鐘武燁，呂 征，鄭劍平，楊啟法

(中國(guó)原子能科學(xué)研究院 反應(yīng)堆工程技術(shù)研究部，北京 102413)

熱離子反應(yīng)堆電源具有比功率高、結(jié)構(gòu)緊湊、壽命長(zhǎng)等優(yōu)點(diǎn)，俄羅斯(前蘇聯(lián))TOPAZ型反應(yīng)堆電源已經(jīng)過(guò)空間飛行驗(yàn)證[1]，是深空探測(cè)、空間基地等理想電源之一[2-3]。熱電轉(zhuǎn)換元件是堆電源的核心器件，熱離子能量轉(zhuǎn)換器通過(guò)熱離子發(fā)射的方式實(shí)現(xiàn)熱電的直接轉(zhuǎn)換。運(yùn)行過(guò)程中，核裂變加熱發(fā)射極產(chǎn)生熱電子發(fā)射，電極間隙充入的銫蒸氣電離為等離子體，電子輸運(yùn)通過(guò)等離子體區(qū)域后到達(dá)接收極形成回路，工作參數(shù)或負(fù)載的變化均可使熱離子轉(zhuǎn)換器工作在電弧工況或擴(kuò)散工況[4]。對(duì)電弧工況的熱電轉(zhuǎn)換特性進(jìn)行了研究[5]，對(duì)于電功率輸出較小的擴(kuò)散工況，雖僅存在于熱離子發(fā)電元件電極的低溫端(溫度場(chǎng)邊界效應(yīng)導(dǎo)致)，但該工況下伏安曲線的極限值(飽和電流、開(kāi)路電壓等)與熱電轉(zhuǎn)換過(guò)程的特征參量(發(fā)射極溫度、吸銫功函數(shù)等)有關(guān)聯(lián)而常被用作診斷分析[6]。因此，無(wú)論診斷分析還是電特性設(shè)計(jì)均需進(jìn)行擴(kuò)散工況的研究。

擴(kuò)散工況的研究中，電流的飽和特性(即飽和電流的存在性及其機(jī)理)是最為集中的關(guān)注點(diǎn)。在診斷技術(shù)中，飽和電流是間接表征吸銫功函數(shù)的參量，而飽和電流的存在意味著扼流的產(chǎn)生，不利于功率的提升。目前，關(guān)于擴(kuò)散工況飽和電流的研究已有較多的工作，包括基于量綱分析簡(jiǎn)化進(jìn)行飽和電流的近似計(jì)算以及結(jié)合診斷的測(cè)量[7]。但仍有基礎(chǔ)問(wèn)題有待進(jìn)一步深入，如飽和電流產(chǎn)生的條件與機(jī)理，電流逐漸增大至飽和的過(guò)程中，電極間隙電子勢(shì)能分布等均有待細(xì)致描述。區(qū)別于文獻(xiàn)的近似表達(dá)式，本文基于動(dòng)理學(xué)方法建立擴(kuò)散工況下電極間隙的等離子體輸運(yùn)模型，描述電流緩慢增大過(guò)程的伏安特性及電子勢(shì)能分布，從而直觀深入分析飽和電流的存在性及其機(jī)理。

1 擴(kuò)散工況的等離子體輸運(yùn)的建模

熱離子能量轉(zhuǎn)換器電極間的等離子體在與電極接觸的極窄區(qū)域(其尺度與德拜長(zhǎng)度相當(dāng)，遠(yuǎn)小于電極間隙)將形成等離子體鞘層，區(qū)別于準(zhǔn)中性的等離子體。通常對(duì)熱離子能量轉(zhuǎn)換器電極間等離子體的描述分成3個(gè)區(qū)域：發(fā)射極鞘層、中間準(zhǔn)中性等離子體區(qū)、接收極鞘層[8]。

