劉才華

(山東省泰安市寧陽第一中學(xué) 271400)

題目我們知道，函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)y=f(x)為奇函數(shù).有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點P(a,b)成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)y=f(x+a)-b為奇函數(shù).

(1)求函數(shù)f(x)=x3-3x2圖象的對稱中心；

(2)類比上述推廣結(jié)論，寫出“函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于y軸成軸對稱圖形的充要條件是函數(shù)y=f(x)為偶函數(shù)”的一個推廣結(jié)論.

這是最新普通高中教科書數(shù)學(xué)必修第一冊第87頁的一道拓廣探索題目，題目結(jié)論給出了如何判斷一個函數(shù)圖象成中心對稱或軸對稱的一個有效的判定方法.

眾所周知，奇函數(shù)圖象的對稱中心為原點，若y=f(x)的圖象對稱中心為點P(a,b)，可以通過將y=f(x)的圖象向左(或右)平移變換和向上(或下)平移變換，將其對稱中心平移到原點處，得到一個奇函數(shù)的圖象；同樣地，若y=g(x)的圖象的對稱中心為原點，可以通過將y=g(x)的圖象向左(或右)平移變換和向上(或下)平移變換，將其對稱中心平移到P(a,b)處，得到一個關(guān)于P(a,b)成中心對稱的函數(shù)的圖象.于是我們得到如下

命題1函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點P(a,b)成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)y=f(x+a)-b為奇函數(shù).

由f(a)=4得f(-a)=2-4=-2，故f(-a)=-2.

例4(2008年高考重慶理科試題)若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：對任意x1,x2∈R，有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1，則下列說法一定正確的是( ).

A.f(x)為奇函數(shù) B.f(x)為偶函數(shù)

C.f(x)+1為奇函數(shù) D.f(x)+1為偶函數(shù)

解令x1=x2=0，代入f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1得f(0)=-1.令x1=x,x2=-x，代入f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1得f(x)+f(-x)=f(0)-1=-2.所以f(x)的圖象關(guān)于點P(0,-1)對稱，則f(x)+1為奇函數(shù)，選擇答案：C.

我們知道，偶函數(shù)圖象的對稱軸為y軸，若y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱，可以通過將y=f(x)的圖象向左(或右)平移變換，將其對稱軸平移到和y軸重合，得到一個偶函數(shù)的圖象；同樣地，若y=g(x)的圖象的對稱軸為y軸，可以通過將y=g(x)的圖象向左(或右)平移變換，將其對稱軸平移到和直線x=a重合，得到一個關(guān)于直線x=a成軸對稱的函數(shù)的圖象.于是我們得到如下

命題2函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱的充要條件是函數(shù)y=f(x+a)為偶函數(shù).

例5(2017年全國新課標(biāo)Ⅰ文科試題)已知函數(shù)f(x)=lnx+ln(2-x)，則( ).

A.f(x)在(0,2)單調(diào)遞增

B.f(x)在(0,2)單調(diào)遞減

C.y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱

D.y=f(x)的圖象關(guān)于點(1,0)對稱

解由f(x)=lnx+ln(2-x)得f(x)=ln[x(2-x)].由于y=-x2+2x(0

設(shè)g(x)=f(x+1)=ln(x+1)+ln(1-x).由g(x)=g(-x)得g(x)為偶函數(shù)，所以由命題2得y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱，選擇答案：C.

例6(2017年新課標(biāo)Ⅲ理科試題)已知函數(shù)f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)有唯一零點，則a=( ).

選擇答案：C.

例7(2007年重慶理科試題)已知定義域為R的函數(shù)f(x)在(8,+∞)上為減函數(shù)，且函數(shù)y=f(x+8)為偶函數(shù)，則( ).

A.f(6)>f(7) B.f(6)>f(9)

C.f(7)>f(9) D.f(7)>f(10)

解因為y=f(x+8)為偶函數(shù)，所以由命題2得f(x)的圖象關(guān)于x=8對稱，于是f(7)=f(9).因為f(x)在(8,+∞)上為減函數(shù)，所以f(9)>f(10)，即f(7)>f(10)，故選擇答案：D.

命題甲：f(x+2)是偶函數(shù)；

命題乙：y=4x-2x+2(x>1)在(-∞，2)上是減函數(shù)，在(2，+∞)上是增函數(shù)；

能使命題甲、乙均為真的所有函數(shù)的序號是( ).

A.①② B.①③ C.② D.③

解因為f(x+2)為偶函數(shù)，所以由命題2得f(x)的圖象關(guān)于x=2對稱，①不正確，排除選擇支A、B.由于f(x)=(x-2)2滿足命題乙，故選擇答案：C.