劉義才 劉 斌 高 俊

(*武漢科技大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院； 冶金自動(dòng)化與檢測(cè)技術(shù)教育部工程研究中心 武漢 430081) (**武漢商學(xué)院機(jī)電工程與汽車服務(wù)學(xué)院 武漢 430056)

0 引 言

網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)(networked control systems,NCSs)是由控制器、傳感器、執(zhí)行器等部件通過通信網(wǎng)絡(luò)連接構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng)。與傳統(tǒng)的控制系統(tǒng)相比，網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)具有接線少、成本低、便于安裝和維護(hù)等優(yōu)點(diǎn)[1-3]。然而數(shù)據(jù)在帶寬有限的網(wǎng)絡(luò)中進(jìn)行傳輸時(shí)，受到網(wǎng)絡(luò)協(xié)議類型、負(fù)載變化等因素的影響，不可避免的會(huì)產(chǎn)生網(wǎng)絡(luò)時(shí)延和數(shù)據(jù)丟包，這將會(huì)引起系統(tǒng)性能下降甚至破壞其穩(wěn)定性，因此目前它成為NCSs分析和設(shè)計(jì)考慮的基本問題之一[4，5]。針對(duì)網(wǎng)絡(luò)時(shí)延和數(shù)據(jù)丟包所帶來的問題，近年來許多學(xué)者對(duì)此做了廣泛研究，分別采用了時(shí)滯系統(tǒng)分析方法[6,7]、異步動(dòng)態(tài)系統(tǒng)分析方法[8,9]、隨機(jī)系統(tǒng)分析方法[10, 11]、預(yù)測(cè)控制分析方法[12, 13]、切換系統(tǒng)分析[14, 15]等方法來解決，給出了保證系統(tǒng)性能或者穩(wěn)定的條件。

跟蹤控制是指在給定跟蹤性能的要求下，使被控對(duì)象輸出或狀態(tài)盡可能緊地跟蹤預(yù)定的參考軌跡，同時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)定性也可以看成跟蹤控制問題的一種特例。跟蹤控制普遍存在于工業(yè)、生物和經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域的動(dòng)態(tài)過程中，并廣泛應(yīng)用于機(jī)器人、導(dǎo)彈跟蹤控制以及飛行姿態(tài)的跟蹤控制。但是由于NCSs的時(shí)延和數(shù)據(jù)丟包的通信約束，其反饋控制信號(hào)會(huì)導(dǎo)致輸出誤差，因此在NCSs中實(shí)現(xiàn)期望的跟蹤性能更具挑戰(zhàn)性。預(yù)測(cè)控制[16,17]、自適應(yīng)控制[18]、以及魯棒H∞控制[19,20]等方法常被用來實(shí)現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)中的輸出跟蹤問題。然而在工業(yè)應(yīng)用中，比例積分微分(proportional integral derivative, PID)控制是現(xiàn)階段最普遍和最流行的控制策略，因此基于現(xiàn)有的PID控制系統(tǒng)的改進(jìn)，以適應(yīng)網(wǎng)絡(luò)通信的約束將會(huì)更有現(xiàn)實(shí)意義。因此，文獻(xiàn)[21]基于標(biāo)準(zhǔn)增益和相位裕度，研究了一階和二階時(shí)滯NCSs的PID和PI控制。在文獻(xiàn)[22]中，針對(duì)存在未知網(wǎng)絡(luò)時(shí)延的直流電動(dòng)機(jī)系統(tǒng)，提出了一種基于雙線性矩陣不等式(linear matrix inequality，LMI)的特定PI調(diào)節(jié)器設(shè)計(jì)方法。文獻(xiàn)[23]將PID控制器設(shè)計(jì)問題轉(zhuǎn)化為靜態(tài)輸出反饋控制器問題。文獻(xiàn)[24]結(jié)合了靜態(tài)輸出反饋和魯棒H∞跟蹤控制的特點(diǎn)，設(shè)計(jì)了魯棒H∞ PID控制器。

