廣東省深圳市深圳科學(xué)高中

1 問(wèn)題提出

筆者有幸參加了2019年高考廣東省數(shù)學(xué)文科19題的閱卷工作,筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生有眾多解法,也有很多出乎意料的錯(cuò)誤,在閱卷之余,筆者思考:面對(duì)高三數(shù)學(xué)的復(fù)習(xí),教師該如何“復(fù)習(xí)”? 由此,筆者對(duì)學(xué)生的答題情況進(jìn)行了分析,并把學(xué)生所犯的錯(cuò)誤進(jìn)行了歸納,為教學(xué)工作提供借鑒與幫助.

2 試題賞析

題目(2019年高考全國(guó)Ⅰ卷文科數(shù)學(xué)第19題)如圖,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形,AA1=4,AB=2,∠BAD=60°,E,M,N分別是BC,BB1,A1D的中點(diǎn).

(1)證明:MN//平面C1DE;

(2)求點(diǎn)C到平面C1DE的距離.

圖1

本題考查了直線與平面平行以及點(diǎn)到面的距離問(wèn)題,以常見(jiàn)的直四棱柱為模型,背景非常熟悉,而且設(shè)問(wèn)方式常規(guī),與平時(shí)的模擬卷吻合,屬于意料之中的題型.命題者希望通過(guò)這種類型的問(wèn)題來(lái)考查考生的幾何空間感以及邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).總的來(lái)看,該題彰顯學(xué)科特色,有效創(chuàng)新,注重核心素養(yǎng)的考查.不過(guò),從閱卷的實(shí)際情況看,學(xué)生的作答情況并不理想.

3 考生答題情況

3.1 第(1)小題答題情況

試題的第(1)小問(wèn)主要是檢測(cè)線面平行的判定定理知識(shí),考查學(xué)生的幾何空間感以及邏輯推理能力,學(xué)生主要的解法都是通過(guò)線線平行的傳遞性得到MN//ED,具體的有以下兩種解法:

方法1連結(jié)B1C,ME.因?yàn)镸,E分別為BB1,BC的中點(diǎn),所以ME//B1C,且ME=B1C.由題設(shè)知A1B1//=DC,所以,四 邊 形A1B1CD為平行四邊形,可得B1C//=A1D,又因?yàn)镹為A1D的中點(diǎn),所以ND=A1D.故ME=//ND,因此四邊形MNDE為平行四邊形,所以MN//ED.又MN ??平面C1DE,所以MN//平面C1DE.

圖2

從學(xué)生答題情況看,學(xué)生選擇這種方法的人數(shù)較多,大部分學(xué)生都能想到利用四邊形MNDE為平行四邊形得到MN//ED,再利用線面平行的判定定理解決問(wèn)題;學(xué)生出現(xiàn)的主要困難是不知道如何利用已知的中點(diǎn)添加相應(yīng)的平行輔助線來(lái)證明ME//=ND,此處出現(xiàn)了比較典型的錯(cuò)誤如下:

(1)由面面平行直接得到結(jié)論.如:“在直四棱錐中,因平面A1D1DA//平面B1C1CB,所以ME//=ND,因此四邊形MNDE為平行四邊形”,這種錯(cuò)誤是典型的對(duì)面面平行的性質(zhì)定理使用的條件不熟悉所導(dǎo)致;

(2)跳步嚴(yán)重.例如:“因?yàn)镋、M、N分別為BC、BB1、A1D的中點(diǎn),所以ME//ND,又因?yàn)橐虼怂倪呅蜯NDE為平行四邊形”;再如:“連結(jié)B1C,ME,在直四棱柱中,平面A1D1DA// 平面B1C1CB,因?yàn)槠矫鍺DEM分別交兩個(gè)平面于ND和ME,所以ME//ND”.

這兩種“錯(cuò)誤”可以認(rèn)為是超出一般高中生知識(shí)水平的一種嚴(yán)重的跳步,學(xué)生并沒(méi)有借助平行的傳遞性求證線線平行,未證明N,D,E,M在同一個(gè)平面上,整個(gè)推理過(guò)程不嚴(yán)謹(jǐn),這也說(shuō)明很多考生分不清主要步驟和次要步驟,一些必不可少的步驟是不能省略的,導(dǎo)致該寫的得分點(diǎn)沒(méi)有寫上,得不到相應(yīng)的分?jǐn)?shù).

方法2取AD的中點(diǎn)F點(diǎn),連接NF,FB.因?yàn)镹,F分別為A1D,AD的中點(diǎn),所以NF=//A1A,因?yàn)镸為BB的中點(diǎn),所以BM=B1B.由題設(shè)知AA1=//BB1,所以,NF//=BM,因此四邊形BFNM為平行四邊形,所以MN//=BF,又因?yàn)镈F//=BE,所以四邊形DEBF為平行四邊形,所以BF//=DE,所以MN//ED,又MN ??平面C1DE,所以MN//平面C1DE.

