薛婭婷,尹相國,張云波

(山西大學 理論物理研究所,山西 太原 030006)

0 引言

超冷玻色氣體和費米氣體的混合物在實驗和理論上都引起了廣泛的研究[1-3]。近年來,各種理論方法被用來研究一維玻色費米混合氣體的量子相變,如平均場方法[4]和Tomonaga-Luttinger液體(TLL)理論[5-6]。當玻色子和費米子的質(zhì)量相同,并且玻色子之間的相互作用強度與玻色費米子間的相互作用強度相等時,一維玻色費米混合氣體系統(tǒng)是完全精確可解的[7]。由于冷原子系統(tǒng)的實驗進展,該模型重新引起了人們的興趣[8-9]。

玻色費米混合氣體的基態(tài)性質(zhì)備受人們關注[8-9]。然而,對該模型的熱力學量和量子臨界現(xiàn)象的研究則相對較少。對于處于基態(tài)的一維系統(tǒng),當改變化學勢、磁場等參數(shù)時,系統(tǒng)可能發(fā)生量子相變,例如從純玻色相轉(zhuǎn)變到玻色費米混合相,再到費米相。最近,高分辨率成像技術可以非常精確地測量勢阱中原子氣體的密度分布和密度波動[10-13],從而為研究量子相變和量子臨界性提供了必要的工具。為了描述體系不同的相,Wiedemann-Franz(WF)定律[14],Kadowaki-Wood比率[15],威爾遜比率[16]等等都是十分有效的。因為這些常數(shù)可通過可測量的物理量求得,并且反映了體系的一些本質(zhì)特征。WF定律是普適的,適用于很多體系和材料。由于復雜和難以計算的體系的能態(tài)密度被消掉,WF定律常常被用來刻畫新發(fā)現(xiàn)的尚未被研究清楚的體系和材料[17]。尤其是近年來,新的實驗[18]也顯示了WF定律在量子相變中依舊適用。

類似地,Grüneisen參數(shù)(Grüneisen Parameter,簡稱GP)[19]定義為

(1)

可以用來描述體系的量子臨界相變點的行為。這里S是熵,V是系統(tǒng)的體積,N,T分別是系統(tǒng)的粒子數(shù)和溫度。GP是無量綱的物理學常數(shù)。最初由Eduard Grüneisen在1908年開創(chuàng)性的文章[20]中研究愛因斯坦模型時提出,雖然在固體地球物理[21]、化學物理[22]和等離子物理[23]等領域?qū)P進行了較為深入的研究,但其在冷原子系統(tǒng)中的行為,如冷原子、量子液體和量子氣體中的行為卻很少有人關注。這是由于在氣體中以壓力和溫度為變量的函數(shù)進行高精度熱膨脹和比熱測量都十分困難。最近,實驗開始對重費米子系統(tǒng)的GP感興趣[24],重費米子金屬對壓力的微小變化極為敏感,這種壓力敏感性體現(xiàn)在GP值的高度增強上,低溫下的GP冷卻時比對數(shù)發(fā)散更明顯,因此可以被視為實驗中判斷量子臨界點的標準[25],從這個意義上說,GP可以作為實驗和理論研究上檢測和研究量子相變的有效工具。

本文主要在玻色費米混合物系統(tǒng)中,研究討論了GP在相變點的行為。

1 理論模型

我們考慮粒子間具有δ函數(shù)形式接觸相互作用的一維玻色費米混合氣體組成的長度為L的系統(tǒng)。其哈密頓量的二次量子化形式為

(2)

(3)

其中上式第一項為動能項,xi是第i個粒子的坐標,N是系統(tǒng)粒子總數(shù),第二項為粒子間的相互作用項。c表示粒子間的相互作用強度,且滿足c=mg/?2。當c為正值時,粒子間相互排斥;當c為負值時,粒子間相互吸引。

在熱力學極限下(N→∞,L→∞,且N/L是一個有限的值),對于系統(tǒng)的熱力學平衡態(tài)來說,系統(tǒng)的熵是最大的,同時系統(tǒng)受到單位長度內(nèi)粒子數(shù)目和能量值的約束,即吉布斯自由能的極值條件決定了系統(tǒng)的平衡態(tài)。采用文獻[26]的思路,令混合氣體吉布斯自由能的變分為零,便得到平衡態(tài)的非線性積分方程,即熱力學BA(TBA)方程:

a1(k-Λ)ln[1+exp(-φ(Λ)/T)],

a1(Λ-k)ln[1+exp(-ε(k)/T)]

(4)

(5)

其他熱力學量,如玻色子和費米子的壓縮率κb和κf,磁化率χ等可表示成壓強的導數(shù),例如

(6)

χ=?2p/?H2

(7)

2 Grüneisen參數(shù)

2.1 Grüneisen參數(shù)

到目前為止,GP已經(jīng)在自由系統(tǒng)[19]中得到了很好的理解,但對于存在相互作用的系統(tǒng),還缺乏系統(tǒng)的研究。本節(jié)的主要目的是研究GP在玻色費米混合物系統(tǒng)中的行為性質(zhì)。

公式(1)中GP的表達式在固定總粒子數(shù)N的正則系綜中定義的,而TBA方程和壓強等物理量是在μ,H和T為自變量的巨正則系綜中定義的。因此,通過系綜變換可以得到了巨正則系綜下的GP表達式[27]

(8)