對(duì)于中間準(zhǔn)中性等離子體區(qū)需建立等離子體輸運(yùn)方程。現(xiàn)有擴(kuò)散工況的研究中采用量綱分析手段將某些力場(chǎng)對(duì)輸運(yùn)的貢獻(xiàn)忽略(如溫度場(chǎng)的貢獻(xiàn))，從而簡(jiǎn)化為帶電粒子的擴(kuò)散問(wèn)題[9]，這將限制方程的適用范圍。根據(jù)現(xiàn)有的實(shí)驗(yàn)分析，擴(kuò)散工況與電弧工況在輸運(yùn)本質(zhì)上并無(wú)差別，其主要差別在于擴(kuò)散工況下銫電離的機(jī)制主要是發(fā)射極表面熱電離(通過(guò)邊界條件描述)，而電弧工況下主要是體電離的貢獻(xiàn)[10]。本文在原電弧工況的輸運(yùn)模型[5]的基礎(chǔ)上，忽略體電離項(xiàng)從而建立擴(kuò)散工況的輸運(yùn)模型。

對(duì)于等離子體鞘層，則需處理為輸運(yùn)的邊界條件，其包括發(fā)射通量與從等離子體返回通量，及其受等離子體鞘層的電子勢(shì)能分布的影響。由于擴(kuò)散工況下鞘層的電子勢(shì)能分布與電弧工況下的有很大差異，因此以下對(duì)擴(kuò)散工況的邊界條件進(jìn)行詳細(xì)的討論，電子勢(shì)能躍變均以從發(fā)射極到接收極的方向?yàn)閰⒄铡?/p>

1.1 發(fā)射極鞘層的邊界條件

熱平衡態(tài)下，等離子體鞘層的熱發(fā)射通量與從等離子體返回到發(fā)射極的通量達(dá)到平衡，此時(shí)處于零輸出狀態(tài)。發(fā)射極鞘層的電子勢(shì)能分布由發(fā)射極鞘層上的電子濃度與離子濃度的相對(duì)大小決定，通常引入離子裕度β來(lái)描述熱發(fā)射中和狀態(tài)[11]。

(1)

(2)

(3)

其中：jes為飽和電子發(fā)射電流密度，由理查森方程描述；jis為飽和離子發(fā)射電流密度，由沙哈方程描述[8]；mi、me分別為離子、電子質(zhì)量；k為玻爾茲曼常數(shù)；TE、TCs為發(fā)射極、銫原子溫度；e為電子電量；pCs為銫蒸氣壓強(qiáng)；Eion為銫的第一電離能；φE為發(fā)射極功函數(shù)。當(dāng)β=1時(shí)，熱發(fā)射的電子和離子恰好能相互中和，其鞘層電子勢(shì)能分布如圖1b所示，實(shí)際中出現(xiàn)的可能性極低；當(dāng)β<1時(shí)，電子發(fā)射過(guò)剩，為使等離子體區(qū)域保持電中性，發(fā)射極鞘層的電子勢(shì)能分布向上躍變，對(duì)電子形成了進(jìn)入等離子體區(qū)域的勢(shì)壘VTE(圖1a)；當(dāng)β>1時(shí)，離子發(fā)射過(guò)剩，為使等離子體區(qū)域保持電中性，則其分布向下躍變VTE，從而促進(jìn)電子進(jìn)入等離子體區(qū)域(圖1c)。

圖1 發(fā)射極鞘層電子勢(shì)能的分布Fig.1 Distribution of electron potential energy at emitter sheath

當(dāng)熱離子轉(zhuǎn)換器工作在擴(kuò)散工況時(shí)產(chǎn)生了電流輸出，則熱平衡態(tài)不能維持，但由于熱發(fā)射電流較小，發(fā)射極邊界條件可從熱平衡態(tài)的鞘層特征擴(kuò)展獲得[9]，實(shí)際的鞘層電子勢(shì)能分布相對(duì)于熱平衡態(tài)產(chǎn)生附加電勢(shì)躍變?chǔ)，因此總躍變?yōu)閂Ej=VTE+ΔV，如圖1虛線所示。

當(dāng)離子裕度β<1時(shí)，鞘層電子勢(shì)能分布如圖1a所示，得到如下邊界條件：

(4)

