■江蘇無錫市第六高級中學(xué)

■江蘇無錫市青山高級中學(xué) 張啟兆

復(fù)數(shù)有許多特殊的性質(zhì),如果在解題過程中被靈活地運用,就能化繁為簡、化難為易,起到事半功倍的效果。

一、虛數(shù)i的性質(zhì)及其應(yīng)用

與虛數(shù)單位i相關(guān)的性質(zhì)有：

①i2=-1(即-1的平方根是±i)；

②若n∈N*,則i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i；

③（1±i）2=±2i；

⑤in+in+1+in+2+in+3=0,in·in+1·in+2·in+3=-1(n∈N*)；

⑥若w=則w3=1,|w|=

評注:運用與虛數(shù)單位i相關(guān)的性質(zhì),可以使運算簡化,提高運算速度。

二、復(fù)數(shù)模的性質(zhì)及其應(yīng)用

②|z1·z2|=|z1|·|z2|,推廣：|zn|=|z|n(n∈N*)；

例3已知復(fù)數(shù)z=(-1+2i)2·,則實數(shù)a=_____。

解析：因為所以

例4設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z2=3+4i(i是虛數(shù)單位),則z的模為____。

解析：由z2=3+4i,得|z2|=|z|2=|3+4i|=5,所以

評注:靈活運用復(fù)數(shù)模的性質(zhì),可以優(yōu)化運算過程。

三、共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)及其_應(yīng)用

設(shè)復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為則有如下性質(zhì)：

⑤z為實數(shù)為純虛數(shù)?z=

例5已知復(fù)數(shù)z滿足z·i=3-2i,其中i是虛數(shù)單位,則=____。

解析：由z·i=3-2i,得所以

例6已知z1,z2是兩個不相等的復(fù)數(shù),且z1=1+i,求證

解析：由z1=1+i,得所以z1

四、復(fù)數(shù)模的三角不等式||z1|-|z2||≤|z1±z2|≤|z1|+|z2|的應(yīng)用

例7已知z1,z2∈C,|z1|=3,|z2|=4,求|z1+z2|+|z1-z2|的最大值。

圖1

解析：由幾何意義可知,|z1+z2|,|z1-z2|是平行四邊形OZ1ZZ2兩對角線之長,如圖1。故|z1+z2|+|z1-z2|≤|z1|+|z2|+|z1|+|z2|≤2|z1|+2|z2|≤14,|z1+z2|+|z1-z2|的最大值為14。

例8(2019年北京大學(xué)自主招生數(shù)學(xué)試題第2題改編)復(fù)數(shù)z1,z2滿足|z1-2i|=3,|z2-6|=1,則由復(fù)數(shù)z1-z2對應(yīng)點構(gòu)成的圖形的面積是_____。

解析：復(fù)數(shù)z1,z2對應(yīng)點的軌跡都是圓,關(guān)鍵在如何確定復(fù)數(shù)z1-z2對應(yīng)點的圖形(軌跡)。

記z=z1-z2,由復(fù)數(shù)模的三角不等式得：

|z-(-6+2i)|=|(z1-2i)-(z2-6)|≤|z1-2i|+|z2-6|=4。

另一方面|z-(-6+2i)|=|(z1-2i)-(z2-6)|≥||z1-2i|-|z2-6||=2。

故2≤|z-(-6+2i)|≤4,等號都能取得,z對應(yīng)點Z的軌跡是一個外徑為4內(nèi)徑為2的圓環(huán),面積為12π。