隨著工業(yè)過程不斷地發(fā)展,實(shí)際應(yīng)用中出現(xiàn)的被控對(duì)象越來越復(fù)雜,因此導(dǎo)致了系統(tǒng)模型的階數(shù)也越來越高,這也造成了計(jì)算難度的增大以及控制成本的增加。因此模型降階理論一直都是熱門研究領(lǐng)域。自1966 年 Davison提出模型降階思想后的幾十年來，針對(duì)高階線性時(shí)不變單輸入單輸出(single input single output， SISO)系統(tǒng)或多輸入多輸出(multiple input multiple output， MIMO)系統(tǒng)模型，國內(nèi)外學(xué)者和專家提出了大量有效的關(guān)于模型降階的方法，例如最小實(shí)現(xiàn)、集結(jié)法、攝動(dòng)法、模態(tài)近似法、Padé逼近法、矩陣匹配法、平衡理論法等。他們通過對(duì)實(shí)際中存在的難以控制的高階對(duì)象進(jìn)行降階處理,以簡單的低階模型來替代實(shí)際的高階對(duì)象,從而降低設(shè)計(jì)控制器的難度,提高控制效果和精度。另外，由于許多工程和工業(yè)過程可以被直接建模為二階傳遞函數(shù)，因此受上述研究的啟發(fā)，本文針對(duì)具有雙邊時(shí)變時(shí)延和數(shù)據(jù)丟包的NCSs，采用了狀態(tài)反饋的增廣狀態(tài)空間模型重新描述了具有典型二階傳遞函數(shù)形式的控制對(duì)象和PID控制增益，同時(shí)利用時(shí)滯系統(tǒng)的分析方法，在考慮時(shí)延和丟包特點(diǎn)的基礎(chǔ)上，將PID跟蹤控制器參數(shù)選擇歸結(jié)為LMI求解問題。文章最后通過仿真示例和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了本文所提方法的有效性。

1 問題描述及系統(tǒng)模型

針對(duì)高階系統(tǒng)模型，可通過模型降階法將其進(jìn)行降階處理，從而獲得等效的二階系統(tǒng)模型。所獲得的典型二階被控對(duì)象傳遞函數(shù)模型可描述為

(1)

其中，a0，a1，b1，b0為標(biāo)量常數(shù)。

將傳遞函數(shù)式(1)轉(zhuǎn)換為空間狀態(tài)模型式(2)。

(2)

(3)

圖1所示為存在雙邊時(shí)變時(shí)延的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)，其中r(t)為參考輸入，對(duì)該系統(tǒng)作如下合理假定：

(1) 傳感器采用時(shí)間周期為h的驅(qū)動(dòng)模式；

(2) 執(zhí)行器和控制器采用事件驅(qū)動(dòng)，即當(dāng)新的數(shù)據(jù)到達(dá)節(jié)點(diǎn)時(shí)，立即執(zhí)行相關(guān)操作；

圖1 典型的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

如圖2所示，考慮雙邊網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)時(shí)變時(shí)延和丟包的影響，傳感器采樣x(tkh)將會(huì)在時(shí)刻tk+1h+τk+1到達(dá)執(zhí)行器。

定義τ(t)=t-tkh,t∈[tkh+τk,tk+1h+τk+1)為零階保持器的保持時(shí)間，考慮系統(tǒng)時(shí)延和連續(xù)丟包，則有：

因此反饋控制律可重新表述如下：

(5)

對(duì)于被控系統(tǒng)式(5)，定義二次性能指標(biāo)：

(6)

針對(duì)網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)中的時(shí)變時(shí)延和數(shù)據(jù)丟包影響，本文的目的就是要采用LMI方法設(shè)計(jì)一個(gè)PID控制律實(shí)現(xiàn)軌跡跟蹤，且其二次性能不能超過一個(gè)確定的上界。

圖2 信號(hào)時(shí)序圖

2 網(wǎng)絡(luò)化PID控制穩(wěn)定性分析

引理1互逆凸組合方法(reciprocally convex approach)[25]：假設(shè)f1,f2,…,fN:Rm→R在開集D的子集中有正值，D?Rm。那么在集合D中fi的相互組合滿足：

(7)

Ξ1=

(8)

Ξ2=

(9)

證明：構(gòu)建Lyapunov-Krasovskii函數(shù)。

其中，V1(t,xt)=xT(t)Px(t),

對(duì)其求導(dǎo)，可得：

(10)

(11)

(12)

(13)

繼續(xù)對(duì)式(12)中的積分部分采用Jensen不等式，可得：

(14)

(15)

若存在矩陣U滿足式(7)，對(duì)式(15)采用引理1 ，可得：

(16)

(17)

應(yīng)用柯西不等式可得：

(18)

綜合式(7)～式(18)有：

(19)

(20)

3 網(wǎng)絡(luò)化PID控制器設(shè)計(jì)

(21)

(22)

(23)

證明：對(duì)式(8)采用舒爾補(bǔ)引理, 可得式(24)。

(24)

(25)

然后對(duì)式(25)采用舒爾補(bǔ)引理可得式(26)。

i=1,2 (26)

引入XN,R1N,R2N,L1N和L2N，則式(26)可重新寫成式(27)和式(28)。

i=1,2 (27)

(28)

因此定理2可行解的問題轉(zhuǎn)化為以下LMI最優(yōu)化問題：

subjectto式(21)～式(23)和式(27)得：

4 數(shù)值仿真與實(shí)驗(yàn)