(5)

(6)

當(dāng)離子裕度β>1時(shí)，鞘層電子勢(shì)能分布如圖1c所示，得到發(fā)射極鞘層與等離子體交界面上的通量邊界條件：

(7)

(8)

(9)

1.2 接收極鞘層的邊界條件

由于接收極溫度僅有550 ℃左右的低溫，熱發(fā)射通量低，其邊界條件主要受等離子體鞘層參量的影響，因此需根據(jù)具體工作點(diǎn)自適應(yīng)地選擇其躍變的方向。結(jié)合發(fā)射極鞘層的分析，擴(kuò)散工況下電子勢(shì)能可能的分布狀態(tài)如圖2所示，其中接收極鞘層的躍變包括向上躍變和向下躍變。

當(dāng)輸出電流較小時(shí)，接收極鞘層的電子勢(shì)能需產(chǎn)生向上的躍變以形成對(duì)來(lái)自等離子體電子流的勢(shì)壘，即VCj1>0，此時(shí)的邊界條件為：

(10)

(11)

(12)

圖2 熱離子能量轉(zhuǎn)換器擴(kuò)散工況的電子勢(shì)能分布Fig.2 Distribution of electron potential energy for thermionic energy converter operating on diffusion mode

當(dāng)輸出電流較大時(shí)，接收極鞘層的電子勢(shì)能需產(chǎn)生向下的躍變促進(jìn)來(lái)自等離子體的電子流，即VCj2<0，此時(shí)的邊界條件為：

(13)

(14)

(15)

式中物理量符號(hào)的意義與發(fā)射極的情況一致。

2 模型求解與算法流程

根據(jù)上述建立的輸運(yùn)方程和采用的邊界條件，兩者具有很強(qiáng)的耦合關(guān)聯(lián)，故本文建立的模型需數(shù)值求解，使得邊界條件與輸運(yùn)方程自適應(yīng)匹配。本文采用的算法流程如圖3所示。

1) 輸入計(jì)算所必要的參數(shù)：基本物理參量、熱離子轉(zhuǎn)換器的運(yùn)行參數(shù)，包括電極溫度(TE，TC)、銫溫TCs、電極的吸銫功函數(shù)(φE，φC)、電極間隙d、總電流密度(輸出電流密度)jtot等。

2) 給定接收極鞘層與準(zhǔn)中性等離子體區(qū)交界處的電子溫度TeC和接收極鞘層的電勢(shì)躍變VCj作為迭代初始值，根據(jù)VCj的正負(fù)性選擇相應(yīng)的接收極邊界條件模型，計(jì)算此邊界的jeC、jiC、接收極等離子體濃度nC及電子能量流SeC。

3) 以計(jì)算得到的參量為邊界值，采用龍格-庫(kù)塔方法對(duì)輸運(yùn)微分方程進(jìn)行積分，得到準(zhǔn)中性等離子體區(qū)電子溫度Te、等離子體濃度n、je、ji、負(fù)電勢(shì)V、Se的分布，特別地，記發(fā)射極邊界上的電子電流密度積分為je_inte(TeC,VCj)、離子電流密度積分為ji_inte(TeC,VCj)。

圖3 熱離子轉(zhuǎn)換器擴(kuò)散工況等離子體輸運(yùn)計(jì)算算法流程Fig.3 Algorithm flow of plasma transportation of thermionic energy converter operating on diffusion mode

4) 根據(jù)發(fā)射極離子裕度β選擇相應(yīng)的邊界條件，計(jì)算發(fā)射極的電子勢(shì)能躍變VEj及ΔVE，并計(jì)算相應(yīng)條件下發(fā)射極邊界上的電子電流密度je_cal(TeC,VCj)、離子電流密度ji_cal(TeC,VCj)，并與積分所得邊界值聯(lián)立成方程組je_cal(TeC,VCj)-je_inte(TeC,VCj)=0與ji_cal(TeC,VCj)-ji_inte(TeC,VCj)=0。采用牛頓迭代法求解方程組，直至收斂到設(shè)定的精度。若發(fā)散，則重新選擇初始條件進(jìn)行計(jì)算。

