李 偉

(遼寧省鞍山市第三中學(xué) 114000)

今年數(shù)學(xué)高考結(jié)束，坊間對全國二卷理科高考數(shù)學(xué)試題(以下簡稱高考數(shù)學(xué)試題)有傳說“今年的試卷不用說押題，就是押題號，也押不準(zhǔn)”.這雖然是戲說，但很大層面上說明了數(shù)學(xué)高考試題變化很大.

為做好明年的高三復(fù)習(xí)備考工作，有必要搞清變化的情況及如何應(yīng)對變化，下面就針對變化進(jìn)行分析并針對變化提出高三復(fù)習(xí)備考對策.

一、今年數(shù)學(xué)試卷的變化

與去年相比今年高考數(shù)學(xué)試題發(fā)現(xiàn)以下變化：

1.試題布局方面發(fā)生變化.2018年試卷17題考查內(nèi)容為數(shù)列；18題為概率統(tǒng)計；19題為圓錐曲線；20題為立體幾何和空間向量；21題為導(dǎo)數(shù).2019年試卷17題考查內(nèi)容為立體幾何和空間向量；18題基本為概率統(tǒng)計；19題為數(shù)列；20題為導(dǎo)數(shù)；21題為圓錐曲線.除18題外，不僅題號變化，相應(yīng)位置考查題目涉及的知識點考查方式也發(fā)生變化.

2.由于相應(yīng)題目涉及對應(yīng)考查知識點的變化，導(dǎo)致各單元知識點相應(yīng)整合而成的題目難度也發(fā)生變化.

2018年試卷17題為數(shù)列，在2019年試卷中為19題；2018年試卷19題為圓錐曲線，在2019年試卷中為21題.實際對比發(fā)現(xiàn)，在解題思維、方法、技巧要求上都有所提高.2018年試卷20題為立體幾何和空間向量，在2019年試卷中為17題；2018年試卷21題為導(dǎo)數(shù)，在2019年試卷中為20題.顯然，要求上是下降的.

3.初中數(shù)學(xué)知識直接作為考查內(nèi)容出現(xiàn).如第5題，把初中學(xué)的“中位數(shù)”直接列入選擇枝的選項中，這與以前只在題干中涉及一些初中知識，或解題過程中涉及初中知識是有差別的.

4.填空16題由原一個空改為設(shè)計成兩個空(第一空2分，第二空3分).盡管總的分值沒有變，但實際上是由一個需要回答的問題，變成了兩個需要回答的問題，增加了回答問題的數(shù)量.

5.試卷背景資料更貼近我國生活、傳統(tǒng)文化和科技進(jìn)步和實際應(yīng)用等.2018年涉及這類題目：第8題“哥德巴赫猜想”、第18題“環(huán)境建設(shè)”.2019年這類題目有：第4題涉及背景資料是“嫦娥四號探測器”、第5題“演講比賽”、第13題“高鐵”、第16題涉及“金石文化中的印信”、第18題乒乓球比賽等.

6.整體試卷閱讀量加大.2018年全卷3058個印刷符號，今年全卷3869印刷符號，增加800多個印刷符號，占比26%.相關(guān)個別題目舉例：2019年在第4題的位置出現(xiàn)了303個印刷符號題目，注意到在2018年試題中印刷符號最多219個，而且出現(xiàn)在第18題中.大家要知道，增加閱讀量也是增加難度，更況且閱讀量增加在第4題，加之現(xiàn)在學(xué)生閱讀能力還比較差，難怪考試后，部分學(xué)生反映題難、發(fā)揮受到影響.這樣的閱讀量在以前試卷中所沒有的.

7.運算能力的考查突出強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)式子的變形、運算和為了簡化繁瑣運算而實施的代換.

顯然是數(shù)學(xué)式子的近似計算問題.在以前的高考試卷中近似計算多見數(shù)字運算，數(shù)學(xué)式子運算多涉及式子變形，代換等，數(shù)學(xué)符號式的近似計算還是首次出現(xiàn)在高考試題中.

8.近兩年第22題都考極坐標(biāo)系參數(shù)方程，但考查的角度變化很大，為對比分析方便列出兩年的試題.

2018年的22題[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程](10分)

(1)求C和l的直角坐標(biāo)方程；

(2)若曲線C截直線l所得線段的中點坐標(biāo)為(1,2)，求l的斜率．

2019年的22題[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程](10分)

在極坐標(biāo)系中，O為極點，點M(ρ0,θ0)(ρ0>0)在曲線C:ρ=4sinθ上，直線l過點A(4,0)且與OM垂直，垂足為P.

(2)當(dāng)M在C上運動且P在線段OM上時，求P點軌跡的極坐標(biāo)方程.

對比上述兩個題目，2018年將極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程即可解決(也可用極坐標(biāo)、參數(shù)方程求解)；2019年則是側(cè)重考查用極坐標(biāo)的辦法求解.由此可以看出，極坐標(biāo)系參數(shù)方程部分命題將更加突出運用本單元知識來解決問題，而不是單純考極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)，再用直角坐標(biāo)理論求解的坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化問題.

二、2020年數(shù)學(xué)科備考建議

面對上述列出的八種變化，結(jié)合近幾年高考試題對比，再參考新課標(biāo)實施即將帶來新高考形式的要求變化(文理不分科、不出考試大綱等)，做出如下分析，并給出2020年高三復(fù)習(xí)備考應(yīng)采取對策.

1.堅持過好基礎(chǔ)知識關(guān)、過好通性通法關(guān)，這是高三復(fù)習(xí)備考的“本”.

