距離不同，因此無法進行統(tǒng)一的比較和分析，需要將曲線進行歸一化處理[14]。如圖2所示，經(jīng)過對實驗曲線進行歸一化后，發(fā)現(xiàn)這些曲線都可以很好地重合在一起，表明所得到的力曲線是PLLA在非極性有機溶劑中的單鏈拉伸行為，也就是單個PLLA鏈的本征彈性。

圖1 多個PLLA單分子鏈(不同長度)在非極性有機溶劑(壬烷)中被拉伸所獲得的力曲線(不同的輪廓長度)

圖2 歸一化后的不同輪廓長度力曲線

接著筆者以FJC、FRC以及WLC模型作為基礎(chǔ)，利用量子力學(xué)的從頭計算法，基于MP2/TZV理論，分別計算出這兩種高分子單個重復(fù)單元的理論焓彈性，進而將兩者結(jié)合發(fā)展成為新的基于量子力學(xué)計算的QM-FJC、QM-FRC以及QM-WLC模型。

FJC模型的數(shù)學(xué)表達式：

(1)

FRC模型的數(shù)學(xué)表達式：

(2)

WLC模型的數(shù)學(xué)表達式：

(3)

式中：R為在力F作用下高分子鏈末端距；F為高分子鏈端所受到的拉伸力；L0為分子鏈在自由狀態(tài)下(即F=0)的輪廓長度；LF為分子鏈在力F作用下的輪廓長度；kB為波爾茨曼常數(shù)；T為絕對溫度；lk為庫恩長度；lb為旋轉(zhuǎn)單元長度；lp為持續(xù)長度。

基于MP2/TZV理論的量子力學(xué)計算結(jié)果為：

(4)

式中：γn為多項式系數(shù)，其中γ1為線性彈性模量，其余的為非線性修正系數(shù)，n為多項式階數(shù)，用來修正非線性彈性模量的重要物理量，與量子力學(xué)計算結(jié)果有關(guān)。PLLA與聚蛋白的量子力學(xué)計算結(jié)果見表1。

表1 PLLA與聚蛋白的量子力學(xué)計算結(jié)果 nN

通過將3種基本模型與量子力學(xué)計算結(jié)果相結(jié)合，從而得到3個新模型，即QM-FJC、QM-FRC以及QM-WLC模型。在這3個新模型中，每個模型僅有一個變量(lk,lb,lp)，當(dāng)給定一個確定值時，就可以產(chǎn)生一條相應(yīng)的理論擬合曲線。

使用這3種新模型分別去擬合所得到的實驗曲線[8,14]。為了找到最佳的擬合參數(shù)值，計算實驗曲線與理論模型擬合曲線的力值平均偏差ΔF:

(5)

式中：Fexp為實驗曲線上某數(shù)據(jù)點處的拉伸力；Ffit為模型擬合曲線上該數(shù)據(jù)點處的拉伸力值；n1為曲線上數(shù)據(jù)點的數(shù)量。

經(jīng)過擬合后，從圖3可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)lb=0.36 nm時，QM-FRC模型擬合曲線與實驗曲線的力值平均偏差最小(ΔF1=11.957 22 pN)，因此lb=0.36 nm是QM-FRC模型擬合PLLA分子鏈本征彈性曲線的最佳值。經(jīng)過與實驗曲線對比(如圖4所示)，發(fā)現(xiàn)兩者可以在整個力值區(qū)間內(nèi)很好地重合，而且0.36 nm正好是PLLA單個結(jié)構(gòu)單元的長度[20]，說明該參數(shù)與結(jié)構(gòu)相關(guān)。當(dāng)lk=0.72 nm時，QM-FJC模型擬合曲線與實驗曲線的力值平均偏差最小(ΔF2=11.934 16 pN，如圖5所示)，因此lk=0.72 nm是QM-FJC模型擬合PLLA分子鏈本征彈性曲線的最佳值。通過將此值所對應(yīng)的QM-FJC模型擬合曲線與實驗曲線對比(如圖6所示)，可以看出兩者可以很好地重合，而且lk=0.72 nm正好是lb=0.36 nm的2倍，這也表明該模型是個與結(jié)構(gòu)參數(shù)相關(guān)的模型。

