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        重力資料處理中的坐標轉換問題研究

        2020-03-31 02:15:28鄭慶敏
        礦山測量 2020年1期

        鄭慶敏

        (海南省海洋地質調(diào)查研究院,海南 ???570100)

        在地球外部重力場的相關研究領域,如大地水準面的精化、外部重力場的逼近等都需要處理大量的重力觀測資料以得到具有重要使用價值的重力場元素[1-3]。地球外部重力場的大量計算均需要重力點精確地心坐標,即地心經(jīng)緯度和地心距,由于各種重力資料的來源、時期等的差異,致使已有重力測點的坐標信息良莠不齊。根據(jù)相關知識,只有測點具備了的全部精確大地坐標,即大地經(jīng)緯度和大地高的情況下才能轉換得到其精確地心坐標[3-5],而目前我國大部分物理大地測量試驗區(qū)的大量重力點的坐標是大地經(jīng)緯度和水準高程,并不具備完整的三維空間坐標,顯然,重力資料的現(xiàn)實情況和實際要求是矛盾的。

        上述問題產(chǎn)生的原因是我國的重力網(wǎng)建設和三維坐標控制網(wǎng)的建設不同步造成的。我國重力網(wǎng)的建設,從1957國家重力基本網(wǎng)(簡稱“57網(wǎng)”)到1985國家重力基本網(wǎng)(簡稱“85網(wǎng)”),再到最新的“2000國家重力基本網(wǎng)”(簡稱“2000網(wǎng)”),基準點、基本點和引點的數(shù)量、點位分布合理度、覆蓋面和精度都有了很大的進步[6-7]。相較之下,我國的三維坐標基準的建設則是始于上世紀90年代初,如國家GPS A級網(wǎng)于1992年布測,GPS B級網(wǎng)于1991~1995年布測,全國GPS一、二級網(wǎng)則是于1991~1997年布測,中國地殼運動觀測網(wǎng)絡則是從1998年開始布測。直到2008年7月1日我國正式啟用2000國家大地坐標系,才標志著實際測量工作進入了具備三維空間坐標的時期。然而,在此之前所完成的多數(shù)重力測量工作因為種種原因而與三維空間坐標的關系沒有那么密切。在我國的重力控制網(wǎng)中,除了高等級的基準點、基本點、引點及其他重要重力控制點具備完整的三維空間坐標信息,甚至具備高等級的天文坐標信息,其他大多數(shù)的低等級重力點的高程坐標多是通過導線測量、水準測量、三角高程導線等確定的,只有少數(shù)的重力點具備較可靠的GPS測量成果。再考慮到目前相對重力測量中使用的精度最高的CG-5相對重力儀,其測點的GPS坐標也只是依靠一個粗定位的單天線而獲得的結果[8-9],坐標精度可想而知。

        顯然,對我國重力網(wǎng)中坐標信息不完備的大量低等級重力點進行三維空間坐標的補測是不現(xiàn)實的,因此需要尋找其它途徑來改善這一問題。本文針對具有大地經(jīng)緯度和水準高信息的重力點,研究采用何種方法才能獲得比較精確的地心坐標,其核心則是地心緯度的計算[10]。目的是在重力點位坐標的確定過程中,將坐標轉換導致的誤差控制在較低的程度,從而可靠地用于地球外部重力場的各種計算過程中。

        1 具備大地高條件下的嚴密轉換過程

        如圖1所示,在大地坐標系O-XYZ中,已知P點大地坐標(L,B,H),要獲得其精密地心坐標(相對于大地坐標系參考橢球的質心),一般需要按照如下兩個步驟來實現(xiàn)[6,10]

        圖1 大地坐標與地心坐標

        1.1 根據(jù)大地坐標(L,B,H)計算地心直角坐標(X,Y,Z)如式(1)所示:

        X=(N+H)cosBcosL

        Y=(N+H)cosBsinL

        Z=(N(1-e2)+H)sinB

        (1)

        1.2 由地心直角坐標(X,Y,Z)計算地心球坐標(λ,φ,r)如式(2)所示。

        (2)

        式(2)中的地心經(jīng)緯度的公式還可以表示為:

        λ=L

        (3)

        (4)

        顯然,經(jīng)度在轉換前后是不變的,而地心緯度φ則是大地緯度和大地高的函數(shù),φ和B之間存在著明顯的差異,這里給出B-φ在B∈[0,90]區(qū)間的變化趨勢(取大地高為0),如圖2和表1所示,此差值在大地緯度為45°時達到最大值11′32″.723 6,而在赤道和兩極時均為0。這也意味著在我國范圍內(nèi)進行的重力場計算中,是不能使用大地緯度來代替地心緯度的。