從學(xué)生答題情況看,大部分學(xué)生在正確做出輔助線的情況下都能做正確,但是也出現(xiàn)部分同學(xué)有嚴(yán)重的步驟缺失,具體來(lái)看,學(xué)生想利用平行的傳遞性由MN//BF,BF//DE得到MN//DE,但是學(xué)生在得MN//BF時(shí)出現(xiàn)了跳步現(xiàn)象,如:“因?yàn)镸,N,F分別為BB1,A1D,AD的中點(diǎn),所以MN//BF”,學(xué)生并沒(méi)有借助平行的傳遞性求證線線平行來(lái)證明MNFB為平行四邊形,導(dǎo)致考生得不到相應(yīng)的分?jǐn)?shù).

圖3

3.2 第(2)小題答題情況

試題的第(2)小問(wèn)主要是檢測(cè)點(diǎn)到面的距離,考察學(xué)生的直觀想象能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力,學(xué)生主要有兩種思路,解法一是通過(guò)等體積法求高,得到點(diǎn)到面的距離,解法二是先過(guò)C點(diǎn)作平面的高,再去求高從而得到點(diǎn)到面的距離,具體的解法如下:

方法1(等體積法)點(diǎn)C到平面C1DE的距離為h,根據(jù)題意有VC1-CDE=VC-C1DE,即VC1-CDE=h.在菱形ABCD中,E為BC中點(diǎn),所以DE ⊥ BC,根據(jù)題意有所以因?yàn)镃1C ⊥平面CDE,所以VC1-CDE=

圖4

由VC1-CDE=VC-C1DE得到解得點(diǎn)C到平面C1DE的距離為

等體積法是考生最喜歡用的一種方法,因?yàn)檎也坏骄€面垂直,就找不到垂足,所以等體積法就是解決點(diǎn)到面的距離最佳方法,從閱卷來(lái)看,采用等體積法的考生基本上都是正確的占但是也會(huì)有考生會(huì)出現(xiàn)一些“低級(jí)”錯(cuò)誤,如考生計(jì)算棱錐的體積公式時(shí)缺失,典型的計(jì)算錯(cuò)誤:這樣的錯(cuò)誤會(huì)導(dǎo)致最后失去很多的分?jǐn)?shù).

方法2(作高法)過(guò)C作C1E的垂線,垂足為H.即CH ⊥C1E.由已知可得C1C ⊥平面ABCD,DE ?平面ABCD,DE ⊥C1C,因?yàn)镈E ⊥BC,BC ∩CC1=C,所以DE ⊥平面BCC1B1,因?yàn)镃H ?平面BCC1B1,DE ⊥CH.又因?yàn)镈E ∩C1E=E,從而CH ⊥平面C1DE,故CH的長(zhǎng)即為C到平面C1DE的距離,由已知可得CE=1,C1C=4,所以由等面積法知,從而點(diǎn)C到平面C1DE的距離為

相對(duì)于等體積法,考生選擇使用這種方法的比較少,這種方法的難點(diǎn)在于尋找線面垂直,考生如果找到CH這條線,最終都得到能正確的計(jì)算結(jié)果;該題主要的失分點(diǎn)在于學(xué)生對(duì)于線面垂直的判定定理不熟悉,不能嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐谱C出直線CH垂直于平面C1DE;此外,有部分學(xué)生沒(méi)有能正確的尋找到經(jīng)過(guò)C點(diǎn)且垂直于平面C1DE的直線,有考生誤將CE看作點(diǎn)C到平面C1DE的距離.

筆者在閱卷過(guò)程中還發(fā)現(xiàn):邏輯思維比較清晰的考生,其試題解答中的推理過(guò)程寫得也很簡(jiǎn)潔,關(guān)鍵步驟都寫在答卷上,易于分辨.反之,邏輯思維混亂的考生,其試題解答中的推理過(guò)程混亂,雖然寫得密密麻麻,但卻不知所云,答題不在點(diǎn)上,導(dǎo)致失分.甚至,有部分考生已經(jīng)答題了,而且很多關(guān)鍵點(diǎn)也列出了,但是又涂掉了,從而沒(méi)有得分,令人惋惜,也有極少數(shù)的學(xué)生選擇使用了向量的方法解決問(wèn)題,由于使用這種方法的考生人數(shù)極少,本文不再贅述.

4 教學(xué)與備考建議

高考中的數(shù)學(xué)學(xué)科考試是以數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)為思維材料和操作對(duì)象,考查學(xué)生各方面已經(jīng)得到發(fā)展的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).在高考復(fù)習(xí)中,教師可以以數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向進(jìn)行高效復(fù)習(xí).

