張麗群 指導(dǎo)教師：林為華

(福建省莆田擢英中學(xué) 351100)

一、恒成立、存在性含參問(wèn)題

此類題，是高考導(dǎo)數(shù)壓軸題中較為常規(guī)的一種.分離參數(shù)后，加入一次導(dǎo)或者二次導(dǎo)的二次函數(shù)分類討論，轉(zhuǎn)化成去求新構(gòu)造函數(shù)最值的問(wèn)題.類比，這種思路也適合與導(dǎo)數(shù)和三角函數(shù)結(jié)合的含參數(shù)的問(wèn)題處理.在此類題中，若出現(xiàn)不定型的導(dǎo)函數(shù)，那我們還可以對(duì)一些層次較好的同學(xué)傳授一些大學(xué)中對(duì)于不定型導(dǎo)函數(shù)的處理方法，例如洛必達(dá)法則的應(yīng)用.當(dāng)然，最好進(jìn)行分類討論，雖然運(yùn)算較為繁冗.

例如下面這道題目：考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,零點(diǎn)等問(wèn)題,和數(shù)形結(jié)合的思想方法,難度較大．

(1)令g(x)=f′(x),對(duì)g(x)再求導(dǎo),研究其在(0,π)上的單調(diào)性,結(jié)合極值點(diǎn)和端點(diǎn)值不難證明；

(2)利用(1)的結(jié)論,可設(shè)f′(x)的零點(diǎn)為x0,并結(jié)合f′(x)的正負(fù)分析得到f(x)的情況,作出圖示,得出結(jié)論．

例題1已知函數(shù)f(x)=2sinx-xcosx-x,f′(x)為f(x)的導(dǎo)數(shù)．

(1)證明：f′(x)在區(qū)間(0,π)存在唯一零點(diǎn)；

(2)若x∈[0,π]時(shí),f(x)≥ax,求a的取值范圍．

解(1)可求得f′(x)=2cosx-cosx+xsinx-1=cosx+xsinx-1.令g(x)=cosx+xsinx-1,則g′(x)=-sinx+sinx+xcosx=xcosx.

(2)方法一

由(1)知,令h(x)=ax,作出圖示,∵f(x)≥h(x),

∴a≤0．

方法二令h(x)=f(x)-ax=2sinx-xcosx-(a+1)x,則h′(x)=cosx+xsinx-1-a,令m(x)=cosx+xsinx-1-a,m′(x)=xcosx=g′(x).

①當(dāng)a≤-2時(shí)，h′(x)min=h′(π)=-2-a≥0，即h′(x)≥0在[0,π]上恒成立，∴h(x)在[0,π]上單調(diào)遞增，h(x)≥h(0)=0,即f(x)≥ax,此時(shí)f(x)≥ax恒成立.

綜上所述：a∈(-∞,0].

二、導(dǎo)數(shù)中“對(duì)稱直線”的妙用

對(duì)較復(fù)雜含參的函數(shù)，先分離參數(shù)，構(gòu)造一個(gè)新的函數(shù)，若運(yùn)算量很大的話，那我們就要思考，能不能將問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化，并實(shí)施轉(zhuǎn)化分解變形.在考慮零點(diǎn)方面的問(wèn)題，一般還要轉(zhuǎn)化成兩個(gè)函數(shù)來(lái)求交點(diǎn)的問(wèn)題.而且，在導(dǎo)函數(shù)的小題壓軸題當(dāng)中，我們還會(huì)遇到，轉(zhuǎn)化后，兩個(gè)函數(shù)圖象是關(guān)于某一條直線對(duì)稱的，或者是某一條曲線的切線等情況.那這條直線的存在就為我們提供了非常好的幾何法方面的思路.我們?cè)囍业竭@一條直線，然后將題目轉(zhuǎn)化成兩個(gè)差函數(shù)來(lái)求解，問(wèn)題就很快地得到處理.

例題2已知函數(shù)f(x)=e1-x(-a+cosx),a∈R.

(1)若函數(shù)f(x)存在單調(diào)增區(qū)間,求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

評(píng)析(1)函數(shù)f(x)存在單調(diào)增區(qū)間,所以方程f′(x)>0有解,即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

三、導(dǎo)數(shù)中的“隱零點(diǎn)”

導(dǎo)數(shù)中，最近熱門(mén)的話題，非隱零點(diǎn)不可了.圓錐篇章，我們就已經(jīng)接觸“設(shè)而不求”跟韋達(dá)定理的完美展示.那在導(dǎo)數(shù)這邊，更是把這種思想發(fā)揮得淋漓盡致.利用導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)作為解題橋梁，設(shè)出零點(diǎn)，用零點(diǎn)來(lái)?yè)Q元或者消元，從而轉(zhuǎn)化成我們學(xué)過(guò)的簡(jiǎn)單函數(shù)來(lái)進(jìn)行求解.比如以下這道題目：本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求極值和單調(diào)區(qū)間,主要考查三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和求值,同時(shí)考查等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式的運(yùn)用,考查不等式恒成立問(wèn)題的證明,屬于難題．

例題3已知函數(shù)f(x)=eaxsinx(x∈[0,+∞))，a>0.記xn為f(x)的從小到大的第n(n∈N*)個(gè)極值點(diǎn).

四、導(dǎo)數(shù)中巧用不等式性質(zhì)

近幾年的高考中，壓軸題時(shí)常出現(xiàn)與不等式知識(shí)點(diǎn)交匯的題目.但是加入三角函數(shù)不等式的導(dǎo)數(shù)問(wèn)題，還是比較新穎的，具有一定的解題難度.我們可以利用絕對(duì)值不等式、三角不等式等，來(lái)進(jìn)行解題.比如以下這道題目：本題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)以及函數(shù)最值的應(yīng)用,求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系,以及換元法,轉(zhuǎn)化法，轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵.綜合性較強(qiáng),難度較大．

例題5設(shè)函數(shù)f(x)=acos2x+(a-1)(cosx+1),其中a>0,記|f(x)|的最大值為A．

證明：|f′(x)|≤2A．

綜上：|f′(x)|≤2A．