        圖2 B-φ在B[0, 90]區(qū)間的變化趨勢(H=0)

        表1B-φ在B[0, 90]區(qū)間的變化趨勢(H=0)

        B(°)B-φ ('.″)B(°)B-φ ('.″)00.000 0005011.225 97751.598 9415510.516 961103.561 8086010.009 259155.453 583658.518 059207.241 325707.264 236258.495 148755.473 731309.589 111803.576 7633510.502 007852.006 8984011.218 020900.000 0004511.327 236

        圖3表示的是在B=45°處,B-φ在H[0, 3 000]m區(qū)間的變化趨勢,隨著大地高的增加,大地緯度與地心緯度之差呈現(xiàn)出線性衰減的特點,對應的地心緯度從44°48′27″.2 764(H=0)增加至44°48′27″.6 026(H=3 000)。

        圖3 B-φ在H[0, 3 000]m區(qū)間的變化趨勢(B=45°)

        在涉及重力資料處理的背景下,大地緯度是已知量,而大地高則是含有一定的誤差的,進一步得到地心緯度對大地高的偏導數(shù)如下式:

        (5)

        從式(5)可知:地心緯度、大地高、大地緯度之間的關系比較復雜,因此對缺乏精確大地高信息的重力資料而言,若要獲得重力資料的精密地心緯度是比較困難的。另外,由于無法獲得精確的地心坐標,亦無法直接利用下式計算大地水準面高Ng,

        (6)

        2 不具備大地高情況下的近似轉換過程

        大地高的定義如圖所示,H=Ng+h。式中,Ng為大地水準面高,h為水準高程。亦可根據(jù)似大地水準面來定義大地高,H=Hγ+ξ,式中,Hγ為正常高,ξ為高程異常。

        為解決不具備大地高情況下獲取地心緯度的突出問題,本文提出如下的幾種近似方法來獲得重力資料的地心緯度。

        圖4 大地高構成圖

        2.1 借助于已知大地水準面數(shù)值模型的轉換

        根據(jù)前述,已知重力測點的高程和大地經(jīng)緯度信息,并同時能獲得測點所在區(qū)域的(似)大地水準面數(shù)值模型,為計算點位的地心經(jīng)緯度,可以利用數(shù)值內(nèi)插方法計算出測點的正常高或大地水準面高,再進一步計算出測點的大地高信息,然后利用第1節(jié)的嚴密轉換過程計算出測點的地心緯度。

        2.2 一步法

        參考圖1,由于P點的高程與地球半徑相比較為一小量,忽略P點的高程,即認為P點位于參考橢球面上,直接利用公式

        φ=arctan((1-f)2tanB)

        (7)

        將大地緯度轉換為地心緯度。其中,f為參考橢球的扁率。這種做法對于位于參考橢球面上的測點來說非常簡便,然而根據(jù)前述的條件,要確定測點是否位于參考橢球面上則是非常困難的,如果測點并不位于參考橢球面上,那么這種做法會帶來較大的誤差。

        2.3 兩步法

        根據(jù)圖1,P0點為P點沿參考橢球面法線在橢球面上的投影點,由于大地水準面高相對于地球半徑來說是一小量,認為P點的水準高程即P點的大地高,

        h≈H

        首先借助于上述一步法的公式計算出P0點的地心緯度

        φS=arctan((1-f)2tanB)

        (8)

        即將地球視為半徑為R的球體時對應地面點的地心緯度,接著用下式計算出地心緯度

        (9)

        式中,h為海拔高(到平均海平面的距離),f為參考橢球的扁率,R為地球的平均半徑,可取6 371 km。

        顯然,與一步法相比較,兩步法的優(yōu)點就是顧及了測點的海拔高。

        3 數(shù)值分析與討論

        3.1 特征區(qū)域檢查點的計算

        為了檢驗上述三種坐標轉換方法的精度,選取了中國范圍內(nèi)五個特征地區(qū)的已知重力點共計71點,分別位于西南、東南、中部、西北和東北等地。這些重力點的坐標和其它成果齊全,不僅具有CGCS2000系統(tǒng)的大地坐標,而且具有1985國家高程基準的水準高程信息,其重力系統(tǒng)為2000國家重力基本網(wǎng)系統(tǒng)。其統(tǒng)計信息如表2、表3所示。

