劉義才 劉 斌 高 俊
(*武漢科技大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院; 冶金自動(dòng)化與檢測(cè)技術(shù)教育部工程研究中心 武漢 430081) (**武漢商學(xué)院機(jī)電工程與汽車服務(wù)學(xué)院 武漢 430056)
網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)(networked control systems,NCSs)是由控制器、傳感器、執(zhí)行器等部件通過通信網(wǎng)絡(luò)連接構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng)。與傳統(tǒng)的控制系統(tǒng)相比,網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)具有接線少、成本低、便于安裝和維護(hù)等優(yōu)點(diǎn)[1-3]。然而數(shù)據(jù)在帶寬有限的網(wǎng)絡(luò)中進(jìn)行傳輸時(shí),受到網(wǎng)絡(luò)協(xié)議類型、負(fù)載變化等因素的影響,不可避免的會(huì)產(chǎn)生網(wǎng)絡(luò)時(shí)延和數(shù)據(jù)丟包,這將會(huì)引起系統(tǒng)性能下降甚至破壞其穩(wěn)定性,因此目前它成為NCSs分析和設(shè)計(jì)考慮的基本問題之一[4,5]。針對(duì)網(wǎng)絡(luò)時(shí)延和數(shù)據(jù)丟包所帶來的問題,近年來許多學(xué)者對(duì)此做了廣泛研究,分別采用了時(shí)滯系統(tǒng)分析方法[6,7]、異步動(dòng)態(tài)系統(tǒng)分析方法[8,9]、隨機(jī)系統(tǒng)分析方法[10, 11]、預(yù)測(cè)控制分析方法[12, 13]、切換系統(tǒng)分析[14, 15]等方法來解決,給出了保證系統(tǒng)性能或者穩(wěn)定的條件。
跟蹤控制是指在給定跟蹤性能的要求下,使被控對(duì)象輸出或狀態(tài)盡可能緊地跟蹤預(yù)定的參考軌跡,同時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)定性也可以看成跟蹤控制問題的一種特例。跟蹤控制普遍存在于工業(yè)、生物和經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域的動(dòng)態(tài)過程中,并廣泛應(yīng)用于機(jī)器人、導(dǎo)彈跟蹤控制以及飛行姿態(tài)的跟蹤控制。但是由于NCSs的時(shí)延和數(shù)據(jù)丟包的通信約束,其反饋控制信號(hào)會(huì)導(dǎo)致輸出誤差,因此在NCSs中實(shí)現(xiàn)期望的跟蹤性能更具挑戰(zhàn)性。預(yù)測(cè)控制[16,17]、自適應(yīng)控制[18]、以及魯棒H∞控制[19,20]等方法常被用來實(shí)現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)中的輸出跟蹤問題。然而在工業(yè)應(yīng)用中,比例積分微分(proportional integral derivative, PID)控制是現(xiàn)階段最普遍和最流行的控制策略,因此基于現(xiàn)有的PID控制系統(tǒng)的改進(jìn),以適應(yīng)網(wǎng)絡(luò)通信的約束將會(huì)更有現(xiàn)實(shí)意義。因此,文獻(xiàn)[21]基于標(biāo)準(zhǔn)增益和相位裕度,研究了一階和二階時(shí)滯NCSs的PID和PI控制。在文獻(xiàn)[22]中,針對(duì)存在未知網(wǎng)絡(luò)時(shí)延的直流電動(dòng)機(jī)系統(tǒng),提出了一種基于雙線性矩陣不等式(linear matrix inequality,LMI)的特定PI調(diào)節(jié)器設(shè)計(jì)方法。文獻(xiàn)[23]將PID控制器設(shè)計(jì)問題轉(zhuǎn)化為靜態(tài)輸出反饋控制器問題。文獻(xiàn)[24]結(jié)合了靜態(tài)輸出反饋和魯棒H∞跟蹤控制的特點(diǎn),設(shè)計(jì)了魯棒H∞ PID控制器。
