廣東省佛山市樂從中學

一 題目與解答

題目(2019年高中數(shù)學聯(lián)賽福建賽區(qū)預賽第12題)已知F為橢圓1的右焦點,點P為直線x=4 上動點,過點P作橢圓C的切線PA、PB,A、B為切點.

圖1

(1)求證:A、F、B三點共線;

(2)求ΔPAB面積的最小值.

解答如圖.(1)易得F(1,0),設P(4,t),A(x1,y1),B(x2,y2).則切線PA,PB的方程分別為由切線PA,PB過點P(4,t),得即由此可得直線AB方程為易知直線AB過點F(1,0).所以A、F、B三點共線.

評析問題(1)可直接用橢圓的切點弦方程求解.事實上,有如下結論:

又點P(4,t)到直線AB的距離所以

所以f(λ)在[3,+∞)上為增函數(shù),f(λ)的最小值為f(3)=此時t=0.所以ΔPAB面積的最小值為

評析問題(2)的解法是官方答案,解法的運算量雖不小,但方法是解析幾何中的常用方法,這種通性通法在數(shù)學解題中有重要作用.所以在平時的教學中要注重一般性的解題規(guī)律和方法(即通性通法),要重視知識的生成過程,盡量創(chuàng)設問題情境引導學生探究知識,培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的能力.

二 問題的提出及一個引理

數(shù)學家波利亞曾說:“解題就象采蘑菇一樣,當我們發(fā)現(xiàn)一個蘑菇時,它的周圍可能有一個蘑菇圈.”解答完本題后,自然思考:

問題1競賽題的問題(1)在一般的橢圓1(a>b>0)是否成立?

問題2若問題1 成立,則ΔPAB面積是否有最小值?如有,最小值是多少?

問題3在原競賽題的條件下,還有沒有其它性質(zhì)?

由于后面結論的證明要用到一個引理及其推論,這里先行給出.

引理已知圓錐曲線(橢圓,雙曲線,拋物線)的焦點F在x軸上,設傾斜角為α的直線l經(jīng)過點F,且與圓錐曲線交于A,B兩點,記圓錐曲線的離心率為e,則

推論1在橢圓中,因為所以

推論2在雙曲線中,因為所以若A,B在雙曲線同一支上,若A,B不在雙曲線同一支上

推論3拋物線中,因為e=1,所以

上述引理及推論,利用圓錐曲線統(tǒng)一的極坐標方程較易證明,限于篇幅,在此不再給出其證明過程.

三 借題探索 結論推廣

通過探索,可得如下結論:

結論1已知F(c,0)為橢圓的右焦點,點P為右準線上的動點,過點P作橢圓C的切線PA、PB,A、B為切點.

(1)A、F、B三點共線;

(2)PF⊥AB;

(3)ΔPAB面積的最小值為

證明(1)設因為PA、PB與橢圓相切,由橢圓的切點弦方程可知,直線AB的方程為易得點F(c,0)在直線AB上,所以A、F、B三點共線.

(2)當t=0時,直線AB的方程為x=c,故直線AB垂直于x軸,此時點P在x軸上,顯然有PF⊥AB.

當t ?=0時,直線AB不垂直于x軸,由直線AB的方程可知,直線AB的斜率為

而直線PF的斜率為所以

綜上可得PF⊥AB.

(3)由(2)可知PF⊥AB,故ΔPAB的面積SΔBAB=

由圖1,易知當點P在x軸上,|PF|最小,最小值為于是,當點P在x軸上,即此時弦AB垂直于x軸,|AB|與|PF|均為最小.所以,ΔPAB面積的最小值為

評析顯然當a2=4b2=3時,可算得ΔPAB面積的最小值為,就是原競賽題的情形.結論1(3)也可以用原競賽題的解法,但是運算量極大,這里巧妙地利用PG⊥AB,及焦點弦的弦長公式,代數(shù)變形簡單,運算量少,證法快捷,新穎.所以在競賽層面,要重視方法的積累和知識的儲備,熟練掌握一些有用的結論,才有可能縮短思維的長度,提高效率,達到事半功倍的效果.