4.1 回歸教材,夯實(shí)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的外顯表現(xiàn),是發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的有效載體,基礎(chǔ)知識(shí)的考核是高考的主要內(nèi)容和核心知識(shí),從歷年的高考真題來(lái)看,高考的試題源于教材而高于教材,如第19題只是在教材習(xí)題上稍作變形的比較常見(jiàn)的立體幾何問(wèn)題,是考查了立體幾何中非?；A(chǔ)而核心的線面平行和點(diǎn)到面的距離問(wèn)題,但是從考生的答題情況來(lái)看,學(xué)生對(duì)教材上的基礎(chǔ)知識(shí)掌握不牢,不能靈活運(yùn)用.因此,平時(shí)在教與學(xué)的過(guò)程中,要回歸教材,重視基本知識(shí)的形成過(guò)程和發(fā)展過(guò)程的學(xué)習(xí),重視定義的理解、公式變形使用、定理的推導(dǎo),善于挖掘教材例題、習(xí)題的價(jià)值等; 此外,對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)來(lái)說(shuō),做題是至關(guān)重要的,通過(guò)做題才能對(duì)知識(shí)點(diǎn)加深理解靈活運(yùn)用,讓數(shù)學(xué)的記憶通向理解從而形成直覺(jué),做題時(shí)快速的運(yùn)算速度能夠保證高效思維,解題時(shí)的演繹推理能夠保證邏輯的準(zhǔn)確,還可以通過(guò)變式練習(xí)來(lái)不斷提升演練水準(zhǔn).

4.2 注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的靈活運(yùn)用通過(guò)對(duì)具體數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用能有效檢測(cè)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的本質(zhì)屬性,在數(shù)學(xué)思想方法的靈活與綜合應(yīng)用過(guò)程中,能夠檢測(cè)知識(shí)的遷移、組合、融合的程度,甄別考生核心素養(yǎng)的發(fā)展水平和個(gè)體差異,實(shí)現(xiàn)高考的區(qū)分和選拔功能.因此,在高考復(fù)習(xí)中的解題教學(xué)不僅要突出目標(biāo)意識(shí),強(qiáng)化通性通法,淡化特殊技巧,掌握常用到的方法和基本的招式,學(xué)會(huì)基本的解題套路;更重要的是注意培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性的思維品質(zhì),增強(qiáng)交互性,充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性,注重和展示解題方法的探源、調(diào)整、形成過(guò)程,教師沿著學(xué)生思維軌跡因勢(shì)利導(dǎo),克服盲目性,提高自覺(jué)性,進(jìn)行適度引申和變式練習(xí),結(jié)合具體問(wèn)題不失時(shí)機(jī)地突出數(shù)學(xué)思想方法,并逐步內(nèi)化為學(xué)生的能力.

4.3 建立核心素養(yǎng)的整體意識(shí)高中階段的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包括六個(gè)要素,從歷年的高考真題來(lái)看,高考試題不是孤立的強(qiáng)調(diào)考查某一種素養(yǎng).如全國(guó)Ⅰ卷文科第19題,首先考查對(duì)立體圖形的讀圖、識(shí)圖能力,即直觀想象的素養(yǎng),隨后的證明過(guò)程考查邏輯推理的素養(yǎng),最后的計(jì)算過(guò)程考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的素養(yǎng).在考查邏輯思維時(shí),要經(jīng)常與運(yùn)算結(jié)合考查,通過(guò)具體的計(jì)算推導(dǎo)或證明問(wèn)題的結(jié)論.同時(shí)在計(jì)算中要較多地糅合邏輯推理的成分,邊推理邊計(jì)算,考生解決問(wèn)題的過(guò)程是綜合運(yùn)用各種素養(yǎng)的過(guò)程.因此,高考復(fù)習(xí)中要注重建立核心素養(yǎng)的整體意識(shí),這就要求教師理解概念,掌握數(shù)學(xué)的本質(zhì),認(rèn)真研究大型考試試題、高考真題,分析試題時(shí)不要就題論題,要注意高考試題與教材中的例題、習(xí)題的聯(lián)系,并且要對(duì)高考試題進(jìn)行適度引申和變式練習(xí),選取能體現(xiàn)事物之間聯(lián)系、發(fā)展變化等觀點(diǎn)的素材,科學(xué)的創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境,讓學(xué)生綜合所有的科學(xué)、技術(shù)、工程以及數(shù)學(xué)內(nèi)容,并在多種知識(shí)間建立聯(lián)系,解決問(wèn)題.在試題和習(xí)題的選取過(guò)程中,要選取材料的呈現(xiàn)方式應(yīng)該是多種多樣、不同復(fù)雜程度和結(jié)構(gòu)差異、綜合應(yīng)用各種知識(shí)和方法的試題和習(xí)題.