以2019年高考試題第19題、第21題為例加以說明如下：

19題已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1=1，b1=0，4an+1=3an-bn+4 ，4bn+1=3bn-an-4.

(1)證明：{an+bn}是等比數(shù)列，{an-bn}是等差數(shù)列；

(2)求{an}和{bn}的通項公式.

題中條件給出的是非齊次二階遞推式，對考生而言形式上是比較陌生的，但問號(1)已經(jīng)給出了對兩個齊次式處理的方法，即：相加湊an+bn，相減湊an-bn.至于證明成等比、等差只需用等差、等比數(shù)列的定義即可.

對于問題(2)借助問題(1)中兩通項公式相加(減)及裂項法，轉(zhuǎn)化為等差、等比求和即可.

綜上可知其解決問題理論依據(jù)與解題方法仍然是等差、等比數(shù)列的概念和通性通法.如果說“新”就是條件給出的非齊次二階遞推式比較陌生，但根據(jù)問題(1)的形式就知道如何應(yīng)對這種變，因此說，解決“變”在題的條件中.

(1)求C的方程，并說明C是什么曲線；

(2)過坐標(biāo)原點的直線交C于P，Q兩點，點P在第一象限，PE⊥x軸，垂足為E，連結(jié)QE并延長交C于點G.

(ⅰ)證明：△PQG是直角三角形；

(ⅱ)求△PQG面積的最大值.

上述解題的繁瑣，為簡化運算自然要想到變量代換，因此說解決“變”在解題的運算過程中.

2.在復(fù)習(xí)備考中要重視數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在解題思考中的重要地位.

以今年高考試題第20題為例加以說明

(1)討論f(x)的單調(diào)性，并證明f(x)有且僅有兩個零點；

(2)設(shè)x0是f(x)的一個零點，證明曲線y=lnx在點A(x0，lnx0)處的切線也是曲線y=ex的切線.

由于該導(dǎo)數(shù)問題設(shè)計在20題位置，顯然難度是要降低的，特別是第二個問號.但從整體解題過程看數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)“直觀想象”、“數(shù)學(xué)抽象”、“數(shù)學(xué)運算”、“邏輯推理”等在解題過程中都有所體現(xiàn).在數(shù)學(xué)思想“考查特殊情形”、“數(shù)形結(jié)合”；在解題技巧“借助零點，實現(xiàn)無理式向有理式的化簡轉(zhuǎn)換”等都得到應(yīng)用.而這些，不能說是新的東西.

3.在復(fù)習(xí)備考中要重視學(xué)生閱讀能力的培養(yǎng)，通過閱讀訓(xùn)練、培養(yǎng)學(xué)生提取、整理、加工信息和數(shù)學(xué)建模的能力.

以今年高考第4題為例說明：第4題 2019年1月3日嫦娥四號探測器成功實現(xiàn)人類歷史上首次月球背面軟著陸，我國航天事業(yè)取得又一重大成就，實現(xiàn)月球背面軟著陸需要解決的一個關(guān)鍵技術(shù)問題是地面與探測器的通訊聯(lián)系．為解決這個問題，發(fā)射了嫦娥四號中繼星“鵲橋”，鵲橋沿著圍繞地月拉格朗日L2點的軌道運行．L2點是平衡點，位于地月連線的延長線上．設(shè)地球質(zhì)量為M1，月球質(zhì)量為M2，地月距離為R，L2點到月球的距離為r，根據(jù)牛頓運動定律和萬有引力定律，r滿足方程：

此題300個印刷符號，是近幾年高考試題中閱讀量最大的.通過閱讀，學(xué)生能否會按下列程序進(jìn)行提取、整理、加工、建模來思考問題的解決：一是前三行對解題基本沒有意義；二是再接著5行是說明數(shù)學(xué)方程含義的，對解題意義不大；三是下面這些文字符號才是解題的核心所在：

到此剛好轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，接著進(jìn)行數(shù)學(xué)分析，即可找到解題思路.所以，在今后復(fù)習(xí)備考中，鼓勵學(xué)生學(xué)好語文，提高閱讀能力是解這類問題的關(guān)鍵.

綜上所述，在復(fù)習(xí)備考中的應(yīng)對策略是：一是要求學(xué)生熟練掌握知識、通性通法(含數(shù)學(xué)思想、素養(yǎng)等).二是在此前提下，強(qiáng)調(diào)靈活運用知識和通性通法就顯得十分重要.三是平時訓(xùn)練時，在題目選擇上，多注意設(shè)計(選擇)題目背景新(新瓶裝舊酒)、知識點新整合(舊瓶裝新酒)、思考新(舊瓶裝新包裝)的題目，加強(qiáng)訓(xùn)練學(xué)生運用知識解決問題的靈活性.四是加強(qiáng)閱讀能力的培養(yǎng)，對“提取、整理、加工、建模”能力的培養(yǎng).

事實上，對比歷年高考試題，每年試題的形式、知識交匯等都有所不同，這就需要我們把握住“本”，據(jù)“本”尋求靈活變化的東西，不去刻意關(guān)注上一年高考試題的形式和內(nèi)容，讓高三復(fù)習(xí)在題的背景資料上“新”；在知識交匯上“新”；在變化考查數(shù)學(xué)思想、方法、技巧上“新”；在試卷設(shè)計長度(適當(dāng)增加閱讀量、培養(yǎng)閱讀能力)上“新”.實踐證明，帶著這種理念來開展復(fù)習(xí)備考定能取得很好的效果，也是本文的主旨要義.

以上是針對2019年全國二卷理科數(shù)學(xué)試題狀況進(jìn)行的分析和新高三備考的建議，供大家參考，也請大家批評指正.