5) 輸出計(jì)算結(jié)果。

3 結(jié)果討論

3.1 程序輸入

根據(jù)上述建模過(guò)程，不同的離子裕度β將影響邊界條件的選擇，從而使模型得到不同的解(對(duì)應(yīng)不同的輸出狀態(tài))。發(fā)射極溫度是改變離子裕度β的重要手段，為在較寬的β范圍(覆蓋其臨界值1)內(nèi)研究擴(kuò)散工況下的電流飽和特性，本文通過(guò)改變發(fā)射極溫度TE來(lái)改變?chǔ)?；同時(shí)，為與現(xiàn)有文獻(xiàn)的測(cè)量值進(jìn)行對(duì)比，本文在選定電極材料為Mo-Mo電極對(duì)的基礎(chǔ)上，限定了若干組特定的輸入?yún)?shù)，列于表1。本文程序的輸入包含電極溫度(TE，TC)、電極功函數(shù)(φE，φC)、銫溫TCs(固定)、電極間隙d(固定)、輸出電流密度jtot等7個(gè)參數(shù)。將上述工作參數(shù)作為程序的輸入，獲得計(jì)算結(jié)果。

3.2 輸入的合理性判定

由程序的輸入本身并不能判斷熱離子轉(zhuǎn)換器具體的運(yùn)行工況，因此需對(duì)輸入進(jìn)行擴(kuò)散工況的合理性判定。依據(jù)模型的計(jì)算結(jié)果，等離子體的德拜長(zhǎng)度遠(yuǎn)小于特征尺寸(電極間隙寬度)，說(shuō)明電極間隙形成了等離子體(圖4a)；且電離長(zhǎng)度遠(yuǎn)大于電極間隙寬度，據(jù)此可進(jìn)一步判定表1所示參數(shù)的熱離子轉(zhuǎn)換器工作在擴(kuò)散工況(圖4b)。

表1 程序計(jì)算中輸入的工作參數(shù)Table 1 Input working parameters for procedure

圖4 不同發(fā)射極溫度的等離子體德拜長(zhǎng)度和電離長(zhǎng)度Fig.4 Debye length and ionization length of plasma for different emitter temperatures

3.3 擴(kuò)散工況區(qū)域的伏安特性

為研究電流的飽和特性，本文采用逐漸增加電流密度計(jì)算相應(yīng)輸出電壓的方法進(jìn)行伏安特性的計(jì)算，得到圖5所示的伏安特性曲線(僅展示擴(kuò)散工況的部分)，并給出本文不同TE的計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)給出的TE=1 422 K時(shí)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的對(duì)比。結(jié)果表明，計(jì)算值與實(shí)驗(yàn)值符合較好，當(dāng)發(fā)射極溫度增至TE=1 622 K時(shí)仍呈明顯的飽和電流。而當(dāng)發(fā)射極溫度增大到一定程度后(TE=1 822 K)，輸出電流呈連續(xù)上升趨勢(shì)，不再呈現(xiàn)飽和電流的臺(tái)階。

3.4 根據(jù)電子勢(shì)能分布分析電流飽和特性

由于不產(chǎn)生體電離，總電流中的絕大部分來(lái)自于電子電流的貢獻(xiàn)。因此，對(duì)電子的發(fā)射與輸運(yùn)起決定性作用的是電子勢(shì)能分布，故從電子勢(shì)能分布的角度對(duì)擴(kuò)散工況電流的飽和特性進(jìn)行分析，其中發(fā)射極表面作為電子勢(shì)能的零點(diǎn)。為便于敘述，從不同的發(fā)射極溫度對(duì)結(jié)果分別進(jìn)行討論，其對(duì)應(yīng)著不同的β(表1)。

圖5 本文計(jì)算的伏安特性曲線與文獻(xiàn)值的對(duì)比Fig.5 Comparison of U-I characteristic between this paper and lecture result