圖3 不同lb值下的QM-FRC模型擬合曲線與實驗曲線之間的力值平均偏差示意圖

圖4 PLLA在壬烷中獲得的力曲線(實線)與QM-FRC模型最佳擬合曲線(虛線)對比圖

圖5 不同lk值下的QM-FJC模型擬合曲線與實驗曲線之間的力值平均偏差示意圖

圖6 實驗曲線(實線)與QM-FJC模型擬合曲線(虛線)對比圖

將QM-FJC和QM-FRC模型擬合曲線與實驗曲線的力值平均偏差進行比較，發(fā)現(xiàn)其差距僅有0.015 6 pN。為了進一步理解該現(xiàn)象，筆者將QM-FJC與QM-FRC擬合曲線進行比較，如圖7(a)所示，可以發(fā)現(xiàn)這兩條曲線并無較明顯差別，基本可以很好地重合，僅在15 pN以下有些不同(如圖7(b)所示)。然而由于單分子力譜實驗曲線在15 pN以下的范圍內(nèi)分辨率并不高，因此QM-FJC與QM-FRC模型擬合曲線的差距可以忽略，說明這兩種模型都可以描述單個PLLA鏈的本征彈性行為。而對于QM-WLC模型，當(dāng)lp=1.37 nm時，擬合曲線與實驗曲線的力值平均偏差最小(ΔF3=24.131 9 pN，如圖8(a)所示)。對擬合曲線和實驗曲線進行比較，如圖8(b)所示，發(fā)現(xiàn)在大多數(shù)力值區(qū)域內(nèi)兩者可以很好重合，但是在中低力區(qū)卻不能很好重合。這說明雖然此模型也可以用來描述其單個PLLA鏈的彈性行為，但是相比于QM-FRC和QM-FJC模型在中低力區(qū)還是有明顯的差距，也就是說，QM-WLC模型并不能夠準(zhǔn)確描述PLLA單分子鏈的自身彈性行為。

圖7 QM-FJC與QM-FRC模型擬合曲線對比

圖8 PLLA實驗曲線與QM-WLC模型擬合曲線對比

隨后，筆者又測得了另一種高分子——聚蛋白質(zhì)在壬烷中的單分子力譜(如圖9所示)，并利用這3種模型擬合了單個解折疊的蛋白質(zhì)鏈的單分子本征彈性行為，發(fā)現(xiàn)當(dāng)lp=0.38 nm時，QM-WLC模型擬合曲線與實驗曲線的力值平均偏差最小(ΔF4=27.611 6 pN，如圖10(a)所示)，即此值為最佳擬合值。通過與實驗曲線對比，如圖10(b)所示，發(fā)現(xiàn)當(dāng)lp=0.38 nm時，QM-WLC模型擬合曲線與實驗曲線可以在整個力區(qū)內(nèi)很好地重合，說明該模型可以用來描述單個解折疊蛋白質(zhì)鏈的本征彈性行為。另外，0.38 nm正好是解折疊蛋白質(zhì)鏈的一個結(jié)構(gòu)單元長度[21]，說明該參數(shù)與結(jié)構(gòu)相關(guān)。當(dāng)lb=0.11 nm時，QM-FRC模型擬合曲線與實驗曲線的力值平均偏差最小(ΔF5=42.227 01 pN，如圖11(a)所示)。當(dāng)lk=0.22 nm時，QM-FJC模型擬合曲線與實驗曲線的力值平均偏差最小(ΔF6=42.182 23 pN，如圖11(c)所示)。將它們與實驗曲線分別進行對比，如圖11(b)和圖11(d)所示，可以看出，無論是QM-FJC還是QM-FRC模型，都是在高力區(qū)可以重合，低力區(qū)不可以重合。這說明QM-WLC模型比較適合于描述單個解折疊蛋白質(zhì)鏈的彈性行為，而QM-FRC和QM-FJC模型并不能夠準(zhǔn)確描述單個解折疊蛋白質(zhì)鏈的本征彈性。

圖9 不同輪廓長度的蛋白質(zhì)單分子鏈在壬烷中獲得的歸一化后的力曲線

圖10 蛋白質(zhì)實驗曲線與QM-WLC模型擬合曲線對比

圖11 蛋白質(zhì)實驗曲線與QM-FJC和QM-FRC模型擬合曲線對比

由于是在非極性有機溶劑中得到的力曲線，而且分子鏈與溶劑分子之間并沒有明顯的相互作用，僅僅存在范德華力的作用，因此其單分子力譜可以表征其本征彈性，所以此種擬合結(jié)果的差異應(yīng)該歸因于其分子鏈本身的分子結(jié)構(gòu)。解折疊的蛋白質(zhì)分子鏈內(nèi)存在酰胺鍵，PLLA的分子鏈內(nèi)存在酯鍵，由于酰胺鍵相對于酯鍵而言更加穩(wěn)定一些，且鏈內(nèi)旋轉(zhuǎn)也受阻，因此可能會表現(xiàn)得更加剛性。QM-WLC模型是以WLC模型作為基礎(chǔ)，可能更加適合描述較剛性一些的高分子的單鏈彈性行為，而QM-FJC和QM-FRC模型則更加適合描述較柔性一些的高分子的單鏈彈性行為。

3 結(jié)論

通過3種理論模型與基于原子力顯微鏡的單分子力譜實驗曲線對比分析發(fā)現(xiàn)：QM-FRC模型與QM-FJC模型在描述PLLA單分子鏈彈性行為時，平均力值偏差更小，擬合度更高，而QM-WLC模型在描述聚蛋白質(zhì)單分子鏈彈性行為時，平均力值偏差更小，擬合度更高。因此，本文得到如下結(jié)論：

1)描述柔性單分子鏈(如PLLA)的本征彈性，應(yīng)選擇QM-FJC和QM-FRC理論模型。

2)描述剛性分子鏈(如聚蛋白質(zhì))的本征彈性，應(yīng)選擇QM-WLC理論模型。

3)通過QM-FJC理論模型與QM-FRC理論模型擬合曲線的比較，發(fā)現(xiàn)僅在15 pN以下擬合曲線發(fā)生偏離，而且其與實驗曲線的平均力值偏差小于0.1 pN，遠小于原子力顯微鏡的分辨率。因此在單分子實驗中，兩種模型都可以被用于描述柔性分子鏈的本征彈性。