郭 婧 李 強(qiáng)

(1.山東省青島西海岸新區(qū)第一高級(jí)中學(xué) 266510；2.山東省青島大學(xué) 266000)

求離心率或離心率范圍是日常教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，這也是高考中的必考題型.我們一定見(jiàn)過(guò)這道題目：

如圖1，在桌面上有一點(diǎn)A1，它正上方有一個(gè)光源A,將半徑為2的球放置在桌面上，使得AA1與球相切，AA1=6，光線照在球上，會(huì)在桌面上產(chǎn)生投影，請(qǐng)問(wèn)投影是什么形狀？離心率是多少？

事實(shí)上，這道題的解答可以回歸到橢圓的來(lái)源——平面與圓錐曲線的截線上去.

追根溯源：人教A版選修2-1在第二章章頭圖中，如圖2，形象地展示了從不同的角度截圓錐面可以得到橢圓、雙曲線、拋物線三種不同的曲線，因此這三種曲線被稱為圓錐曲線.但這種聯(lián)系在后面給出圓錐曲線的兩種定義中，均未體現(xiàn)，直到42頁(yè)的“探究與發(fā)現(xiàn)”，教材提出Dandelin雙球,利用切線長(zhǎng)相等，證明了圓錐被一個(gè)平面截得的截口曲線是橢圓的結(jié)論.本文將主要研究這個(gè)橢圓的離心率如何求解，下面圖3展示的就是Dandelin雙球.

一、Dandelin雙球重現(xiàn)

如圖3，設(shè)平面π′與小球相切于點(diǎn)F1，與大球相切于點(diǎn)F2，兩球與圓錐的交線分別為S1和S2，平面π和δ分別過(guò)S1和S2，π′和π交于直線m，π′和δ交線為m,連接點(diǎn)P和圓錐頂點(diǎn)O，與S1和S2分別交于Q1和Q2.P是平面π′與圓錐的截線上任取的一點(diǎn)，連接PF1，PF2.利用切線長(zhǎng)相等，可以得到PF1+PF2=PQ1+PQ2=Q1Q2=定值，從而截口曲線是橢圓.

在Rt△APB中，PB=PAcosβ.

在Rt△PBQ1中,PB=PQ1cosα.

結(jié)論1：在空間中，已知圓錐O是由l′圍繞l旋轉(zhuǎn)得到的,我們把l稱為軸.用平面π截圓錐，得到的截口曲線取決于平面與圓錐軸l所成的線面角β(顯然，當(dāng)π與l平行時(shí)，β=0)，具體關(guān)系如下：

如圖5，AD、BC為圓柱母線，EF為圓柱斜截面橢圓的長(zhǎng)軸，設(shè)EF與母線所成銳角為β，過(guò)E作EG∥CD，則EG為圓柱的底面直徑，亦即橢圓的短軸長(zhǎng).從而得到平面截圓柱所得橢圓的離心率e=cosβ,β即為截面和圓柱的軸的交角.

綜合結(jié)論1和結(jié)論2，平面截圓錐所得橢圓的扁平程度不同，從而離心率不同.當(dāng)圓錐軸截面頂角一定時(shí)，離心率由圓錐母線與截面所成角來(lái)確定；平面截圓柱所得橢圓離心率的大小，由圓柱母線與截面所成角唯一確定.這兩個(gè)結(jié)論的獲得亦可通過(guò)建系，借助于向量的數(shù)量積得證，同時(shí)可以進(jìn)一步得到圓錐曲線的方程.

二、結(jié)論的應(yīng)用

俗話說(shuō)“萬(wàn)變不離其宗”，盡管高考題目一直在推陳出新，千變?nèi)f化，不可預(yù)測(cè)，但它的根只有一個(gè)——教材.我們只有緊緊抓住這個(gè)根，才能在高考中出奇制勝，處變不驚.實(shí)際上，在教材中每一章章尾都設(shè)置了“探究與發(fā)現(xiàn)”、“信息技術(shù)與應(yīng)用”、“閱讀與思考”等欄目，目的就是希望增長(zhǎng)學(xué)生見(jiàn)識(shí)，拓寬學(xué)生視野，了解知識(shí)的產(chǎn)生背景和本源，知其然并知其所以然，同時(shí)也增強(qiáng)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，了解數(shù)學(xué)來(lái)源于生活并服務(wù)于生活，樹(shù)立“數(shù)學(xué)是有用的”意識(shí).從高考的角度，高考命題也來(lái)源于此.這就要求教師在任何時(shí)候都不能脫離課本，必須回歸教材，以本為本，對(duì)課本資源進(jìn)行深度挖掘、鉆研，多琢磨、多整合，善于一題多解和多題一解.