當(dāng)TE=1 422 K時(shí)(β=0.001 1)，電子勢(shì)能分布如圖6a所示，其中輸出電流密度jtot=80 A/m2時(shí)的分布涵蓋了電子從發(fā)射極費(fèi)米面熱發(fā)射輸運(yùn)到接收極費(fèi)米面的全過(guò)程，而其他的輸出電流密度為避免混淆，則略去接收極表面到接收極費(fèi)米面的功函數(shù)下降段。整體而言，在準(zhǔn)中性等離子體區(qū)，電子勢(shì)能的變化較平緩，而在電極鞘層的則產(chǎn)生較大躍變(躍變發(fā)生的尺度僅為德拜長(zhǎng)度的量級(jí)，為便于展示，圖片對(duì)躍變的尺度進(jìn)行放大)。其中，在發(fā)射極鞘層產(chǎn)生向上的躍變，這正是β<1的表現(xiàn)，且不同輸出電流密度時(shí)躍變的絕對(duì)值接近VTE，這表明發(fā)射極鞘層偏離熱平衡態(tài)不遠(yuǎn)；在接收極一側(cè)，隨著電流密度的增大，電子勢(shì)能的躍變方式從向上躍變逐漸過(guò)渡到向下躍變，阻礙電子接收的勢(shì)壘消失了。因此，輸出電流增大趨于飽和的過(guò)程中，發(fā)射極鞘層電子勢(shì)能的勢(shì)壘決定了電子的發(fā)射最大量，即輸出電流的飽和值。

當(dāng)TE=1 522、1 622 K時(shí)的電子勢(shì)能分布如圖6b、c所示，其情況與TE=1 422 K類(lèi)似。隨著發(fā)射極溫度升高至1 822 K(β=8.642 4)(圖6d)，此時(shí)β>1，離子發(fā)射過(guò)剩，發(fā)射極鞘層產(chǎn)生向下的躍變，對(duì)電子的發(fā)射起促進(jìn)作用；在接收極一側(cè)，與低溫發(fā)射極時(shí)類(lèi)似，隨著電流密度的增大，電子勢(shì)能的躍變方式也從向上躍變逐漸過(guò)渡到向下躍變。因此，由于發(fā)射極鞘層向下躍變的電子勢(shì)能分布促進(jìn)電子發(fā)射，輸出電流將不斷增大，不存在飽和電流，直至產(chǎn)生體電離而過(guò)渡到電弧工況。

圖6 TE=1 422、1 522、1 622、1 822 K時(shí)的電子勢(shì)能分布Fig.6 Distribution of electron potential energy for TE=1 422, 1 522,1 622 and 1 822 K

4 結(jié)論

熱離子能量轉(zhuǎn)換器擴(kuò)散工況飽和電流的研究對(duì)于發(fā)電診斷及電特性設(shè)計(jì)具有重要的意義。本文基于伏安特性及電極間隙電子勢(shì)能分布的分析，詳細(xì)討論了飽和電流的存在性及其機(jī)理。

1) 相對(duì)于量綱簡(jiǎn)化法，通過(guò)電弧工況電離項(xiàng)的修正建立適用于擴(kuò)散工況的輸運(yùn)方程，并依據(jù)發(fā)射離子裕度分析其邊界條件，所得的伏安特性曲線與文獻(xiàn)值較為吻合，說(shuō)明本文的模型改進(jìn)是合理的。

2) 擴(kuò)散工況飽和電流的存在性由熱發(fā)射的中和狀態(tài)判定，其機(jī)理可通過(guò)發(fā)射極鞘層的電子勢(shì)能分布來(lái)闡述。當(dāng)β<1時(shí)，電子發(fā)射過(guò)剩，發(fā)射極鞘層形成電子輸運(yùn)的勢(shì)壘，此時(shí)存在飽和電流；反之則不存在。

3) 接收極鞘層的電子勢(shì)能分布隨輸出電流的增大發(fā)生躍變方向的改變，不影響飽和電流的存在性。