        表2 已知重力點數(shù)量

        表3 區(qū)域內(nèi)重力點的高程特點

        在分析過程中,首先利用上述測點的CGCS2000大地坐標計算出其地心緯度的真實值,然后在假設缺乏點位大地高信息的情況下,分別利用上述的兩種方法計算出測點的地心緯度,分別與真實值作差比較,并進一步將比較結果轉化為對應的地面距離,結果如圖5、圖6和表4所示。

        圖5 模型法和兩步法結果與真實值之差

        圖6 三種方法結果與真實值之差

        表4三種方法引起的坐標誤差統(tǒng)計/m

        方法最大值最小值均值中誤差模型法0.029 1-0.133 2-0.053 30.062 0兩步法0.029 7-0.132 6-0.053 40.062 2一步法9.351 90.059 73.138 83.213 8

        綜合分析圖5、圖6及表4可知:在不具備測點大地高信息的情況下,利用大地水準面模型法轉換得到的地心緯度與真實值的差別最小、其次是兩步法的結果、一步法的轉換結果與真實值的差別最大;兩步法與模型法在轉換得到地心緯度的精度上非常接近,因此建議在無法獲得可用的大地水準面數(shù)值模型的情況下,可用兩步法或模型法求取測點的地心緯度。

        3.2 重力點的重力值、高程和坐標的精度要求分析

        測定重力點的目的在于得到測點的空間異常值。空間異常Δg按下式計算

        Δg=g-γ0+0.308 6h

        (10)

        式(10)中,g為地面上的重力值,h為該點的高程,γ0為正常橢球面上相應點的正常重力值,它可由該點的緯度由正常重力公式算得:

        γ0=γα(1+βsin2φ-β1sin22φ)

        (11)

        由式(10)可以導出空間異常的中誤差為:

        (12)

        由式(11)得:

        mγ0=γαβsin2φmφ

        (13)

        以γα=978 030 mGal和β=0.005 302代入,取sin2φ=1,得:

        mγ0=0.025mφ

        (14)

        式中,mφ為重力點緯度的誤差,單位S,算得的mγ0的單位為mGal。將式(14)代入式(12)得到

        (15)

        式(15)給出了重力點空間異常中誤差與觀測重力值、點位和高程這三個量的測定誤差之間的關系。根據(jù)對空間異常的精度要求,按式(15)可對上面三個量的中誤差做出一定的安排??紤]到點位誤差不能過大,因為點位誤差大了必然影響異常值的質量,并顧及到測定重力值、點位和高程各自的困難程度,如在要求空間異常中誤差為0.1 mGal時,可按表5進行合理的安排限差。

        表5 空間異常誤差對坐標限差的要求

        結合前一小節(jié)及這里得到的限差要求,可知即使在目前對空間異常誤差要求嚴格的情況下,前面三種坐標轉換所致誤差仍在表5中坐標限差的范圍內(nèi)。這就意味著,即使我們使用轉換誤差較大的一步法獲得測點的地心緯度,仍然不會對最終的空間異常造成較大的影響。然而,隨著未來測量手段的進步,空間異常的精度將進一步提高,對坐標誤差的限差要求也會更加嚴格,在此情況下,精度較高而又便利的兩步法將是更好的選擇。另外,綜合表4與表5的結果可知,大地水準面模型法和兩步法的轉換誤差在坐標誤差限差中所占比例非常小,而一步法的轉換誤差在坐標誤差限差中所占比例稍大。

        4 結 語

        本文提出利用已有信息獲得地心緯度的幾種方法,并通過數(shù)值試驗對轉換方法進行了分析比較,綜合分析結果可以得到如下結論:

        (1)在大地水準面模型法、兩步法和一步法這三種方法中,大地水準面模型法的轉換精度最高,其前提是需要轉換區(qū)域的大地水準面數(shù)值模型。兩步法的轉換精度稍低,但與大地水準面模型法的轉換精度非常接近,并且此方法非常直接便利。一步法的精度最低。

        (2)在某些對空間異常精度要求嚴格的情況下,三種方法的轉換誤差都在坐標誤差限差的范圍內(nèi)。其中大地水準面模型法和兩步法的轉換誤差在坐標誤差限差中所占比例非常小,而一步法的轉換誤差在坐標誤差限差中所占比例稍大。

        (3)在重力資料的處理中若遇到坐標轉換問題,我們推薦使用兩步法。另外,在計算出地心緯度后,可進一步利用式(6)算出大地水準面高,可得到更加精確的大地高,以及更加精確的地心距,從而使基于地心坐標的重力場計算更加便利。

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