趙明丁

(廣東省佛山市順德區(qū)第一中學(xué) 528300)

一、眾里尋她千百度——撲朔迷離中的困惑

三角函數(shù)圖象及性質(zhì)為高考必考內(nèi)容，主要考查：

(1)三角函數(shù)的最值、周期性、單調(diào)性、對稱性等性質(zhì)；

(2)函數(shù)圖形的平移、伸縮、反射變換等；

(3)方程或不等式代數(shù)運(yùn)算等.由于該內(nèi)容涉及較多公式(包括誘導(dǎo)公式、倍角公式、和差角公式和相關(guān)點坐標(biāo)和相關(guān)軸線公式等)，而且題型多樣、結(jié)構(gòu)靈活，對學(xué)生能力要求較高.亂花漸欲迷人眼，能否“九九歸一”尋求一種通法，以不變應(yīng)萬變，將它們一網(wǎng)打盡呢？

二、一圖一表總關(guān)情——在探索總結(jié)中提煉精華

三角函數(shù)圖象類的常見題型有:

(1)由函數(shù)圖象求其代數(shù)表達(dá)式進(jìn)而研究其相關(guān)性質(zhì)；

(2)由函數(shù)解析式，研究函數(shù)圖象的點坐標(biāo)、對稱軸或單調(diào)區(qū)間；

(3)由三角函數(shù)性質(zhì)或圖象，研究參數(shù)的值或取值范圍；

(4)三角函數(shù)圖象及性質(zhì)與其它知識的綜合.

題型眾多，能否有統(tǒng)一的解題法？本文提出一種圖表對照法，即利用“一幅圖”和“一張表”對照輔助解題的方法.由于形如y=Asin(ωx+φ)+b或y=Acos(ωx+φ)+b的一般三角函數(shù)的圖形都可由基本的正弦函數(shù)y=sinx圖象通過一系列坐標(biāo)變換所得，如果能將題目所研究的三函數(shù)的自變量取值以及相關(guān)圖形特征都回歸到基本正弦曲線中，用數(shù)形結(jié)合的思想，問題就簡單明了.以下例析闡釋.

圖1

分析先畫出基本正弦函數(shù)圖象，如圖1所示，在圖中A1，B1,C1,D1代表了x軸正方向第一周期的四個關(guān)鍵點，下標(biāo)為2代表第二周期，下標(biāo)為-1代表負(fù)方向第一周期，依次類推，圖象可根據(jù)需要向兩邊延展，本文例題將反復(fù)使用圖1進(jìn)行對照研究.接著，在表格中按從小到大的順序列出題中所涉及的自變量x的值，計算括號內(nèi)的角的對應(yīng)值X，并寫出各取值與圖1中的圖象的對應(yīng)位置或相對位置，如表1所示.

表1

評析上法充分利用了我們最熟悉的基本正弦曲線的直觀圖形輔助解題，同時用表格的形式清晰列出題中涉及的自變量x所有取值(包括參照值0)、括號內(nèi)的量X的值及他們對應(yīng)圖1的位置或相對位置，然后根據(jù)表格可列出方程或不等式，求解得答案.

三、吹盡黃沙始到金——在解題實戰(zhàn)中升華方法

上例詳細(xì)分析了用“圖表對照法”探究三角函數(shù)中參數(shù)的取值范圍問題，以下將采用該法來解其它題型.

題型1根據(jù)三角函數(shù)圖象，確定參數(shù)的值

通過與參照點數(shù)量比較，只能落在D1處，所以可得表2所示的對應(yīng)關(guān)系.

表2

題型2確定三角函數(shù)在給定區(qū)間中的最值

表3

答案為A.

評析本題的解法大多是通過研究周期得到ω的取值范圍，經(jīng)過計算再求出φ的可能取值，然后再驗證單調(diào)

性是否得到滿足，其推理過程比較復(fù)雜，如用上法，思維簡化，運(yùn)算也不復(fù)雜，能夠更快、更準(zhǔn)地得到答案.

四、映日荷花別樣紅——在反思對比中參透本質(zhì)

求解三解函數(shù)圖象及性質(zhì)相關(guān)的問題時，尤其是客觀題時，“回溯本原”，把三角函數(shù)相關(guān)問題放在基本正弦曲線上研究，結(jié)合圖象和表格確定數(shù)量和位置間的對應(yīng)關(guān)系，省去中間較為復(fù)雜推理和演算過程.該方法緊扣函數(shù)圖象本質(zhì)，立足知識的”根本”，若能在解題實踐中將本方法靈活應(yīng)用，必能達(dá)到“枝繁葉茂”的效果，體會到這種“圖表對照法”的優(yōu)越性.