隨著工業(yè)過程不斷地發(fā)展,實(shí)際應(yīng)用中出現(xiàn)的被控對(duì)象越來越復(fù)雜,因此導(dǎo)致了系統(tǒng)模型的階數(shù)也越來越高,這也造成了計(jì)算難度的增大以及控制成本的增加。因此模型降階理論一直都是熱門研究領(lǐng)域。自1966 年 Davison提出模型降階思想后的幾十年來,針對(duì)高階線性時(shí)不變單輸入單輸出(single input single output, SISO)系統(tǒng)或多輸入多輸出(multiple input multiple output, MIMO)系統(tǒng)模型,國內(nèi)外學(xué)者和專家提出了大量有效的關(guān)于模型降階的方法,例如最小實(shí)現(xiàn)、集結(jié)法、攝動(dòng)法、模態(tài)近似法、Padé逼近法、矩陣匹配法、平衡理論法等。他們通過對(duì)實(shí)際中存在的難以控制的高階對(duì)象進(jìn)行降階處理,以簡單的低階模型來替代實(shí)際的高階對(duì)象,從而降低設(shè)計(jì)控制器的難度,提高控制效果和精度。另外,由于許多工程和工業(yè)過程可以被直接建模為二階傳遞函數(shù),因此受上述研究的啟發(fā),本文針對(duì)具有雙邊時(shí)變時(shí)延和數(shù)據(jù)丟包的NCSs,采用了狀態(tài)反饋的增廣狀態(tài)空間模型重新描述了具有典型二階傳遞函數(shù)形式的控制對(duì)象和PID控制增益,同時(shí)利用時(shí)滯系統(tǒng)的分析方法,在考慮時(shí)延和丟包特點(diǎn)的基礎(chǔ)上,將PID跟蹤控制器參數(shù)選擇歸結(jié)為LMI求解問題。文章最后通過仿真示例和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了本文所提方法的有效性。
針對(duì)高階系統(tǒng)模型,可通過模型降階法將其進(jìn)行降階處理,從而獲得等效的二階系統(tǒng)模型。所獲得的典型二階被控對(duì)象傳遞函數(shù)模型可描述為
(1)
其中,a0,a1,b1,b0為標(biāo)量常數(shù)。
將傳遞函數(shù)式(1)轉(zhuǎn)換為空間狀態(tài)模型式(2)。
(2)
(3)
圖1所示為存在雙邊時(shí)變時(shí)延的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng),其中r(t)為參考輸入,對(duì)該系統(tǒng)作如下合理假定:
(1) 傳感器采用時(shí)間周期為h的驅(qū)動(dòng)模式;
(2) 執(zhí)行器和控制器采用事件驅(qū)動(dòng),即當(dāng)新的數(shù)據(jù)到達(dá)節(jié)點(diǎn)時(shí),立即執(zhí)行相關(guān)操作;
圖1 典型的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖
如圖2所示,考慮雙邊網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)時(shí)變時(shí)延和丟包的影響,傳感器采樣x(tkh)將會(huì)在時(shí)刻tk+1h+τk+1到達(dá)執(zhí)行器。
定義τ(t)=t-tkh,t∈[tkh+τk,tk+1h+τk+1)為零階保持器的保持時(shí)間,考慮系統(tǒng)時(shí)延和連續(xù)丟包,則有:
因此反饋控制律可重新表述如下:
(5)
對(duì)于被控系統(tǒng)式(5),定義二次性能指標(biāo):
(6)
針對(duì)網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)中的時(shí)變時(shí)延和數(shù)據(jù)丟包影響,本文的目的就是要采用LMI方法設(shè)計(jì)一個(gè)PID控制律實(shí)現(xiàn)軌跡跟蹤,且其二次性能不能超過一個(gè)確定的上界。
圖2 信號(hào)時(shí)序圖
引理1互逆凸組合方法(reciprocally convex approach)[25]:假設(shè)f1,f2,…,fN:Rm→R在開集D的子集中有正值,D?Rm。那么在集合D中fi的相互組合滿足:
(7)
Ξ1=
(8)
Ξ2=
(9)
證明:構(gòu)建Lyapunov-Krasovskii函數(shù)。
其中,V1(t,xt)=xT(t)Px(t),
對(duì)其求導(dǎo),可得:
(10)
(11)
(12)
(13)
繼續(xù)對(duì)式(12)中的積分部分采用Jensen不等式,可得:
(14)
(15)
若存在矩陣U滿足式(7),對(duì)式(15)采用引理1 ,可得:
(16)
(17)
應(yīng)用柯西不等式可得:
(18)
綜合式(7)~式(18)有:
(19)
(20)
(21)
(22)
(23)
證明:對(duì)式(8)采用舒爾補(bǔ)引理, 可得式(24)。
(24)
(25)
然后對(duì)式(25)采用舒爾補(bǔ)引理可得式(26)。
i=1,2 (26)
引入XN,R1N,R2N,L1N和L2N,則式(26)可重新寫成式(27)和式(28)。