四 探索延伸 類比性質(zhì)

我們知道,雙曲線,拋物線與橢圓都是圓錐曲線,很多時侯三者之間有可類比的性質(zhì),那么雙曲線與拋物線是不是也有類似于結論1的性質(zhì)呢? 經(jīng)探索,得到如下結論:

結論2已知F(c,0)為雙曲線0,b >0)的右焦點,點P為右準線上的動點,過點P作雙曲線C的右支的切線PA、PB,A、B為切點.

(1)A、F、B三點共線;

(2)PF⊥AB;

(3)ΔPAB面積的最小值為

結論3已知F為拋物線C:y2=2px(p >0)的焦點,點P為準線上的動點,過點P作拋物線C的切線PA、PB,A、B為切點.

(1)A、F、B三點共線;

(2)PF⊥AB;

(3)ΔPAB面積的最小值為p2.

證明(1)設因為PA、PB與拋物線相切,由拋物線的切點弦方程可知,直線AB的方程為即易得點在直線AB上,所以A、F、B三點共線.

(2)當t=0時,直線AB的方程為故直線AB垂直于x軸,此時點P在x軸上,顯然有PF⊥AB.當t ?=0時,直線AB不垂直于x軸,由直線AB的方程可知,直線AB的斜率為而直線PF的斜率為所以綜上可得PF⊥AB.

(3)由(2)可知PF⊥AB,故ΔPAB的面積SΔP AB=

五 問題探索的再思考

(1)由橢圓的對稱性,將結論1的右焦點,右準線換成左焦點,左準線,結論不變.

(2)由雙曲線的對稱性,將結論2的右焦點,右準線換成左焦點,左準線,且兩切點在雙曲線的左支上,結論不變.

(3)結論3 中,將拋物線方程換成y2=-2px,結論不變.

(4)在結論2的條件中,若將兩個切點在雙曲線的右支上改為兩個切點在分別在雙曲線的兩支上時,會有什么樣的結論?

(5)在結論2的條件中,保持點P 在雙曲線的右準線上,若將兩個切點在雙曲線的右支上改為兩個切點在雙曲線的左支上,又會有什么樣的結論?

這些留給感興趣的讀者去探索了.

六 結束語

圓錐曲線具有很多相似的性質(zhì),這體現(xiàn)了圓錐曲線性質(zhì)的內(nèi)在統(tǒng)一的和諧美.這些優(yōu)美的性質(zhì)深刻反映了數(shù)學獨特的無窮魅力,值得我們?nèi)ふ摇l(fā)現(xiàn)和欣賞.數(shù)學家波利亞曾說過“一個有意義的題目的求解,為解此題所花的努力和由此得到的結論和見解,可以打開通向一門新的學科,甚至通向一個科學新紀元的門戶”.學數(shù)學離不開解題,但不能僅僅局限于老師講題、學生做題,而是要借助題目,探索隱藏在題目背后的奧秘,將研究的問題引向深入,挖掘題目的真正內(nèi)涵,能夠找到解決這個問題與解決其它問題在思維上的共性.這樣我們才能領會到試題命制的深刻背景,才能引領學生跳出題海,真正做到觸類旁通,舉一反三,從而達到做一題會一類,甚至會一片的目的,最終讓學生在解題思路上產(chǎn)生質(zhì)的變化,使思維得到發(fā)展.

對題目的拓展、引申探究是一名數(shù)學教師必備的專業(yè)素養(yǎng),平時要重視對典型問題的深入研究,探研規(guī)律,并適當拓展,充分挖掘題目的育人價值.高中數(shù)學新課程理念之一是倡導積極主動、勇于探索的學習方式,而學東西的最好方式是發(fā)現(xiàn)它,所以要鼓勵學生通過合情推理對某些問題作大膽的猜想,并進行探索與證明,這樣的探索在數(shù)學學習中起到重要作用.教師可根據(jù)學生實際,通過探究活動,讓學生體驗數(shù)學的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造歷程,引導他們勇于發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、解決問題,進而讓學生在分析、類比、猜想、證明過程中全面提高學生的綜合能力,從而提升學生的數(shù)學核心素養(yǎng).