4.1 數(shù)值仿真

首先通過設(shè)計(jì)數(shù)值仿真示例來驗(yàn)證所提算法的有效性?？刂茖?duì)象采用Quanser公司的直流伺服電機(jī)驅(qū)動(dòng)模型，網(wǎng)絡(luò)采用基于Matlab/Simulink的Truetime工具箱模擬實(shí)現(xiàn)。

圖3所示的是直流電機(jī)電樞回路和齒輪傳動(dòng)的工作原理，可建立其電機(jī)輸入電壓Vi和負(fù)載轉(zhuǎn)動(dòng)角θl的傳遞函數(shù)形式：

為2個(gè)，則τ(t)∈[10, 160) ms，同時(shí)PID控制器采用傳感器采樣周期時(shí)間進(jìn)行離散化?？紤]系統(tǒng)丟包最壞的情況，即每3個(gè)數(shù)據(jù)包中連續(xù)丟包2個(gè)，數(shù)據(jù)傳輸序列為…100100100…，1代表數(shù)據(jù)包成功傳輸，0代表丟包。

圖3 直流伺服電機(jī)電樞回路和齒輪傳動(dòng)的原理圖

表1 不同二次性能指標(biāo)參數(shù)下的PID控制器以及對(duì)應(yīng)的直流電機(jī)階躍響應(yīng)性能指標(biāo)

圖4 不同二次型參數(shù)下所對(duì)應(yīng)直流伺服電機(jī)的階躍響應(yīng)曲線

進(jìn)一步考慮文獻(xiàn)[28, 29]中采樣周期為0.04 s的四階離散系統(tǒng)模型。它是由直流電機(jī)、負(fù)載板、速度和角度傳感器組成的伺服電機(jī)控制系統(tǒng)，其模型傳遞函數(shù)為

采用雙線性變換可得對(duì)應(yīng)的連續(xù)傳遞函數(shù)

G(s)=

繼續(xù)采用Padé逼近法進(jìn)行系統(tǒng)降階處理，可得典型結(jié)構(gòu)的二階系統(tǒng)形式：

4.2 實(shí)驗(yàn)

根據(jù)數(shù)值仿真中的第一個(gè)示例，采用Quanser公司提供的基于Matlab/Simulink通信模塊構(gòu)建了真實(shí)的網(wǎng)絡(luò)化直流伺服電機(jī)控制系統(tǒng)。如圖6所示，臺(tái)式計(jì)算機(jī)(PC1)通過網(wǎng)線接入實(shí)驗(yàn)室所在樓層的局域網(wǎng)，筆記本電腦(PC2)作為控制器通過無線Wi-Fi接入。通過ping命令獲取PC1到PC2的網(wǎng)絡(luò)時(shí)延值大小，如圖7所示，其時(shí)延值絕大部分分布在20 ms以下，基本符合仿真中給出的假設(shè)條件。

圖5 直流電機(jī)不同系統(tǒng)模型下的階躍響應(yīng)曲線

圖6 網(wǎng)絡(luò)化直流伺服電機(jī)控制系統(tǒng)

圖7 本地局域網(wǎng)中的網(wǎng)絡(luò)時(shí)延

在圖6中，PC1與驅(qū)動(dòng)板構(gòu)成執(zhí)行器模塊驅(qū)動(dòng)直流伺服電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)，并且與數(shù)據(jù)采集卡構(gòu)成傳感器模塊獲取電機(jī)的位置信息。采用UDP網(wǎng)絡(luò)通信協(xié)議，PC1通過網(wǎng)絡(luò)向控制器(PC2)發(fā)送和接收信號(hào)，并將信號(hào)發(fā)送給伺服系統(tǒng)?？紤]電機(jī)在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中存在一定的機(jī)械摩擦等因素，因此在實(shí)驗(yàn)中選取了表1中的第3個(gè)PID控制器參數(shù)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果圖8給出了在控制器PC2端得到的直流伺服電機(jī)角度位置跟蹤響應(yīng)曲線。

圖8 直流伺服電機(jī)位置跟蹤響應(yīng)曲線

5 結(jié) 論

本文針對(duì)實(shí)際工程和工業(yè)過程具有二階傳遞函數(shù)的對(duì)象，將PID跟蹤控制器參數(shù)選擇歸結(jié)為LMI求解凸優(yōu)化的系統(tǒng)穩(wěn)定性問題，實(shí)現(xiàn)了網(wǎng)絡(luò)化PID跟蹤控制。針對(duì)高階系統(tǒng)對(duì)象，可事先對(duì)系統(tǒng)對(duì)象模型進(jìn)行降階，進(jìn)而采用本文所提的方法進(jìn)行處理。文章最后通過數(shù)值仿真，證明了本文所提方法的有效性。并在伺服電機(jī)系統(tǒng)上進(jìn)行驗(yàn)證, 達(dá)到了對(duì)給定的參考方波信號(hào)快速平穩(wěn)跟蹤的效果。