i=1,2 (27)
(28)
因此定理2可行解的問題轉(zhuǎn)化為以下LMI最優(yōu)化問題:
subjectto式(21)~式(23)和式(27)得:
首先通過設(shè)計(jì)數(shù)值仿真示例來驗(yàn)證所提算法的有效性??刂茖?duì)象采用Quanser公司的直流伺服電機(jī)驅(qū)動(dòng)模型,網(wǎng)絡(luò)采用基于Matlab/Simulink的Truetime工具箱模擬實(shí)現(xiàn)。
圖3所示的是直流電機(jī)電樞回路和齒輪傳動(dòng)的工作原理,可建立其電機(jī)輸入電壓Vi和負(fù)載轉(zhuǎn)動(dòng)角θl的傳遞函數(shù)形式:
為2個(gè),則τ(t)∈[10, 160) ms,同時(shí)PID控制器采用傳感器采樣周期時(shí)間進(jìn)行離散化??紤]系統(tǒng)丟包最壞的情況,即每3個(gè)數(shù)據(jù)包中連續(xù)丟包2個(gè),數(shù)據(jù)傳輸序列為…100100100…,1代表數(shù)據(jù)包成功傳輸,0代表丟包。
圖3 直流伺服電機(jī)電樞回路和齒輪傳動(dòng)的原理圖
表1 不同二次性能指標(biāo)參數(shù)下的PID控制器以及對(duì)應(yīng)的直流電機(jī)階躍響應(yīng)性能指標(biāo)
圖4 不同二次型參數(shù)下所對(duì)應(yīng)直流伺服電機(jī)的階躍響應(yīng)曲線
進(jìn)一步考慮文獻(xiàn)[28, 29]中采樣周期為0.04 s的四階離散系統(tǒng)模型。它是由直流電機(jī)、負(fù)載板、速度和角度傳感器組成的伺服電機(jī)控制系統(tǒng),其模型傳遞函數(shù)為
采用雙線性變換可得對(duì)應(yīng)的連續(xù)傳遞函數(shù)
G(s)=
繼續(xù)采用Padé逼近法進(jìn)行系統(tǒng)降階處理,可得典型結(jié)構(gòu)的二階系統(tǒng)形式:
根據(jù)數(shù)值仿真中的第一個(gè)示例,采用Quanser公司提供的基于Matlab/Simulink通信模塊構(gòu)建了真實(shí)的網(wǎng)絡(luò)化直流伺服電機(jī)控制系統(tǒng)。如圖6所示,臺(tái)式計(jì)算機(jī)(PC1)通過網(wǎng)線接入實(shí)驗(yàn)室所在樓層的局域網(wǎng),筆記本電腦(PC2)作為控制器通過無線Wi-Fi接入。通過ping命令獲取PC1到PC2的網(wǎng)絡(luò)時(shí)延值大小,如圖7所示,其時(shí)延值絕大部分分布在20 ms以下,基本符合仿真中給出的假設(shè)條件。
圖5 直流電機(jī)不同系統(tǒng)模型下的階躍響應(yīng)曲線
圖6 網(wǎng)絡(luò)化直流伺服電機(jī)控制系統(tǒng)
圖7 本地局域網(wǎng)中的網(wǎng)絡(luò)時(shí)延
在圖6中,PC1與驅(qū)動(dòng)板構(gòu)成執(zhí)行器模塊驅(qū)動(dòng)直流伺服電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng),并且與數(shù)據(jù)采集卡構(gòu)成傳感器模塊獲取電機(jī)的位置信息。采用UDP網(wǎng)絡(luò)通信協(xié)議,PC1通過網(wǎng)絡(luò)向控制器(PC2)發(fā)送和接收信號(hào),并將信號(hào)發(fā)送給伺服系統(tǒng)??紤]電機(jī)在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中存在一定的機(jī)械摩擦等因素,因此在實(shí)驗(yàn)中選取了表1中的第3個(gè)PID控制器參數(shù)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果圖8給出了在控制器PC2端得到的直流伺服電機(jī)角度位置跟蹤響應(yīng)曲線。
圖8 直流伺服電機(jī)位置跟蹤響應(yīng)曲線
本文針對(duì)實(shí)際工程和工業(yè)過程具有二階傳遞函數(shù)的對(duì)象,將PID跟蹤控制器參數(shù)選擇歸結(jié)為LMI求解凸優(yōu)化的系統(tǒng)穩(wěn)定性問題,實(shí)現(xiàn)了網(wǎng)絡(luò)化PID跟蹤控制。針對(duì)高階系統(tǒng)對(duì)象,可事先對(duì)系統(tǒng)對(duì)象模型進(jìn)行降階,進(jìn)而采用本文所提的方法進(jìn)行處理。文章最后通過數(shù)值仿真,證明了本文所提方法的有效性。并在伺服電機(jī)系統(tǒng)上進(jìn)行驗(yàn)證, 達(dá)到了對(duì)給定的參考方波信號(hào)快速平穩(wěn)跟蹤的效果。