我們可以通過數(shù)值計算得到不同有效磁場強度下的GP。計算思路如下:首先對方程組(4)的兩邊都除以c2(令ε0=c2),然后利用數(shù)值迭代方法可得到TBA方程的解ε(k)/ε0和φ(Λ)/ε0,然后通過公式(5)的數(shù)值積分得到壓強p,最后通過公式(8)得到GP。為了減小計算的誤差,公式(8)中的偏導數(shù)沒有采用直接差分的辦法,而是通過它們滿足的積分方程的數(shù)值迭代計算得到的。圖1給出了GP隨有效磁場強度的變化。需要注意圖中的溫度t=T/ε0。當系統(tǒng)處于基態(tài)時,隨著有效磁場強度的變大,系統(tǒng)從玻色相變到玻色費米混合相,再到費米相。在遠離基態(tài)相變點區(qū)域,GP幾乎保持一個恒定的常數(shù),而在相變點附近,GP劇烈變化,出現(xiàn)了一個非常明顯的低谷(極低值)。隨著溫度的降低,低谷的深度變深。當溫度趨向于絕對零度時,GP在相變點發(fā)散。通過調(diào)節(jié)參數(shù)H可使Γ經(jīng)過3個不同相,因此可以作為判斷是否發(fā)生相變的一個有效的工具。

圖1 經(jīng)過三個不同的相的GP。從圖中我們可以看出,GP從純玻色相到玻色費米混合相和從混合相到純費米相會發(fā)生明顯的變化。其中,藍色豎直虛線為當μ/ε0=2時零溫解析得到的相變點。Fig.1 The GP in three different phases.As can be seen from the figure, significant divergence occurs from the bose phase to theBose-Fermi mixture phase and from the mixture phase to the Fermi phase.Here the blue dotted line are the phase transition points obtained analytically from the zero temperature phase diagram when μ/ε0=2.

圖2 通過調(diào)節(jié)磁場強度H得到MGP在三個不同相內(nèi)的變化情況,這里μ/ε0=2。MGP在純玻色區(qū)域和純費米區(qū)域為零。Fig.2 The variation of MGP in three different phases is obtained by adjusting the magnetic field H,where we keep μ/ε0=2, MGP is exactly zero in the pure Boson region and the pure Fermi region.

2.2 磁化Grüneisen參數(shù)

把GP中的體積V用磁場H代替,稱為磁化Grüneisen參數(shù)(MGP),定義為[28]:

(9)

實際上,MGP在凝聚態(tài)物理實驗中更為普遍,因為分子與磁熵變化有關,而磁熵變化是可以測量的,在磁性材料的研究中具有重要意義。

類似地,巨正則系綜中可以得到用壓強導數(shù)表示的MGP,即為[27]:

(10)

對比圖1,我們討論MGP在3個相中的情況。圖2為隨著有效磁場強度的變大,MGP從玻色相到玻色費米混合相,再到費米相的變化。藍色豎直虛線為零溫時當μ/ε0=2時解析得到的從純玻色相到混合相以及從混合相到純費米相的相變點。在純玻色和純費米區(qū)域的極限情況下,可以很容易地得到Γmag=0。從圖中可以看出,當溫度趨向于絕對零度時,MGP在相變點會發(fā)生劇烈變化,不同于GP的是,MGP在兩個相變點的峰值為一正一負,且變化都較大。

圖3為關于Γmag的玻色費米混合物有限溫相圖。圖中的黑色虛線為解析得到的玻色費米混合物的零溫相圖[29]。除去真空態(tài),相圖包括純玻色相,純費米相,和玻色費米混合3個相。對比零溫解析得到的相圖,我們來分析低溫下Γmag在量子臨界點的行為。從圖3中我們可以看出Γmag能夠清晰地標注相區(qū),在每一個相區(qū)內(nèi)Γmag值基本不變,但在相邊界附近有峰值出現(xiàn),從玻色態(tài)到混合態(tài)的峰值為正,從費米態(tài)到混合態(tài)的峰值為負,通過調(diào)節(jié)參數(shù)H,μ可以使Γmag取不同的值。

圖3 關于Γmag的有限溫相圖。橫坐標是有效磁場強度H/ε0,縱坐標是化學勢μ/ε0,通過調(diào)節(jié)這兩個參數(shù)可以使系統(tǒng)穿過四個不同的相區(qū)。顏色條代表的是Γmag值,黑色虛線表示零溫的相邊界,這里溫度取為t=T/ε0=0.03。Fig.3 Finite temperature phase diagram for Γmag.Abscissa is the effective magnetic field strength H/ε0,longitudinal coordinates are chemical potentials μ/ε0.By adjusting these two parameters,the system can pass through four different phase regions.The color bar represents the Γmag value.The black dash-lines are for the boundary ofdifferent phases, where t=T/ε0=0.03.

3 結論

本文用GP和MGP這兩種無量綱參數(shù)研究了玻色費米混合物系統(tǒng)中的相變,發(fā)現(xiàn)兩者在相變點附近都會發(fā)生突變,只是突變的行為不一樣,GP從玻色子到混合物的相變和從費米子到混合物的相變都為負值,且從玻色到混合物的相變突變行為相對較小,而MGP在兩個相變點的變化都較大,且為一正一負,但由于我們參照的是零溫相圖研究這兩個參量在相變點的行為,所以兩者對相變點的描述可能和零溫相圖相比有些偏差。